◇王麗娟

縱觀幾何發(fā)展史，三角形是人類認(rèn)識較早的圖形，不管是歐幾里得的《幾何原本》，還是中國的《九章算術(shù)》，都記載了許多關(guān)于三角形的定理，“三角形內(nèi)角和等于180°” 就是其中一個重要的定理。

一發(fā)現(xiàn)

公元前6 世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家泰勒斯（Thales，約公元前624—前547 或546年）很可能已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和定理。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，只有三種正多邊形（正三角形、正方形和正六邊形）能密鋪整個平面，據(jù)此推測，他們的前輩泰勒斯已經(jīng)利用正三角形拼圖進(jìn)行數(shù)學(xué)探究。泰勒斯知道等腰三角形底角相等，等邊三角形三個內(nèi)角相等。他先把六個同樣的等邊三角形的頂點(diǎn)置于同一點(diǎn)，結(jié)果恰好填滿該點(diǎn)周圍區(qū)域，所以六個內(nèi)角之和等于四個直角，那么三個內(nèi)角之和就等于兩個直角（如圖1）。接著，將六個同樣的等腰三角形的不同頂點(diǎn)置于同一點(diǎn)，其中每個頂點(diǎn)出現(xiàn)兩次，結(jié)果也恰好填滿該點(diǎn)周圍區(qū)域，所以六個內(nèi)角之和等于四個直角，三個內(nèi)角之和等于兩個直角（如圖2）；最后用六個同樣的不等邊三角形來拼圖，發(fā)現(xiàn)了同樣的結(jié)果——三個內(nèi)角之和等于兩個直角，即180°（如圖3）。

圖1 等邊三角形拼圖

圖2 等腰三角形拼圖

圖3 不等邊三角形拼圖

關(guān)于三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)，還有一人不得不提，他就是法國著名科學(xué)家、數(shù)學(xué)家帕斯卡（Pascal，1623—1662年）。帕斯卡在12 歲的時(shí)候，沒有任何書本的暗示，把一個三角形紙板經(jīng)過折疊拼湊，發(fā)現(xiàn)了三角形三個內(nèi)角的和等于平角這個結(jié)論，這也許是教科書中折疊拼湊實(shí)驗(yàn)的最初來源（如圖4）。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形三個內(nèi)角折到一起時(shí)，可能三個頂點(diǎn)折到其內(nèi)切圓的圓心上或者折到垂足處都是一個平角，由此得出三角形內(nèi)角和等于180°。之前，為了避免體弱多病的帕斯卡用腦過度，父親不讓他接觸數(shù)學(xué)，但當(dāng)父親發(fā)現(xiàn)了帕斯卡驚人的幾何才能后，送給他一本歐幾里得的《幾何原本》，年幼的帕斯卡很快熟練掌握了它，以此為基礎(chǔ)開啟了他的數(shù)學(xué)研究之旅。

圖4 折紙法

二西方數(shù)學(xué)家的證明

1.畢達(dá)哥拉斯與歐幾里得的方法。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在幾何學(xué)上做出的具體成就很多，最著名的就是證明了畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）和三角形內(nèi)角和定理。他們在泰勒斯的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了更多的幾何定理，其中“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及其逆定理，使得畢達(dá)哥拉斯證明三角形內(nèi)角和定理水到渠成。 如圖5，過三角形ABC 的頂點(diǎn)A 作BC 的平行線DE，∠ABC=∠BAD, ∠ACB=∠CAE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），因?yàn)椤螧AC＋∠BAD＋∠CAE=180°（平角的意義），所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°（等量代換），即三角形內(nèi)角和等于180°。

圖5 畢達(dá)哥拉斯的證明

畢達(dá)哥拉斯通過兩組內(nèi)錯角證明了三角形內(nèi)角和定理，之后的歐幾里得在《幾何原本》中通過一組同位角和一組內(nèi)錯角，同樣證明了該定理。如圖6，在三角形ABC 中，延長BC 至點(diǎn)D，過點(diǎn)C 作AB 的平行線CE，∠BAC=∠ACE （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）, ∠ABC=∠ECD（兩直線平 行，同 位 角 相等），因 為∠ACB ＋∠ACE ＋∠ECD=180°（平角的意義），所以∠ACB＋∠BAC＋∠ABC=180°（等量代換），即三角形內(nèi)角和等于180°。《幾何原本》 中知識的條理化和嚴(yán)密化使它在以后的兩千多年里一直是數(shù)學(xué)史上流傳最廣的著作之一，堪稱西方數(shù)學(xué)的“圣經(jīng)”。

以上兩種證明方法都采用了平行線的性質(zhì)，這也是現(xiàn)在中學(xué)教材中普遍使用的方法。

圖6 歐幾里得的證明

2.普羅克拉斯的方法。

古希臘評注家普羅克拉斯（Proclus，410—485年）試圖避開畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得用平行線證明三角形內(nèi)角和定理的方法，他用這樣的方法：如圖7，設(shè)AD 和BE 是AB 的兩條垂線段，AD和BE 分別繞點(diǎn)A 和B 旋轉(zhuǎn)，使得端點(diǎn)D 和E 重合于點(diǎn)C，得到三角形ABC，原來的兩個直角DAB和EBA 所減小的部分相加，正好等于頂角C。因此，三角形ABC 的三個內(nèi)角之和仍等于原來兩直角。

圖7 普羅克拉斯方案

普羅克拉斯的證明是不是繞開了平行線呢？其實(shí)并沒有，他的方法也可以這樣表達(dá)：如圖8，過三角形ABC 的三個頂點(diǎn)A、B、C 分別作底邊BC 的 垂 線 AD、BE 和 CF，∠BAD = ∠EBA,∠CAD=∠ACF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），所以∠BAC=∠EBA＋∠ACF, 所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=∠EBA＋∠ABC＋∠ACF＋∠ACB=∠EBC＋∠FCB=180°。這種方法并不局限于垂線，如圖9，在BC 上任取一點(diǎn)D，連接AD，分別過點(diǎn)B、C 作AD 的平行線BE 和CF，三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為一對同旁內(nèi)角之和。所以普羅克拉斯的方法本質(zhì)上仍用了平行線的性質(zhì)。

圖8 普羅克拉斯方案

圖9 普羅克拉斯方案的一般情況

3.克萊羅的方法。

如果說古人的證明宛若天降，那么18 世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家克萊羅（A.C.Clairaut,1713—1765年）為添加平行線提供了一種自然的思考過程，正如他在其《幾何原理》一書的前言中所說，他要用定理的最初發(fā)現(xiàn)者的方法來引入幾何定理。

如圖10，設(shè)三角形ABC 的頂點(diǎn)C 沿AC 運(yùn)動到C′、C″,等等。在這個過程中，∠A 保持不變，而∠C 越來越小，∠B 越來越大。猜想：∠C 減少的部分與∠B 增大的部分相等，也就是∠C 與∠B 之和保持不變。由此可以猜測：任何一個三角形的三個內(nèi)角之和是恒定不變的，當(dāng)點(diǎn)C 運(yùn)動到無限遠(yuǎn)時(shí)，BC 與AC 平行，三角形ABC 的三個內(nèi)角則又變成了兩個同旁內(nèi)角，其和為180°。

圖10 克萊羅的方案

4．提波特的方法。

許多數(shù)學(xué)家在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，都試圖繞開平行線性質(zhì)，尋求自己獨(dú)一無二的方法。1809年，德國數(shù)學(xué)家提波特（Thibaut，1775—1832年）就利用旋轉(zhuǎn)的方法證明了這一定理：如圖11，將三角形ABC 中AB 所在的直線xy 繞點(diǎn)A 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度A，到AC 所在直線x′y′； 將直線x′y′繞點(diǎn)C 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度C，到BC 所在直線x″y″；最后直線x″y″繞點(diǎn)B 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度B，到AB 所在直線x″′y″′，從xy 到y(tǒng)″′x″′一共旋轉(zhuǎn)了180°。 在實(shí)際教學(xué)中，也可以用鉛筆的旋轉(zhuǎn)和筆尖方向的改變來再現(xiàn)這種辦法（如圖12）。而如果考慮順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，就可證明三角形外角和定理。

圖11 提波特的方案

圖12 鉛筆旋轉(zhuǎn)再現(xiàn)提波特的方案

三中國與三角形內(nèi)角和定理

三角形內(nèi)角和定理已有兩千多年的歷史，與西方數(shù)學(xué)家熱衷于證明此定理相比，中國古算中竟然沒有“三角形內(nèi)角和等于180°”這條定理，也沒有其他類似定理。對此，數(shù)學(xué)家陳省身先生說：“在中國幾何中我無法找到類似三角形內(nèi)角和等于180°的推論，這是中國數(shù)學(xué)中沒有的結(jié)果。因此，鑒于國外數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和有機(jī)會看中國數(shù)學(xué)的書，我覺得中國數(shù)學(xué)都偏應(yīng)用，講得過分一點(diǎn)，甚至可以說中國數(shù)學(xué)沒有純粹數(shù)學(xué)，都是應(yīng)用數(shù)學(xué)?！边@個定理沒有什么實(shí)際應(yīng)用，因而我們的祖先把它忽略了。

四歷史給予的啟示

著名數(shù)學(xué)教育家M.克萊因說，歷史是教學(xué)的指南。泰勒斯從等邊三角形到等腰三角形，再到不等邊三角形探索三角形內(nèi)角和定理的自然發(fā)現(xiàn)順序，也可以成為小學(xué)生研究三角形內(nèi)角和的思考順序，這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從特殊到一般的歸納推理過程。而更為深遠(yuǎn)的是，歷史上數(shù)學(xué)家們對于定理證明的孜孜不倦，這種追求體現(xiàn)的正是數(shù)學(xué)學(xué)科最為本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)的理性靠合乎邏輯的思考來保證！因而，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以起于觀察、操作、猜測、直覺等，卻不能亦終于此。 學(xué)生發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和是180°，在此基礎(chǔ)上要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用他們力所能及的辦法說明這個發(fā)現(xiàn)是可靠的。教學(xué)至此，才算觸及了數(shù)學(xué)的靈魂。帕斯卡的折疊法、剪拼法，泰勒斯的拼圖法，提波特的旋轉(zhuǎn)法等都是不錯的選擇。