孫杰寶 郭志昌 吳勃英

【摘要】 數(shù)列極限是數(shù)學分析課程的重要基礎，而如何深刻理解數(shù)列極限定義則是學好數(shù)學分析的關(guān)鍵.本文通過引入一個將等式“等價為”不等式的引理，引導學生正確理解任意小變量ε和N的依賴關(guān)系，并在幾何意義下進一步明確數(shù)列極限定義的深層內(nèi)涵.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列極限;收斂

【基金項目】 黑龍江省高等教育教學改革研究項目（SJGY20170670）.

一、引 言

數(shù)列極限是數(shù)學分析[1]課程的重要基礎，而數(shù)學分析的核心也正是對無窮小和無窮大的處理和理解.因此，數(shù)列極限的定義及講授方式在數(shù)學分析的講解中就顯得非常重要.數(shù)列極限定義的抽象性，使得學生難以理解.已經(jīng)有多位教育學者對數(shù)列極限的定義和講解方法進行了多方面的探討[2-4].本文作者探尋出一種關(guān)于數(shù)列極限定義的教學新思路，使學生更容易理解數(shù)列極限定義的深層內(nèi)涵.

二、數(shù)列極限定義教學新思路

關(guān)于數(shù)列極限定義的教學新思路是：首先，通過給出一些等價引理，重點引導學生理解任意小變量ε;然后，通過實際計算的方式明白任意小變量ε和N的依賴關(guān)系;接下來，引出數(shù)列極限定義，即大家熟知的數(shù)列極限定義的ε-N語言;最后，通過探討數(shù)列極限的幾何意義，總結(jié)數(shù)列極限的本質(zhì).

首先，給出如下引理：

引理1 ?ε>0，|x-y|<εx=y.

證明 ?必要性，顯然.

充分性，反證法.假設x≠y，則|x-y|>0.由ε的任意性取ε= |x-y| 2 ，則有|x-y|< |x-y| 2 ，矛盾.

引理1說明等式可以“等價為”不等式，從而引導學生突破高中階段對等式的理解，并明確等式在將來的學習研究中可以有更多的形式.

注1：ε>0，|x-y|<aε（a>0）x=y.

注2：ε>0，x<y+εx≤y.

總結(jié)：“ε>0，×××”這種描述方式和初等數(shù)學中的等式和不等式有著本質(zhì)的不同，利用這種語言可以進一步得到等式或不等式的“極限”情形.

接下來，我們通過簡單問題來理解數(shù)列極限定義.

問題1 ?已知 lim n→∞? 1 n =0，那么 1 n 是否等于0？如果不等，將會以哪種方式和0進行比較？

下面我們利用引理1的思想來處理問題1.即：ε>0， 1 n 與0的距離在n取多少時可以達到小于ε？簡單計算可得：

ε=0.1時，? 1 n -0 <εn>10;

ε=0.01時，? 1 n -0 <εn>100;

ε=0.001時，? 1 n -0 <εn>1 000.

該結(jié)果表明當n大于某個數(shù)N時， 1 n 和0總是小于給定的ε.由引理1可知 1 n 與0越來越接近，因為引理1的結(jié)論告訴我們n大于某個N時， 1 n 與0相等.

利用上述分析我們可以抽象出數(shù)列極限的定義：

定義1 ?設{xn}是一個實數(shù)列，a是一個常數(shù).若ε>0，N=N（ε），使得當n>N時，有|xn-a|<ε，則稱數(shù)列{xn}收斂于a，并稱a為數(shù)列{xn}的極限.

理解：問題1中，由于N依賴于ε，記為N=N（ε）.一經(jīng)找到N，數(shù)列中n>N的項都滿足和a充分接近，也就是說，可以從定義1中抽出這樣的一個部分：

ε>0，|xn-a|<ε.

而引理1告訴我們xn“=”a.這也可以看出充分接近的數(shù)學內(nèi)涵，即ε>0，|xn-a|<ε.

最后從幾何的觀點來理解數(shù)列極限定義.從上圖可以看出，問題1的另外一種理解為：當ε=0.1時，（-0.1，0.1）包括了 1 n （n>10）的所有點，但是1，…， 1 10 在區(qū) 間（-0.1，0.1）外.而當ε=0.01時，（-0.01，0.01）包括了 1 n （n>100）的所有點，但1，…， 1 100 在區(qū)間（-0.1，0.1）外.

依此類推，我們可以得到數(shù)列極限的幾何解釋：存在一點a，使得ε>0，該點的鄰域（a-ε，a+ε）總包含{xn}的無窮多點{xN+1，xN+2，…}，而該區(qū)間外只有有限個點{x1，…，xN}.

注3：若存在一點，滿足在該點的任何鄰域內(nèi)總包含{xn}的無窮多點，那么該點是不是極限值？結(jié)論是不一定.考察數(shù)列{（-1）n}∞n=1，顯然1的任何鄰域包含{（-1）n}∞n=1無窮多個點，但1不是極限，因為1的任何鄰域外仍有無窮多個數(shù)列中的點.

三、結(jié)束語

通過引入一個可以將等式“等價為”不等式的引理，加深了學生對ε的理解，并進一步明確了ε在數(shù)列極限中所起到的重要作用，從而使得學生更加容易理解和掌握數(shù)列極限的定義.

【參考文獻】

[1]嚴子謙，尹景學，張然.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]戎海武，王向東.關(guān)于數(shù)列極限定義的幾點思考[J].高等數(shù)學研究，2003（3）：8-9.

[3]王書臣，王立冬，張友，等.數(shù)列極限定義教學的認識與實踐[J].數(shù)學教育學報，2012（6）：85-87.

[4]趙健寶，王潔，李義華.對數(shù)列極限的定義的理解[J].數(shù)學學習與研究，2012（17）：106.