◇蔡金法 聶必凱

美國(guó)數(shù)學(xué)教育界從二十世紀(jì)五六十年代開(kāi)始掀起“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”“回到基礎(chǔ)”“問(wèn)題解決”等改革運(yùn)動(dòng)，直到近二十年來(lái)推行占主導(dǎo)地位的所謂“標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)”和州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。NCTM（美國(guó)數(shù)學(xué)教師理事會(huì)）出版的學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，幾乎引領(lǐng)了美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的方向，主導(dǎo)了美國(guó)的數(shù)學(xué)教育理論研究。 美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與之前NCTM 的課程標(biāo)準(zhǔn)一樣，指明了K-12年級(jí)學(xué)生期望學(xué)到的數(shù)學(xué)。但是這些原則、標(biāo)準(zhǔn)及其理念，也引發(fā)了數(shù)學(xué)教育工作者、教育政策制定者、家長(zhǎng)及公眾的許多困惑或誤解。

有趣的是，美國(guó)數(shù)學(xué)教育每次改革運(yùn)動(dòng)都?xì)v時(shí)十年左右，對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響, 同時(shí)在社會(huì)中激起了各種討論。每一個(gè)新的運(yùn)動(dòng)都始于一個(gè)新的思潮，而這個(gè)新的思潮往往醞釀?dòng)趯?duì)前一個(gè)思潮的反思和檢討，同時(shí)是對(duì)一個(gè)新的教育和教學(xué)理論的探索和嘗試，其中有的至今仍是教學(xué)、研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

本文將分析美國(guó)國(guó)內(nèi)一些由數(shù)學(xué)教育改革引發(fā)的困惑或誤解，我們將它們總結(jié)概括成十大誤區(qū)，針對(duì)每一誤區(qū)，我們將介紹和分析一些大的背景因素，并對(duì)各誤區(qū)提出一些評(píng)析和看法。同時(shí)，我們希望中國(guó)的數(shù)學(xué)教育能從美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革的教訓(xùn)中得到啟示并加以改進(jìn)。

本文中的結(jié)論和研究涉及國(guó)內(nèi)外大量研究文獻(xiàn)，由于篇幅所限，文中將不列出文獻(xiàn)的詳細(xì)出處等信息，讀者若想進(jìn)一步了解有關(guān)文獻(xiàn)，請(qǐng)與本文作者聯(lián)系。也可參考人民教育出版社出版的兩本書(shū)：《美國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革》《美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實(shí)施》。

誤區(qū)一：只有學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)才是真正的學(xué)習(xí)

（一）背景。

數(shù)學(xué)教育改革的理論主導(dǎo)之一是建構(gòu)主義。近年來(lái)，美國(guó)學(xué)生在國(guó)際性和美國(guó)全國(guó)性數(shù)學(xué)教育研究測(cè)試（如NAEP 等）中的不佳表現(xiàn)，使得人們反思那些以教師講解、學(xué)生傾聽(tīng)然后練習(xí)為主的課堂教學(xué)模式。一般認(rèn)為，教師的“告訴式”講解容易導(dǎo)致學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)；教材中具有詳細(xì)解答過(guò)程的例題極易導(dǎo)致學(xué)生的簡(jiǎn)單模仿，并有可能限制學(xué)生的創(chuàng)造性。因此，有人指出，基于教師講解和教材例題的教學(xué)，只能讓學(xué)生接觸一些標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)算法及根據(jù)，而不能“讓學(xué)生產(chǎn)生真正的學(xué)習(xí)和理解”。他們認(rèn)為，只有當(dāng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法并使用時(shí)，才能發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，才能使學(xué)生具備更多的使用數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)的體驗(yàn)。這樣的觀念是與極端建構(gòu)主義的思潮相契合的，即所有知識(shí)均應(yīng)是學(xué)生自主建構(gòu)的，因而每個(gè)個(gè)體所建構(gòu)的知識(shí)一定是獨(dú)特的而且具有背景的依賴(lài)性，個(gè)體間對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知不具有可比性。

（二）評(píng)析。

“只有學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)才是真正的學(xué)習(xí)”是一種典型的極端建構(gòu)主義觀念。現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀則認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一系列針對(duì)符號(hào)運(yùn)算的約定，它是存在于個(gè)體之外的一個(gè)系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”，而且這些法則和推演的程序在歷史上已被發(fā)明了，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以說(shuō)是“重建構(gòu)”或“再發(fā)明”這些法則或程序。這樣的“重建構(gòu)”或“再發(fā)明”不完全等同于極端建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀，而是一種具有更多“社會(huì)性”的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)觀應(yīng)是這種“社會(huì)性”的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的一種反映，因?yàn)椤鞍l(fā)現(xiàn)”意味著被發(fā)現(xiàn)的對(duì)象（如結(jié)構(gòu)或模式）已存在于個(gè)體之外，通過(guò)有引導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程而建構(gòu)的知識(shí)，是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)最重要的內(nèi)涵（Goldin,1987；Paul,1994）。

學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)的成分在問(wèn)題解決過(guò)程中可能會(huì)多一些。選取適當(dāng)?shù)慕忸}策略并成功解決問(wèn)題，可視為學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解決問(wèn)題的方法，盡管這些策略可能是他人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并總結(jié)過(guò)的。蔡金法（2003）的研究表明，有些時(shí)候，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)使用自己發(fā)明的解題策略正確解決問(wèn)題，換言之，學(xué)生自己的確能發(fā)現(xiàn)一些解題策略。

實(shí)際上，NCTM 從來(lái)沒(méi)有認(rèn)為發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)唯一或主導(dǎo)的學(xué)習(xí)方法。NCTM 提倡“有效學(xué)習(xí)”，而在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，采用各種不同的教學(xué)策略，可以促進(jìn)“有效學(xué)習(xí)”的實(shí)現(xiàn)，這包括課堂上教師的講授和全班的討論。 人們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅是知道一些數(shù)學(xué)事實(shí)和方法，還要會(huì)思考、推理和應(yīng)用數(shù)學(xué)。理論上，數(shù)學(xué)教育應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的個(gè)體性和學(xué)習(xí)過(guò)程的社會(huì)性的結(jié)合。即便學(xué)生擁有自己發(fā)明的解題策略，這些策略也不一定是非常有效或易于遷移的（Cai,Moyer&Grochowski, 1999; Carpenter etal., 1998;Resnick, 1989），但基于他們的理解水平，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握更有效的解題策略 （Cai, 2003）。當(dāng)然，學(xué)生發(fā)明的解題策略可以作為他們理解數(shù)學(xué)概念和程序的基礎(chǔ)，學(xué)生可以將其展示給同伴，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是通過(guò)一系列課堂中的互動(dòng)、討論各自的理解、挑戰(zhàn)不完全的理解，最后達(dá)到共同的理解（Cai, 2003）。

誤區(qū)二：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答只需一個(gè)合理的估算就夠了，準(zhǔn)確答案不是必需的

（一）背景。

美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)的改革考慮了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)。相信大家都有這樣的體驗(yàn)，在解決自己身邊的許多日常問(wèn)題時(shí)，估算和心算往往比精確計(jì)算更有效，得出一個(gè)估計(jì)值就夠了。例如，現(xiàn)實(shí)生活中，我們一般用不著計(jì)較45%與的差異，更用不著列豎式求5.124×9.689 的精確值，只要知道其大約等于50 就夠了。 對(duì)估算和心算的強(qiáng)調(diào)，拓寬了以往僅以紙筆為主的計(jì)算形式。NCTM 的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)估算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理解的一部分：“估算應(yīng)運(yùn)用于那些使用數(shù)量、測(cè)量、計(jì)算和問(wèn)題解決的情形中，特別是通過(guò)估算判斷結(jié)果的合理性（NCTM, 1989：36）?！?/p>

盡管估算被認(rèn)為是基本的數(shù)學(xué)技能，但它可能是數(shù)學(xué)課程中最容易被忽視的。同時(shí)，由于估算技能較難評(píng)估，因此關(guān)于估算的研究并不是很容易進(jìn)行。必須指出的是，估算技能遠(yuǎn)不止“四舍五入”那么簡(jiǎn)單，它是隨著學(xué)生數(shù)學(xué)概念和技能的發(fā)展而發(fā)展的，學(xué)生不易自動(dòng)獲得估算技能。因此，在數(shù)學(xué)課程中，需要專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)估算的內(nèi)容，并安排估算技能的訓(xùn)練。

（二）評(píng)析。

問(wèn)題解決中使用估算還是使用精確計(jì)算應(yīng)視問(wèn)題情境而定。一些現(xiàn)實(shí)條件的局限決定了我們不可能獲得準(zhǔn)確答案。例如，除了人口普查等問(wèn)題，還有，要知道一個(gè)池塘里魚(yú)的條數(shù)，我們不可能把魚(yú)都撈出來(lái)數(shù)一數(shù)，只能使用比例推理得到池塘里魚(yú)的大概數(shù)量。

無(wú)論是估算還是精確計(jì)算，都必須與現(xiàn)實(shí)情境相匹配，這就可能用到估算來(lái)鑒別結(jié)果的合理性。在解決來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題時(shí)，純粹從數(shù)學(xué)角度得到的精確結(jié)果有時(shí)候不一定具有現(xiàn)實(shí)意義。因此，有時(shí)反而需要通過(guò)分析現(xiàn)實(shí)情境的要求，用符合現(xiàn)實(shí)情境的估算值對(duì)通過(guò)精確計(jì)算所得的結(jié)果進(jìn)行“矯正”。蔡金法（2007）曾經(jīng)用以下現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題進(jìn)行中國(guó)和美國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的比較研究：

光明小學(xué)的師生將乘公共汽車(chē)去春游。師生共計(jì)1128 人，每輛公共汽車(chē)只能乘坐36 人。共需多少輛公共汽車(chē)？

這一問(wèn)題的解決過(guò)程可以劃分為計(jì)算階段和理解階段。計(jì)算階段，1128÷36=31，或1128÷36=31……12。理解階段，對(duì)或余數(shù)12的處理。不能按“四舍五入”的法則舍去，因?yàn)樗鼘?shí)際上對(duì)應(yīng)著12 人；也不能安排輛車(chē)去載人。因此，在理解階段，32 才是正確的答案。當(dāng)然，答案也可以是31，余下的12 人乘坐1 輛小面包車(chē)。結(jié)果表明，中國(guó)學(xué)生在計(jì)算階段的正確率比美國(guó)學(xué)生高得多，中國(guó)學(xué)生在計(jì)算階段的正確率高于理解階段。

估算是一種很重要的數(shù)學(xué)技能，但不能取代用以獲得準(zhǔn)確答案的基本的計(jì)算技能。中國(guó)的數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)更重視基本的計(jì)算技能。我們希望在中國(guó)的數(shù)學(xué)課程和教學(xué)中更多地涉及估算這一技能。

誤區(qū)三：數(shù)學(xué)教學(xué)存在兩種基本對(duì)立的方法：通過(guò)問(wèn)題解決加深概念性理解，通過(guò)反復(fù)練習(xí)獲得數(shù)學(xué)技能

（一）背景。

“教什么” 是數(shù)學(xué)教育中最關(guān)鍵的問(wèn)題之一，“怎么教”也是非常重要的問(wèn)題。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)為，通過(guò)系統(tǒng)訓(xùn)練基本技能促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)，而NCTM 的課程標(biāo)準(zhǔn)不再?gòu)?qiáng)調(diào)那些涉及算術(shù)和代數(shù)基本技能的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這讓一部分人感到困惑，因?yàn)椤皩W(xué)生將會(huì)長(zhǎng)時(shí)間記得那些經(jīng)過(guò)反復(fù)的、持續(xù)訓(xùn)練過(guò)的數(shù)學(xué)內(nèi)容——這是不容忽視的現(xiàn)實(shí)”（Curcio,1999）。

很多人傾向于將上述理念劃分為兩種截然不同的教數(shù)學(xué)的方法。 一種是NCTM 提倡通過(guò)問(wèn)題解決加深概念性理解，另一種是只通過(guò)反復(fù)練習(xí)訓(xùn)練一些數(shù)學(xué)技能。 這對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)教育界長(zhǎng)期爭(zhēng)論的一個(gè)問(wèn)題：學(xué)生的學(xué)習(xí)，到底是程序性知識(shí)的練習(xí)在先，還是概念性的理解在先？

（二）評(píng)析。

事實(shí)上，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)并沒(méi)有走向兩個(gè)極端。之所以有兩種對(duì)立的教學(xué)觀，是因?yàn)镹CTM認(rèn)為過(guò)去的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)分重視程序性知識(shí)的練習(xí)，而忽略了概念性理解，而概念性理解的關(guān)鍵是建立聯(lián)系。數(shù)學(xué)教育改革并沒(méi)有鼓吹數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)向一極傾斜，數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念理解與基本技能同樣重要，許多理解來(lái)自于對(duì)基本技能的熟練掌握；反過(guò)來(lái)，學(xué)生又必須將他們的數(shù)學(xué)技能建立在扎實(shí)理解的基礎(chǔ)上。當(dāng)一系列基于標(biāo)準(zhǔn)的改革型教材在美國(guó)各地大量使用后，對(duì)這些課程的有效性進(jìn)行研究得出的結(jié)果表明，無(wú)論是對(duì)于小學(xué)生、初中生還是高中生，概念性理解的提高并沒(méi)有以犧牲其數(shù)學(xué)基本技能為代價(jià)(如Cai，2003；Cai 等，2011)。

前面我們關(guān)注了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩種結(jié)果，即概念性理解和基本技能的獲得，與之對(duì)應(yīng)的是獲得這兩種結(jié)果的手段：?jiǎn)栴}解決和反復(fù)訓(xùn)練。一些研究表明，問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)理解的重要途徑，學(xué)生可以通過(guò)問(wèn)題解決獲得新知識(shí)，發(fā)展或加深其對(duì)新知識(shí)的理解（Davis,1992;Hiebert&Wearne,2003;NCTM,2000）。例如，對(duì)于解方程這一看起來(lái)比較程序化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)技能，如果使用情境問(wèn)題說(shuō)明符號(hào)操作各步的意義，學(xué)生就有可能更好地理解解方程的方法（Cai, Nie&Moyer 2010）?；诖?，希爾伯特和沃恩（Hiebert&Wearne，2003）認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)理解的舉措之一是讓數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是“有疑問(wèn)的”，讓學(xué)生在思考和解決這些疑問(wèn)的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)理解，教師的角色并不是時(shí)時(shí)刻刻、無(wú)處不在地“解惑”，而是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)和場(chǎng)合有限度地“解惑”。數(shù)學(xué)問(wèn)題并不總是一味地追求很特殊、很“新鮮”，常規(guī)性的練習(xí)題或?qū)W生已解決的問(wèn)題都有可能在改編或拓展之后成為新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 這一點(diǎn)很像基于變式的練習(xí)，即通過(guò)改變數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)方面，保持概念的本質(zhì)屬性，在反復(fù)訓(xùn)練的過(guò)程中，學(xué)生不斷經(jīng)歷概念的非本質(zhì)屬性的各種變異，從而更好地辨識(shí)和理解概念的本質(zhì)。同時(shí)，問(wèn)題解決能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)基本技能的熟練程度（NCTM，2000）?？傊?，我們不贊同數(shù)學(xué)教育改革的極端化模式，即將概念性理解與基本技能的獲得割裂開(kāi)來(lái)，甚至對(duì)立起來(lái)，我們更愿意看到在數(shù)學(xué)教學(xué)中，二者成為相互作用的統(tǒng)一體。

對(duì)基本技能的訓(xùn)練，特別是基于變式的訓(xùn)練，是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)之一，通過(guò)問(wèn)題解決促進(jìn)概念理解也在中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂得到廣泛實(shí)踐。在中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂上，我們看到了通過(guò)問(wèn)題解決加深概念性理解和通過(guò)反復(fù)練習(xí)獲得數(shù)學(xué)技能是可以“和平共處”的，這也說(shuō)明了這兩方面不是對(duì)立的存在。

誤區(qū)四：有充分的證據(jù)表明，基于NCTM 標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有效

（一）背景。

從1990年開(kāi)始，美國(guó)致力于開(kāi)發(fā)與NCTM課程標(biāo)準(zhǔn)高度一致的教材。那么，這些基于標(biāo)準(zhǔn)的課程、教材對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)究竟產(chǎn)生了怎樣的影響？

相關(guān)的研究（Riordan&Noyce,2001）結(jié)果表明，使用基于標(biāo)準(zhǔn)的課程的學(xué)生成績(jī)顯著高于使用傳統(tǒng)課程的學(xué)生。然而，還有研究（Huntley等，2000）表明，不同的課程可能有各自不同的長(zhǎng)處。那些重視情境的應(yīng)用和計(jì)算器應(yīng)用的課程，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決涉及現(xiàn)實(shí)情境的代數(shù)問(wèn)題的能力；那些重視符號(hào)操作但沒(méi)有對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)情境和計(jì)算器輔助的課程，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決純符號(hào)操作問(wèn)題的能力。例如，在蔡金法等實(shí)施的LieCal（課程對(duì)代數(shù)學(xué)習(xí)影響的縱向研究）項(xiàng)目中，其中一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)是：改革型數(shù)學(xué)課程更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，特別是涉及代數(shù)思維的情境表征和概括推廣能力，使用改革型課程的學(xué)生明顯優(yōu)于使用傳統(tǒng)課程的學(xué)生，但在數(shù)學(xué)基本技能方面（如解方程），使用改革型和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的學(xué)生的表現(xiàn)是一樣的。

上述研究讓我們看到，課程的有效性是相對(duì)的。進(jìn)一步地，有研究（Tarr 等，2008）表明，課程的類(lèi)型對(duì)學(xué)生的成績(jī)并沒(méi)有顯著影響，而基于標(biāo)準(zhǔn)的高水平學(xué)習(xí)環(huán)境才是影響學(xué)生成績(jī)的重要因素。這一研究引發(fā)了人們對(duì)以往課程有效性研究的反思：對(duì)學(xué)生成績(jī)的實(shí)質(zhì)性影響到底來(lái)自于課程本身還是學(xué)習(xí)環(huán)境？

（二）評(píng)析。

過(guò)去幾年中，美國(guó)國(guó)內(nèi)有關(guān)數(shù)學(xué)課程改革的爭(zhēng)論很激烈。隨著爭(zhēng)論的繼續(xù)，人們需要知道“基于課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程究竟在多大程度上促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高”方面的一些數(shù)據(jù)。

近年來(lái)，美國(guó)政府開(kāi)始加大力度資助那些分析不同課程的有效性的實(shí)證研究，LieCal 項(xiàng)目（Cai&Moyer，2006）就是其中之一。該項(xiàng)目包括三個(gè)方面：考察所選課程是如何設(shè)計(jì)和發(fā)展的；研究教師在課堂內(nèi)是如何具體執(zhí)行這些課程要求的；檢驗(yàn)學(xué)生在課堂里實(shí)際學(xué)到了怎樣的數(shù)學(xué)及其程度。該研究的基礎(chǔ)是具體考察不同課程的異同。例如，在LieCal 項(xiàng)目中，我們?cè)?jīng)對(duì)改革型教材與傳統(tǒng)教材中所有與代數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)任務(wù)進(jìn)行深入、精細(xì)的比較和分析，發(fā)現(xiàn)改革型教材包括更多高認(rèn)知需求水平的數(shù)學(xué)任務(wù)（Cai 等，2011）。同時(shí)，在分析了不同的教材如何處理一些重要的數(shù)學(xué)概念（如變量）后我們發(fā)現(xiàn)，改革型教材對(duì)變量概念更多地從“變化的量”這一函數(shù)的視角處理，而傳統(tǒng)教材更多地從“未知數(shù)”這一靜態(tài)的視角處理（Nie 等，2009）。

中國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革正如火如荼地開(kāi)展，課程的有效性必須通過(guò)科學(xué)的證據(jù)說(shuō)明，而不能憑感覺(jué)或經(jīng)驗(yàn)。一些改革失敗的原因就是其理念脫離現(xiàn)實(shí)。因此，對(duì)改革型數(shù)學(xué)課程的有效性做進(jìn)一步的實(shí)證研究是必不可少的，特別是改革型數(shù)學(xué)課程究竟在哪些方面異于傳統(tǒng)課程，也有待分析和研究。

誤區(qū)五：數(shù)學(xué)教師樂(lè)于參與和使用基于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程（項(xiàng)目），并知道如何使用它們

（一）背景。

從1989年至2000年，NCTM 出版了一系列課程標(biāo)準(zhǔn)，這些課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)教育研究界的影響是巨大的，但這些標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)到底產(chǎn)生了多深刻、多廣泛的影響呢？這些標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的理念、原則和標(biāo)準(zhǔn)的確很具有改革性、創(chuàng)新性和鼓動(dòng)性，但在一定程度上又具有理想化或抽象性，如關(guān)于“數(shù)感”“重要的數(shù)學(xué)”“符號(hào)感”的理解等。因此，理解這些標(biāo)準(zhǔn)、掌握標(biāo)準(zhǔn)的精髓對(duì)所有的教育研究者和數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，都是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。這樣，教師真的樂(lè)于參與和使用基于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程嗎？

在出版課程標(biāo)準(zhǔn)之后，NCTM 委托一個(gè)專(zhuān)業(yè)研究機(jī)構(gòu)“地平線研究公司”，就數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)估的有關(guān)問(wèn)題，于1993年和2000年各做了一次全國(guó)性的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師問(wèn)卷或電話訪談?wù){(diào)查。 問(wèn)卷中的問(wèn)題不僅考察了數(shù)學(xué)教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的熟悉、重視或執(zhí)行情況，如“你對(duì)NCTM 的課程標(biāo)準(zhǔn)熟悉到什么程度”“你會(huì)將NCTM 的課程標(biāo)準(zhǔn)講解給你的同事聽(tīng)嗎”等，而且涉及了學(xué)校和學(xué)區(qū)的管理人員，如“你認(rèn)為你們學(xué)校的校長(zhǎng)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)有足夠的了解嗎”等。

結(jié)果顯示，僅41%的初中教師明確表示“準(zhǔn)備向我的同事講解NCTM 的標(biāo)準(zhǔn)”，由此可以想象他們對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的興趣。只有近30%的初中教師認(rèn)為課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)在他們學(xué)校的老師中間完全討論過(guò)了，36%的教師認(rèn)為學(xué)校的教師在教學(xué)中執(zhí)行了課程標(biāo)準(zhǔn)，39%的教師認(rèn)為學(xué)區(qū)組織了教師基于課程標(biāo)準(zhǔn)的專(zhuān)業(yè)發(fā)展活動(dòng)。 這些百分比可以讓我們推測(cè)出教師不一定樂(lè)于使用課程標(biāo)準(zhǔn)。

還有一個(gè)結(jié)果耐人尋味：小學(xué)和初中教師中，不到一半的人認(rèn)為自己對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)“比較熟悉”或“很熟悉”，但又有70%以上的人認(rèn)為自己“同意”或“非常同意”NCTM 標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)教育理念，這似乎表現(xiàn)出一種對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的“盲從”。另外，認(rèn)為自己“中等程度”或“很大程度”地執(zhí)行了NCTM 標(biāo)準(zhǔn)中的建議的人超過(guò)80%，這一百分比又遠(yuǎn)大于他們對(duì)學(xué)校里的其他教師的估測(cè)。

總之，在這項(xiàng)研究中，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育大范圍改變的證據(jù)，或者說(shuō)課程標(biāo)準(zhǔn)在全國(guó)范圍產(chǎn)生的影響并不強(qiáng)。 該研究認(rèn)為，導(dǎo)致這一結(jié)果的主要原因是針對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的教師培訓(xùn)活動(dòng)太少。如果教師沒(méi)有領(lǐng)會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想又不樂(lè)于使用課程標(biāo)準(zhǔn)，何談在教學(xué)實(shí)踐中執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)的理念呢？

（二）評(píng)析。

課程改革不考慮教師的能力水平和專(zhuān)業(yè)需求是不可能成功的。研究課程有效性的常見(jiàn)方法就是考察學(xué)生在一段時(shí)間內(nèi)使用某一課程后的成績(jī)變化，而教師的因素很容易被忽視。但是，如果不考慮教師是否樂(lè)于使用基于標(biāo)準(zhǔn)的課程，也不考慮教師是否知道如何執(zhí)行這些課程，那么我們將很難知道數(shù)學(xué)課堂中是否真正執(zhí)行了這些課程。實(shí)際上，教師可以大量補(bǔ)充傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程材料，甚至可以“喧賓奪主”，這樣，還能說(shuō)他們使用的是基于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程嗎？另一方面，教師的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)知識(shí)都應(yīng)有相應(yīng)的改進(jìn)，才能適應(yīng)改革型數(shù)學(xué)課程的需要。試想，如果改革型數(shù)學(xué)課程是用傳統(tǒng)的教學(xué)法執(zhí)行的，將會(huì)有怎樣的后果？

教師是課程理念的執(zhí)行者，我們甚至認(rèn)為教師本身就是課程的再設(shè)計(jì)者，因此教師在數(shù)學(xué)課程中有舉足輕重的地位。 人們?cè)谠O(shè)計(jì)改革型數(shù)學(xué)課程時(shí)，往往容易犯這樣的錯(cuò)誤：要么忽視教師的能力及需求，要么認(rèn)為教師理所當(dāng)然地能夠“跟得上”課程的新理念。這很可能導(dǎo)致“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象，也容易使教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生曲解。事實(shí)上，正確領(lǐng)會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想、正確執(zhí)行基于標(biāo)準(zhǔn)的課程并非易事，這需要教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的精心鉆研、有針對(duì)性的教師培訓(xùn)、教師自身在教學(xué)實(shí)踐中的領(lǐng)悟，這些環(huán)節(jié)缺一不可。當(dāng)然，還要考慮教師是否樂(lè)于參與或使用基于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課程。如果教師沒(méi)有興趣，那么課程標(biāo)準(zhǔn)的理念在數(shù)學(xué)課堂里被忠實(shí)執(zhí)行是不可能實(shí)現(xiàn)的。最后，即便教師知道如何正確使用基于標(biāo)準(zhǔn)的課程，但他們?cè)谡n堂中是否忠實(shí)地執(zhí)行了，仍是一個(gè)很難把握的問(wèn)題。忠實(shí)性和適切性往往是矛盾的，當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)基于標(biāo)準(zhǔn)的課程在有些方面不適于教學(xué)現(xiàn)狀時(shí)，他們很可能犧牲課程執(zhí)行的忠實(shí)性而追求適切性。

同時(shí)，我們希望看到有關(guān)“中國(guó)數(shù)學(xué)教師是否樂(lè)于參與和使用基于國(guó)家數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的課程”“是如何使用的”等方面的實(shí)證研究，并在這些實(shí)證研究基礎(chǔ)上改進(jìn)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)教學(xué)。