熊瑜 畢金缽

【摘要】 本文通過(guò)作者多年教授離散數(shù)學(xué)課程中數(shù)理邏輯部分的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)數(shù)理邏輯中演繹推理的要點(diǎn)和難點(diǎn)，利用圖解法幫助學(xué)生更快速簡(jiǎn)單地掌握推理演算的技巧.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)理邏輯;命題公式;謂詞公式;演繹推理

一、引 言

數(shù)理邏輯用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究邏輯問(wèn)題，也稱作是符號(hào)邏輯，把邏輯中的推理過(guò)程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，從而得到合理正確的結(jié)論.當(dāng)我們已經(jīng)了解了邏輯運(yùn)算的對(duì)象—命題和運(yùn)算符號(hào)—邏輯連接詞，還有謂詞邏輯當(dāng)中把命題進(jìn)一步細(xì)化出個(gè)體詞、量詞和謂詞后，演繹推理就該是接下來(lái)要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).學(xué)生通常拿到一個(gè)演繹推理問(wèn)題時(shí)，想要按要求來(lái)構(gòu)造一個(gè)有限公式序列，證明推理的合理性，通常無(wú)從下手，那么在本文中我們將把演繹推理演算用有效簡(jiǎn)單的圖解法來(lái)解答，給學(xué)生一個(gè)更快掌握的途徑.

二、演繹推理的圖解法

數(shù)理邏輯中，演繹推理問(wèn)題都是要從一些已經(jīng)符號(hào)化好的前提條件出發(fā)推出結(jié)論的有效性與合理性.在這個(gè)過(guò)程中我們要求非常清晰明白地把每一步的推理細(xì)節(jié)呈現(xiàn)出來(lái)，讓整個(gè)演繹推理完全清楚明白.這個(gè)過(guò)程就如偵探探案解說(shuō)案件的過(guò)程，每一個(gè)細(xì)小的結(jié)論都需要把現(xiàn)象下的本質(zhì)解答出來(lái).以下我們舉一個(gè)謂詞邏輯當(dāng)中的例子演繹這個(gè)效果.我們將采用圖解法來(lái)實(shí)現(xiàn)有效簡(jiǎn)單的解答.

例如，證明“每個(gè)喜歡獨(dú)處的人都不喜歡熱鬧;每個(gè)人或者喜歡熱鬧或者喜歡安靜;有的人不喜歡安靜;所以，有人不喜歡獨(dú)處.”

設(shè)個(gè)體域是全體人類，P（x）：x喜歡獨(dú)處，Q（x）：x喜歡熱鬧，R（x）：x喜歡安靜.符號(hào)化我們需要證明的推理命題如下：

x（P（x）→ Q（x）），x（Q（x）∨R（x）），

x R（x）x P（x）

（1）P：x R（x） （2）ES? R（a）

（3）P：x（Q（x）∨R（x）） （4）US Q（a）∨R（a）? （5）T Q（a）

（6）P：x（P（x）→ Q（x）） （7）US P（a）→ Q（a）

（8）T? P（a） （9）EU x P（x）

以上圖解中出現(xiàn)的符號(hào)表意如下：

P：前提引入規(guī)則;T：結(jié)論引入規(guī)則;ES：存在量詞消去規(guī)則;US：全稱量詞消去規(guī)則;EU：存在量詞引入規(guī)則.

以下我們按照?qǐng)D解法的思路，可以輕松地寫出整個(gè)推理所構(gòu)造出的有限公式序列.

（1）x R（x）P;

（2） R（a）ES：（1）;

（3）x（Q（x）∨R（x））P;

（4）Q（a）∨R（a） US：（3）;

（5）Q（a）T：（2），（4）;

（6）x（P（x）→ Q（x））P;

（7）P（a）→ Q（a）US：（6）;

（8） P（a）T：（5），（7）;

（9）x P（x）EU：（8）.

在這個(gè)公式序列中最后一個(gè)公式即為我們所要證明的結(jié)論.公式序列里面每步構(gòu)造的子公式，我們要求在后面的注解中清晰地寫出這一階段性結(jié)論的由來(lái)依據(jù).從我們的圖解法中就可以快速找到依據(jù).比如，第（8）步中，我們得到一個(gè)階段性的結(jié)論 P（a），那么是怎么來(lái)的呢？其實(shí)我們是根據(jù)第（5）步Q（a）和第（7）步P（a）→ Q（a）這兩個(gè)子公式，利用了“拒取式”這個(gè)基本推理公式所得到的.我們的推理過(guò)程就像搭建一座房屋，根基要非常的牢靠，每一個(gè)步驟環(huán)環(huán)相扣，不能夠出現(xiàn)任何紕漏，圖解法通常是最為直觀和有效的方式.

三、小 結(jié)

有了第二節(jié)中圖解法，能夠清晰地展現(xiàn)出推理的整個(gè)思維過(guò)程，學(xué)生在學(xué)習(xí)演繹推理時(shí)就可以快速準(zhǔn)確地把推理的細(xì)節(jié)全部抓住，從而快速解決問(wèn)題.這樣我們就能夠真正地實(shí)現(xiàn)數(shù)理邏輯的先驅(qū)萊布尼茲曾經(jīng)的理想，創(chuàng)造出了一種“通用的語(yǔ)言”，把邏輯推理過(guò)程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)行演算，最終得到合理正確的結(jié)論.

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