顯性平面”上的平行線。1.請你在方格本上找到兩條平行線，并畫出來。2.請你在空白紙上用三角板或直尺畫一組平行線。3.教師出示一個正方體，如圖1，每條棱都標(biāo)有字母。圖1（1）a 和b 是平行線嗎？為什么？（2）請你找一找圖中的平行線。學(xué)生獨立完成后，交流：你找到了哪些平行線？說一說，你是怎樣找的？總結(jié)：正方體12 條棱中，兩條棱之間，有的相交、有的平行。兩條不相交的直線叫做平行線?；顒佣和卣估斫狻巴黄矫鎯?nèi)”。教師出示一組棱，如a 和f，如圖2，思考：圖2

◎吳俤仙一、平行線的意義在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線。平行線有三個要點：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交。也就是說，不在同一平面內(nèi)的兩條直線不是平行線；不是直線的兩條線也不是平行線。如圖一，a、b兩條直線在同一個平面內(nèi)，而且永不相交，a和b就是一組平行線；圖二，a、b雖然永不相交，但它們沒有在同一個平面內(nèi)，因此a和b就不是一組平行線；圖三，a、b兩條線雖然在同一個平面內(nèi)，而且永不相交，但a和b也不是一組平行線，因為它們是兩條彎彎的線

朱迪平行線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，利用平行線可以得到角之間的相等或互補(bǔ)的關(guān)系，幫助我們解答一些求角度的問題.折線問題是兩條平行線不是被第三條直線所截，而是被一條折線所截，此時平行線的性質(zhì)定理就不能直接應(yīng)用了.那么如何解決這類折現(xiàn)問題呢？以下分類進(jìn)行探討.一、“外凸型”折線問題“外凸型”折線問題是指兩條平行線之間被向外凸出的折線所截，并有一個或多個折點.解答這類“外凸型”折線問題的一般方法是過折點作已知平行線的平行線，通過形成的多組平行線建立角與角之

交的兩條直線叫平行線，也可以說兩條線互相平行。試一試，如果給你一條直線，讓你畫出它的平行線，可以怎么畫？準(zhǔn)備一把直尺、一個三角板就可以輕松畫出來。第一步：“落”。將三角板的一條直角邊落在直線上，使三角板一邊與直線完全重合。第二步：“靠”?？烤o三角板的另一條直角邊放上直尺。第三步：“移”。使三角板沿著直尺移動。第四步：“畫”。沿著三角板的邊畫出平行線。這樣就可以準(zhǔn)確畫出已知直線的平行線了。想一想，已知直線有多少條平行線呢？沒錯，有無數(shù)條平行線，因此答案不唯一

以及作延長線、平行線與垂線等，下面舉例說明。一、巧作平行線解題在解答幾何證明題或計算題時，作平行線是經(jīng)常用到的輔助線作法，比如過三角形某條邊上的中點作其對應(yīng)邊的平行線，或在梯形中作另一條腰的平行線等，利用平行線的性質(zhì)可以得到角之間的相等或互補(bǔ)關(guān)系，以及線段上的相等關(guān)系，這樣就可以為我們解題帶來新的思路和方法，從而使問題變得易于求解。

,與之相關(guān)的是平行線分線段成比例定理以及三角形相似的知識.但是問題中并沒有平行線,因此,問題解決的核心工作就是——大膽嘗試著作出平行線、得到相似形,得到比例關(guān)系,建立已知和求解的聯(lián)系.例題圖圖1探索一:從點B作平行線解法一:(如圖1) 過點B作CF的平行線交AE于點M,因為BD=DC,∠BDM=∠CDE,∠DBM=∠DCE,所以?BDM?CDE,所以BM=CE,又因為所以所以所以求得.解法二:(如圖2) 過點B作AE的平行線交FC于點M,因為BD=DC,所

633.6一.平行線之間的三角形面積相等???? 1.構(gòu)建基本圖形已知直線m∥n， B為直線m上的兩點，C、D為直線n上的兩點;連接任意兩點間的線段。（1）請你找出圖中面積相等的各對三角形;（2）△ABC與△ABD的面積為什么相等？（等底同高）（3）為什么等高？（平行線間的距離處處相等）證明：（1）S△ABC=S△ABD;S△AOC=S△B0D（2）因為等底同高，所以S△ABC=S△ABD（3）因為平行線間的距離處處相等，所以等高。2.基本圖形圖形特征兩個

家塔克給出“逆平行線”的概念?！澳?span id="syggg00" class="hl">平行線”不同于“平行線”。但又和“平行線”有著密切的關(guān)系，兩條直線平行它們所構(gòu)成的同位角、內(nèi)錯角相等，反之若兩條直線被第三條直線所截，所構(gòu)成的同位角或內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行，在一個三角形中。若一條直線截三角形的兩邊所構(gòu)成的四邊形恰好有一個外接圓，那么該截線稱作三角形第三條邊上的“逆平行線”。圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角，實質(zhì)上借助了角的數(shù)量關(guān)系，在平行線的基礎(chǔ)上命名“逆平行線”。三角形各邊上的逆平行線（或平行

吳健相交線與平行線是平面幾何中的基礎(chǔ)知識，基本概念較多，如果把握不準(zhǔn)，不但解題時會出錯，而且會影響以后相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí).一、平行線與角平分線的結(jié)合 例1 （2019年濱州）如圖1，AB//CD，∠FGB=154°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠AEF的度數(shù)等于（? ）.A.26°B.52°C.54°D.77°解析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠GFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠EFD的度數(shù)，最后由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.因為AB//CD，所以∠FGB+∠GFD=

悉的學(xué)習(xí)工具，平行線是生活中最常見的基本圖形，將平行線與三角形知識結(jié)合起來考查的試題在中考中頻頻出現(xiàn)。現(xiàn)從2018年各地中考試題中摘擷幾例，供同學(xué)們參考。一、直角頂點在平行線上例1 （2018·淮安）如圖1，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)是（ ）。A.35° B.45° C.55° D.65°【解析】由圖可知，三角板的直角頂點落在平行線的一邊上，根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”可將∠2轉(zhuǎn)化為∠3。由于∠1=35

圖一共有多少組平行線？”老師托了托眼鏡，等待著大家的回答。“4組?！睔g歡眼尖，一下子找到了圖中的平行線，她說，“長方體的前面、后面、上面、下面，一共有4個面，每個面的長有一組平行線，4個面有4組平行線。”“長方體的前面、后面、上面、下面，每個面的寬也有一組平行線，所以又有4組平行線。”樂樂高舉著小手，迫不及待地說出了自己的發(fā)現(xiàn)。“長方體左面、右面的寬有2組平行線，高也有2組平行線，一共有4組平行線?！毙πq紅著小臉，舔了舔干燥的嘴唇，靦腆地說?！耙粋€人發(fā)現(xiàn)

迎【案例：“畫平行線”引發(fā)爭論】四年級數(shù)學(xué)期末檢測中，第25題（如上圖）一題激起千層浪，數(shù)學(xué)教師叫苦不迭。2013版義務(wù)教育教科書四年級上冊已經(jīng)沒有了具體教學(xué)“畫平行線”的方法，學(xué)生只會借助點子圖畫平行線，過直線外一點畫平行線，教材沒有專門的例題教學(xué)，學(xué)生更是畫不好。結(jié)果只要學(xué)生畫了且畫得不離譜就都給分。我經(jīng)歷過2011版教材和2013版教材兩套教材的一名數(shù)學(xué)老師，對于“畫平行線”有些思考，找來兩套教材，對比研究?！緦Ρ确治龊退伎肌?011版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書

的問題中，常用平行線分線段成比例定理或相似三角形的知識來解決問題，若題目中沒有平行線或相似三角形時，通過作平行線來構(gòu)造A型和X型基本圖形是常用的方法。例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，求證：圖1圖2圖3練習(xí)：如圖4，AD為△ABC的中線，E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F。求證：。圖4圖5圖6例2 如圖5，在梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上一點，AE和BD相交于點F。若的值（用含a，b的代數(shù)式表示）。提示：（

FG）就是一組平行線.同理，用四邊形紙片折也是如此.其實，不需要對折也是可以的.只要折后點A落在AB所在的直線上，那么得到的折痕就平分了AB邊所在的平角，得到兩個相等的角.同樣，再按相同原理折一次就得到了一組平行線.如圖1，在得到一組平行線后，只需要再將三角形的另一條邊BC對折兩次，再得到一組平行線（IH和MN），則這兩組平行線圍成的圖形即為所求的平行四邊形.同理，用四邊形紙片折也是如此.活動2：在不規(guī)則的紙片中折出平行四邊形.由活動1的經(jīng)驗，只要折出兩組

。在空間作n條平行線（不共面，n>2），任意兩平行線確定一個平面，記此立體圖為Vn，線猜想稱Vn中至少有一個平面，其上僅有兩條平行線。本文對“點猜想”做了介紹，然后將它拓展為空間中的“線猜想”，加以論證，并給出了幾個相關(guān)的結(jié)論。關(guān)鍵詞：點；直線；平面；空間；Gn；Vn；點猜想；線猜想一、 點猜想點猜想是一個有著傳奇色彩的猜想。它誕生于一百多年前，內(nèi)容簡單明了，甚至一個小學(xué)生都可以看明白。有趣的是它引起了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并力圖攻克它，但是都以失敗告終。本文

雨到生活中學(xué)平行線◎陳 雨“生活中有很多平行線，現(xiàn)在誰來匯報？”蘇老師托了托眼鏡，等待同學(xué)們回答從生活中找到的平行線。“我從洗手間找到了一組平行線。”樂樂小手舉得高高的，第一個上臺演示了從家里拍來的平行線（如圖1）。圖1歡歡漲紅著小臉，說，“我從鐵路上發(fā)現(xiàn)了鐵軌也是一組平行線?！闭f完，上臺邊展示照片，邊指出鐵軌上的平行線（如圖2）。圖2圖3笑笑不慌不忙，在投影儀上展示了從學(xué)校操場拍來的照片，她說，“學(xué)校操場上的雙杠有很多組平行線（如圖3）?！彼龘?dān)心大家看

1條(不同的)平行線組成．若三組平行線內(nèi)各存在一條直線通過平面內(nèi)的同一點，求這樣的點的數(shù)目的最大值．[1]首先，為了表述上的簡潔與方便，下面先給出一個定義：定義 若平面內(nèi)有m(m≥3)組平行線，且m組平行線內(nèi)各存在一條直線通過平面內(nèi)的同一點，稱這樣的點為m階特殊點．接下來，將題目中的11條平行線推廣到n(n∈N*)條平行線的情形，得到下面的命題1．解析:建立一個仿射標(biāo)架[O;d1,d2]，則在仿射變換σ下，這三組平行線分別平行于x=0,y=0,y=x.不妨

黃細(xì)把學(xué)習(xí)了平行線后，同學(xué)們經(jīng)常會遇到利用平行線求角的問題.同學(xué)們會解決這類問題嗎？利用平行線求角的問題是學(xué)習(xí)中的一個重點和難點，同學(xué)們要注意逐步跨越三“境界”.第一“境界”：利用已知的平行線求角第二“境界”：利用隱含的平行線求角第三“境界”：利用添加的平行線求角

心蕊同學(xué)學(xué)習(xí)了平行線的判定和性質(zhì)后，感覺很混亂，不知道哪是判定哪是性質(zhì).他想通過網(wǎng)絡(luò)請教一下數(shù)學(xué)老師，讓我們一起去看看吧.超越自我（我的QQ呢稱）：“老師您好，在嗎？”育樹成林（數(shù)學(xué)老師的QQ昵稱）：“在.”超越自我：“老師，平行線的性質(zhì)和判定我怎么分不清啊？您能給我再指點一下嗎？”育樹成林：“當(dāng)然可以，老師給你發(fā)個文件，你好好看一下就明白了.”我把老師發(fā)給我的文件打開后，內(nèi)容是這樣的：要準(zhǔn)確區(qū)分平行線的判定和性質(zhì)，需搞清楚兩點.一、平行線的判定和性質(zhì)的實

的兩條直線稱為平行線.平行線是初中平面幾何最基本的，也是非常重要的圖形.平行線具有強(qiáng)大的轉(zhuǎn)移功能，在解題時如果能根據(jù)題目需要構(gòu)造平行線實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)移，那么能使計算證明變得簡單、流暢.構(gòu)造平行線實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)移的依據(jù)是：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).利用平行線的的性質(zhì)，可以把相關(guān)信息轉(zhuǎn)移，實現(xiàn)已知和未知之間的聯(lián)系，從而解決問題.下面舉例談?wù)勅绾螛?gòu)造平行線實現(xiàn)“角”的轉(zhuǎn)移，供同學(xué)們參考.例 觀察圖1～圖5.（1）如圖1，若

張嶺平行線的性質(zhì)是在學(xué)習(xí)平行線的判定的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它和平行線的判定是互逆的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系。endprint平行線的性質(zhì)是在學(xué)習(xí)平行線的判定的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它和平行線的判定是互逆的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系。endprint平行線的性質(zhì)是在學(xué)習(xí)平行線的判定的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它和平行線的判定是互逆的，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系。endprint

黃細(xì)把平行線的判定和平行線的性質(zhì)是平行線學(xué)習(xí)中兩個重要知識點，前者是由兩角的相等或互補(bǔ)關(guān)系。推出兩條直線平行：后者是由兩條直線平行，推出兩角相等或互補(bǔ)，你是否知道。有一些問題的解答既要我們應(yīng)用平行線的判定。又要我們應(yīng)用平行線的性質(zhì)呢？endprint平行線的判定和平行線的性質(zhì)是平行線學(xué)習(xí)中兩個重要知識點，前者是由兩角的相等或互補(bǔ)關(guān)系。推出兩條直線平行：后者是由兩條直線平行，推出兩角相等或互補(bǔ)，你是否知道。有一些問題的解答既要我們應(yīng)用平行線的判定。又要我們應(yīng)

們知道，無論是平行線的性質(zhì)還是平行線的判定，都與三類角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）密切相關(guān)，因此在解決與平行線有關(guān)的問題時，要注意將直線平行與角相等或互補(bǔ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。endprint我們知道，無論是平行線的性質(zhì)還是平行線的判定，都與三類角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）密切相關(guān)，因此在解決與平行線有關(guān)的問題時，要注意將直線平行與角相等或互補(bǔ)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。endprint我們知道，無論是平行線的性質(zhì)還是平行線的判定，都與三類角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）密切相關(guān)，因此

生活中見過哪些平行線呢？你們知道平行線都有什么用途嗎？endprint同學(xué)們在實際生活中見過哪些平行線呢？你們知道平行線都有什么用途嗎？endprint同學(xué)們在實際生活中見過哪些平行線呢？你們知道平行線都有什么用途嗎？endprint

交的兩條直線是平行線B.經(jīng)過直線外一點，可以耐兩條直線與已知直線平行 1.下列說法中正確的是（ ）A.在現(xiàn)實生活中，不相交的兩條直線是平行線B.經(jīng)過直線外一點，可以耐兩條直線與已知直線平行 1.下列說法中正確的是（ ）A.在現(xiàn)實生活中，不相交的兩條直線是平行線B.經(jīng)過直線外一點，可以耐兩條直線與已知直線平行

麗學(xué)習(xí)相交線與平行線時，同學(xué)們經(jīng)常會遇到“拐彎”的問題，這類題目做起來非常棘手，這里選幾類與同學(xué)們共賞。endprint學(xué)習(xí)相交線與平行線時，同學(xué)們經(jīng)常會遇到“拐彎”的問題，這類題目做起來非常棘手，這里選幾類與同學(xué)們共賞。endprint學(xué)習(xí)相交線與平行線時，同學(xué)們經(jīng)常會遇到“拐彎”的問題，這類題目做起來非常棘手，這里選幾類與同學(xué)們共賞。endprint

相交線和平行線是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系？郾 在相交線的學(xué)習(xí)中，離不開鄰補(bǔ)角和對頂角；在平行線的學(xué)習(xí)中，離不開同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角？郾 因此，與相交線或平行線有關(guān)問題，常常以求角為主？郾 解答它們時，要注意靈活運用上述各種相關(guān)角的關(guān)系一、相交線求角問題解答相交線求角問題時，要注意運用如下兩種角的關(guān)系：例2 如圖2，直線AB與直線CD相交于點O，E是∠AOD內(nèi)一點，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，則∠COE的度數(shù)是（ ）.分析：顯見，∠COE+

2）一般圖形與平行線相交之概率＊蔡定教，鮑旭峰（安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 安陽 455002）從蒲豐投針問題出發(fā)，利用線段與平行線相交之概率，導(dǎo)出一般的凸多邊形與平行線相交之概率，進(jìn)而利用兩邊夾原理得出一般的凸圖形與平行線相交之概率，最后指出一般的圖形與平行線相交之概率和其凸包與平行線相交之概率相同．凸多邊形；兩邊夾原理；凸包MSC 2000：60D050 引言在1777年出版的《或然性算術(shù)實驗》一書中，蒲豐提出著名的投針問題，即用實驗概率方法計

周太軍　劉樂愛平行線的識別與特征是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其地位相當(dāng)重要.為了讓同學(xué)們更好地掌握平行線的識別與特征，建議從以下兩個方面來復(fù)習(xí).一、掌握平行線的識別與特征（一）平行線的識別：1.平行線的主要識別方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.2.平行線識別的拓展：（1）利用定義；（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行，即a∥b，c∥b，則a∥c；（3）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與

一：條件中存在平行線，要證明的是角之間的關(guān)系，可考慮應(yīng)用平行線的性質(zhì)．要應(yīng)用平行線的性質(zhì)，需構(gòu)造平行線的基本圖形：兩平行線被第三條直線所截．所以過拐點O構(gòu)造平行線，使折線的每一段都成為平行線間的截線． 過點O作OG∥AB，如圖3，由于AB∥CD，所以O(shè)G∥CD，所以∠BEO＝∠EOG，∠DFO＝∠GOF，所以∠O＝∠EOG＋∠GOF＝∠BEO＋∠DFO．方法二：連接EF，如圖4，構(gòu)造平行線間的截線，同時也構(gòu)造了三角形，從而可利用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定

的方法.3. 平行線：在同一平面內(nèi)，互不相交的兩條直線互相平行．4. 平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；（3）兩條平行線之間的距離是指同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度.5. 平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．也可依據(jù)平行線的定義判定.二、典型例題精析例1（2007年南寧市中考題）

似三角形，也無平行線，因此要作平行線，那么怎樣作平行線呢？在1 描哪些線段在原題圖中，把題目條件和結(jié)論中有數(shù)量關(guān)系的線段（AE、EC、AD、BD、BF、CF）都描粗，如圖5所示，那么圖中出現(xiàn)了一個三邊都被描粗的三角形——△ABC和一條未被描的線段DF.2 怎樣作平行線過三邊被描粗的三角形(△ABC)的任意一個頂點作對邊的平行線與未被描的線段(DF)或其延長線相交，得下面三種方法：方法1：在圖6中，作AG∥BF交FD的延長線于G，則ADBD=AGBF,AGC