李忠如

摘 要：從教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度比較研究我國人教版與澳大利亞“新路標數(shù)學(xué)”小學(xué)四年級數(shù)學(xué)教材的難易度，發(fā)現(xiàn)：（1）內(nèi)容廣度上，“人教版”知識點個數(shù)比“新路標數(shù)學(xué)”知識點個數(shù)少，前者更側(cè)重數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域且著重計算；（2）在教材內(nèi)容深度方面，“人教版”相對更加偏重知識的掌握層次；（3）在教材習題的安排方面，“人教版”教材中習題題量小得多，以模仿與遷移為主，而“新路標數(shù)學(xué)”教材中的習題多得多，大多是模仿型任務(wù)，類似于一本習題集。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)教材；四年級；比較中國和澳大利亞

一般而言，各國數(shù)學(xué)教育既有不分地域、民族的共性，也有不同文化背景、不同社會發(fā)展等因素導(dǎo)致的個性。數(shù)學(xué)教材亦如此。為落實《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》中“調(diào)整教材內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計課程難度”的要求，切實解決中小學(xué)生負擔過重的問題，本文擬對我國人教版和澳大利亞“新路標數(shù)學(xué)”的難易度加以深入分析，為我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材的進一步修訂提供借鑒。

1. 研究設(shè)計

1.1 研究對象

（1）中國小學(xué)數(shù)學(xué)教材——“人教版”

目前，國內(nèi)根據(jù)《全日制義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）編寫的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中通過教材鑒定的已超過6種版本。本文選取使用面較廣的人民教育出版社義務(wù)教育課程標準試驗教科書（以下簡稱“人教版”）。

（2）澳大利亞小學(xué)數(shù)學(xué)教材——“新路標數(shù)學(xué)”

“新路標數(shù)學(xué)”（New Signpost Maths for Victoria）是澳大利亞皮爾森教育出版社（Pearson Education Australia）出版的系列叢書，該套教材依據(jù)《維多利亞地區(qū)基本學(xué)習標準》而編寫，是維多利亞地區(qū)預(yù)備級至六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)用書。

1.2 研究思路與方法

借用作者參與開發(fā)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材難易度理論模型，采用內(nèi)容分析法對中澳教材的在內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度及習題難度方面進行分類編碼，利用模型對教材難度定量計算并逐一定性分析，最后歸納對比得到兩版本教材在上述三個維度的共性及差異，得出兩版本教科書的編寫特點。

1.3 小學(xué)數(shù)學(xué)教材難易度的刻畫

本研究參考《中小學(xué)教材難易程度的國際比較研究》教材難易程度模型中提出的分析框架，對中澳兩套小學(xué)四年級數(shù)學(xué)教材的難易度加以編碼分析，即教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度。

2. 內(nèi)容廣度維度的比較

本研究中，內(nèi)容廣度主要由“知識點”的多少來體現(xiàn)，且知識點劃分標準完全參考《中國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的難度分析——國際比較的視角》一文中的做法，將教材的各部分內(nèi)容歸屬為三大知識領(lǐng)域——數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率。（一般情況下，我國課標規(guī)定的“實踐與綜合運用”領(lǐng)域?qū)嶋H上是其他三方面內(nèi)容的綜合運用）

2.1 知識點的劃分差異

2.1.1 “人教版”四年級教材中的知識點劃分情況

（1）數(shù)與代數(shù)

數(shù)的認識（14個）：計數(shù)單位，數(shù)位順序表，十進制計數(shù)法，用萬、億為單位表示數(shù)，大數(shù)的比較，近似數(shù)（萬、億作單位），自然數(shù)的含義和特點，小數(shù)的意義，小數(shù)的數(shù)位順序表和讀寫法，小數(shù)的性質(zhì)，小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，小數(shù)的大小比較，小數(shù)和十進復(fù)名數(shù)的相互改寫，小數(shù)的近似數(shù)表示。

數(shù)的運算（17個）：計算工具的認識，用計算器計算，三位數(shù)乘一位數(shù)（口算），三位數(shù)乘兩位數(shù) （筆算），三位數(shù)乘兩位數(shù)（估算），除數(shù)是整十數(shù)的除法（口算），除數(shù)是兩位數(shù)的除法（筆算），生活中的策略優(yōu)化問題，加減乘除混合運算（有括號），加減乘除混合運算（無括號），加法運算定律，乘法運算定律，加乘運算定律的運用，小數(shù)的加減混合運算，兩位小數(shù)的加法與減法，積的變化規(guī)律，時間、速度、路程的關(guān)系。

（2）圖形與幾何

圖形的認識（11個）：認識直線與射線、總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題（如植樹、棋盤）、認識垂直與平行、畫垂線與平行線、認識平行四邊形與梯形、三角形的特性、三角形三邊關(guān)系、三角形的分類（按邊、角）、三角形的內(nèi)角和、三角形拼圖、認識角（概念、表示、分類）。

測量（3個）：角的度量、角的分類、用量角器畫角。

圖形與位置（1個）：確定位置（相對于參照點的方向、距離）。

（3）統(tǒng)計與概率

共2個知識點，分別為：條形統(tǒng)計圖（復(fù)式）、折線統(tǒng)計圖（認識、繪制）。

2.1.2 “新路標數(shù)學(xué)”四年級教材中的知識點劃分情況

（1）數(shù)與代數(shù)

數(shù)的認識（16個）：除法的認識、乘法表、數(shù)位順序表、小數(shù)的數(shù)位順序表和讀寫法、小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律、小數(shù)的大小比較、小數(shù)的近似數(shù)表示、等值分數(shù)、分數(shù)的意義、分數(shù)的比較、分數(shù)的認識、分數(shù)與小數(shù)、萬以內(nèi)數(shù)的認識、萬以內(nèi)的數(shù)的估算、平方數(shù)、因數(shù)。

數(shù)的運算（13個）：按規(guī)律填數(shù)、除數(shù)是個位數(shù)的除法、帶余除法、萬以內(nèi)數(shù)的加減法、加減乘除混合運算、加乘運算定律的運用、兩位小數(shù)的加與減法、千以內(nèi)的加減法、整十數(shù)乘法、整數(shù)加法（百位數(shù)的加法）、分數(shù)的加法與減法（同分母相加減）、加倍與減半、用計算器計算。

（2）圖形與幾何

圖形的認識（8個）：認識角（概念、表示）、認識平行四邊形與梯形、棱錐與棱柱、認識多邊形、垂直與平行、立體圖形、圓柱圓錐和球、三角形的特性（穩(wěn)定性）。

測量（7個）：長度單位厘米、米、毫米，質(zhì)量單位（克），容積單位（升、毫升），面積的估算與測量，體積單位（立方厘米），體積的計算，角的度量。

圖形的運動（2個）：平移、旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)，對稱圖形。

圖形與位置（2個）：確定位置（相對于參照點的方向、距離）、平面上位置的表示方法（數(shù)對、網(wǎng)格中找點）。

常見的量（3個）：鐘表的認識、年月日（日歷）、認識時間表。

其他（1個）：嵌套圖形。

（3）統(tǒng)計與概率

共4個知識點，分別為：條形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計圖表的認識、可能性的大小、列出所有可能的結(jié)果。

2.1.3 知識點所屬領(lǐng)域的對比

總體而言，“人教版”四年級教材的知識點個數(shù)是48個，“新路標數(shù)學(xué)”四年級教材的知識點為56個，兩者相差8個，并且在不同領(lǐng)域上的分布也有一定的差異。

（1）兩國教材中各領(lǐng)域所包含的知識點個數(shù)（如圖1）。

在各領(lǐng)域“新路標數(shù)學(xué)”的知識點個數(shù)都比“人教版”的知識點個數(shù)多。

（2）“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”的知識點所屬領(lǐng)域分布情況（如圖2）。

“人教版”與“新路標數(shù)學(xué)”四年級數(shù)學(xué)教材都重視數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，兩教材數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識點個數(shù)占其知識點總數(shù)的比例分別為65%和57%，同時，“人教版”此領(lǐng)域占比略高于“新路標數(shù)學(xué)”，與我國小學(xué)數(shù)學(xué)重視“算”不無關(guān)系。

在圖形與幾何領(lǐng)域中，“人教版”中相關(guān)知識點所占比例為31%；“新路標數(shù)學(xué)”中相關(guān)知識點所占比例為36%，略高于“人教版”所占比例。

“人教版”與“新路標數(shù)學(xué)”在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域中的知識點比例都比較小，分別為4%和7%，但“新路標數(shù)學(xué)”所占比例稍高于“人教版”。

3. 內(nèi)容深度維度的比較

內(nèi)容深度指的是中澳兩國四年級教材中知識點的呈現(xiàn)方式和認知要求的程度。其中，呈現(xiàn)方式分為直觀、歸納、抽象，認知要求分為了解、理解、掌握。

3.1 呈現(xiàn)方式的對比

兩套教材在知識點的呈現(xiàn)方式方面的表現(xiàn)如圖3所示?！叭私贪妗焙汀靶侣窐藬?shù)學(xué)”中知識點均未以抽象方式進行呈現(xiàn)。“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”中知識點的呈現(xiàn)方式均以歸納為主。但是歸納的呈現(xiàn)方式在“人教版”中的比例為85%，遠高于“新路標數(shù)學(xué)”的54%。在直觀的呈現(xiàn)方式中，“人教版”所占比例是15%，遠低于“新路標數(shù)學(xué)”的46%。

總體而言，人教版”四年級數(shù)學(xué)教材中知識點的呈現(xiàn)方式要比“新路標數(shù)學(xué)”更復(fù)雜。

3.2 認知要求的對比

兩套教材在知識點的認知要求上的表現(xiàn)如圖4所示?！叭私贪妗睂χR點的認知要求以掌握為主，掌握程度的知識點占所有知識點數(shù)的比例為44%，理解程度的知識點占了37%，而了解程度的知識點占了19%，是比例最小的部分。

而“新路標數(shù)學(xué)”對知識點的認知要求以理解為主，理解程度的知識點占所有知識點數(shù)的55%，其次是掌握程度，比例為36%，而了解程度的知識點比例最小，為9%。

總體而言，“人教版”四年級數(shù)學(xué)教材中對知識點的認知要求以掌握為主，而“新路標數(shù)學(xué)”則強調(diào)理解，可見“人教版”在知識點的認知要求上對學(xué)生要求更高。

4. 習題難度

這里的習題是指兩套教材中出現(xiàn)的習題。其中“人教版”教材中出現(xiàn)的習題個數(shù)為479；“新路標數(shù)學(xué)”教材中出現(xiàn)的習題個數(shù)為3503。而習題難度主要是由習題水平和習題背景來反映。習題水平分為模仿、遷移、探究。習題背景分為無背景、生活背景、科學(xué)情景。

4.1 習題水平對比

對“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”中的習題按照習題水平的三個維度編碼，基本情況見圖5。

不難發(fā)現(xiàn)“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”都以模仿為主，其次是遷移，探究的比例占得最小。其中“人教版”習題中模仿類型的比例為46%，低于“新路標數(shù)學(xué)”相應(yīng)的比例；遷移類型習題的比例為43%，與“新路標數(shù)學(xué)”的40%較為接近；而探究類型的習題比例為11%，高于“新路標數(shù)學(xué)”的7%。

4.2 習題背景對比

對兩國教材中習題背景進行比較，結(jié)果如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”中的習題大多數(shù)是無背景呈現(xiàn)的。但“人教版”無背景習題的比例小于“新路標數(shù)學(xué)”。

在“人教版”和“新路標數(shù)學(xué)”中，習題有生活背景的比例分別為35%和25%，可見“人教版”更為重視習題生活背景的呈現(xiàn)，以幫助學(xué)生更易理解題目，從而解決問題。

在有背景的習題類型中，學(xué)生理解有科學(xué)背景的題型更為困難，“人教版”中有科學(xué)背景的習題占總題量的5%，而“新路標數(shù)學(xué)”中有科學(xué)背景的習題幾乎沒有出現(xiàn)。

綜上，在習題難度方面，“人教版”在習題水平和習題背景這兩個維度都高于“新路標數(shù)學(xué)”。

5. 結(jié)論

從教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度三個維度對兩套教材的難易度分析發(fā)現(xiàn)：

（1）在內(nèi)容廣度上，“人教版”知識點個數(shù)比“新路標數(shù)學(xué)”知識點個數(shù)少?！叭私贪妗北取靶侣窐藬?shù)學(xué)”更側(cè)重數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，注重計算；在圖形與幾何領(lǐng)域，“人教版”著重介紹三角形的相關(guān)內(nèi)容，而“新路標數(shù)學(xué)”著重于三維圖形的認識及鐘表的認識；在統(tǒng)計與概率方面，兩國教材介紹的內(nèi)容都不多。

（2）在教材內(nèi)容深度方面，“人教版”相對更強調(diào)對知識的理解和掌握，“新路標數(shù)學(xué)”以理解知識為主，并不特別強調(diào)掌握。在數(shù)與代數(shù)中，兩國教材都介紹了小數(shù)與分數(shù)且強調(diào)對知識的掌握，“人教版”的重點在于大數(shù)的運算和運算技巧，強調(diào)運用，而“新路標數(shù)學(xué)”的要求主要是掌握；兩國教材對于圖形與幾何領(lǐng)域的知識主要強調(diào)理解與掌握；在概率與統(tǒng)計板塊中，兩國教材主要要求對知識有初步認識和了解。

（3）在教材習題的安排方面，“人教版”四年級教材中習題總數(shù)為479，題量并不大，習題以模仿與遷移為主；而“新路標數(shù)學(xué)”四年級教材的特點是教材中習題較多，共有3503道小題，類似于一本習題集，習題類型大多是模仿。這可能也反映出兩套教材在習題編排功能上的差異。

6. 兩套教材的其他特點與啟示

6.1 章節(jié)劃分與組織的序

“新路標數(shù)學(xué)”四年級教材按照數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、概率與統(tǒng)計三大領(lǐng)域相對獨立劃分章節(jié)。實際上，“新路標數(shù)學(xué)”系列教材中，每個年級都涉及數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、概率與統(tǒng)計的相關(guān)章節(jié)。而中國人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材章節(jié)的劃分采用的是一種交叉并行模式，可能不利于學(xué)生整體把握各領(lǐng)域。例如“人教版”小學(xué)四年級數(shù)學(xué)上冊教材中，第一單元是大數(shù)的認識，第二單元是角的度量，而第三單元是三位數(shù)乘兩位數(shù)，這樣知識點所屬領(lǐng)域的跨度太大，學(xué)生難以把握。

6.2 教材組織方式

兩套小學(xué)數(shù)學(xué)教材的課程組織方式存在差異，“新路標數(shù)學(xué)”四年級教材的章節(jié)內(nèi)容編排呈螺旋式上升，即在章節(jié)的不同階段中課程內(nèi)容重復(fù)出現(xiàn)，并且逐漸擴大范圍，加深程度?！叭私贪妗苯滩囊脖憩F(xiàn)為螺旋式編排，但在章節(jié)內(nèi)還是更接近于直線式編寫，可以認為是直線式與螺旋式的中間模式。

6.3 文字題的設(shè)計

長期以來，文字題（有時候又被大多數(shù)小學(xué)教師稱為應(yīng)用題）在我國小學(xué)數(shù)學(xué)中分量較重，并形成了獨特的教學(xué)體系，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面發(fā)揮了較好的作用，但在培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題的能力方面還顯得不足。“新路標數(shù)學(xué)”教材中“解決問題”的思想是通過教材直接展示的，教材中呈現(xiàn)的應(yīng)用題多符合生活實際，能激發(fā)學(xué)生的參與興趣，在復(fù)雜的應(yīng)用題旁有一些“解題策略”的點撥，有助于學(xué)生自主解決問題。這樣的做法往往見于我國的教輔用書，教材編寫者也可以適當吸納。