鄧琴

【摘要】 在不定積分的計(jì)算方法中，分部積分法是最重要的方法之一，也是最常見的方法之一.本文主要介紹不定積分分部積分法的具體方法、技巧及其應(yīng)用，提高學(xué)生對(duì)不定積分分部積分法的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】 不定積分;分部積分法;函數(shù)

一、分部積分法的介紹及技巧

分部積分法是不定積分的計(jì)算方法中最重要的方法之一，也是最常見的方法之一.設(shè)函數(shù)u=u（x）及v=v（x）具 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則乘積的求導(dǎo)法則為（u（x）v（x））′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x），移項(xiàng)得u（x）v′（x）=（u（x）v（x））′-u′（x）v（x）， 兩邊積分就得到下面這個(gè)分部積分公式：

∫u（x）dv（x）=u（x）v（x）-∫v（x）du（x）.

在進(jìn)行分部積分時(shí)，把被積表達(dá)式中的哪一部分取作u，dv是任意的，但是如果u和dv的選取不恰當(dāng)，往往會(huì)使問(wèn)題變得更復(fù)雜.選擇的原則是：（1）v容易求得;（2）∫v（x）du（x）比∫u（x）dv（x）容易求.其一般規(guī)律符合LIATE選擇法：讓L代表對(duì)數(shù)函數(shù)，I代表反三角函數(shù)，A代表代數(shù)函數(shù)，T代表三角函數(shù)，E代表指數(shù)函數(shù)，被積函數(shù)如遇到其中任何兩種函數(shù)的乘積，選先出現(xiàn)在LIATE中的函數(shù)為u，剩下的為v′.

二、應(yīng)用舉例

例1 ??求∫xcosxdx.

解 ?令u=x，dv=cosxdx，則du=dx，v=sinx.所以，原式=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

例2 ??求∫xexdx.

解 ?原式=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+C.

例3 ??求∫（lnx）2dx.

解 ?原式=x（lnx）2-2∫lnxdx=（xlnx）2-2xlnx+2∫dx=（xlnx）2-2xlnx+2x+C.

例4 ??求∫excosxdx.

解 ?原式=∫cosxdex=excosx+∫sinxdex=excosx+exsinx-∫excosxdx，移項(xiàng)可得

∫excosxdx= 1 2 （excosx+exsinx）+C.

例5 ??求∫ 1+sinx 1+cosx exdx.

解 ?原式=∫ 1+2sin x 2 cos x 2? 2 cos x 2? 2 exdx

=∫ 1 2 cos x 2? 2 exdx+ ∫extan x 2 dx

=∫exdtan x 2 +∫extan x 2 dx

=extan x 2 -∫tan x 2 exdx+∫extan x 2 dx

=extan x 2 +C.

例6 ??求∫ xex （x+1）2 dx.

解 ?原式=∫ x+1-1 （x+1）2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx-∫ 1 （x+1）2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx+∫exd 1 1+x

=∫ 1 x+1 exdx+ 1 x+1 ex-∫ 1 x+1 exdx

= 1 x+1 ex+C.

三、小 結(jié)

當(dāng)不定積分中被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積時(shí)，可以考慮用分部積分法來(lái)求.大部分情況下的u和dv的選擇可以按照上述方法來(lái)選取，但是也有例外，比如，例5和例6，做題時(shí)一定要靈活運(yùn)用.有時(shí)候還要和湊微分法和變量代換法結(jié)合在一起使用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李偉.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程[M].北京：天津大學(xué)出版社，2004.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.