申海東

【摘要】 三角函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)知識體系的重要構(gòu)成，亦是教學(xué)難點所在.在具體的教學(xué)實踐中，很多師生表示初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)困難重重，不僅僅緣于其本身的學(xué)科特性，同時亦受多重因素影響.正確的教學(xué)方法導(dǎo)入，將對降低初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習難度發(fā)揮重要作用.正是因為如此，多年來學(xué)術(shù)界對初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難點及教學(xué)方法的探討不勝枚舉，并從不同維度提出了相關(guān)踐行策略.本文基于對初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難點的分析與論述，重點就其有效教學(xué)方法進行了探索.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);三角函數(shù);難點分析;教學(xué)方法

在義務(wù)教育期間，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，在學(xué)生學(xué)習生活中扮演著重要角色，隨著年齡增長所關(guān)涉及的知識由淺入深.綜合來講，初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)π轮R的引入并不突兀，是建立在就有知識基礎(chǔ)之上的，同時為后續(xù)更加深刻的學(xué)習打下基礎(chǔ)，具有承上啟下的功能.以當前的教學(xué)設(shè)置來看，初中數(shù)學(xué)知識點的難易分布較為均衡，涉獵廣泛，其中三角函數(shù)是學(xué)生學(xué)習的難點所在，在教學(xué)實踐中，需要教師花費大量的時間和精力進行教授，但事實上收效卻不明顯.究其根本，教學(xué)方法引入與初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難度具有直接關(guān)聯(lián)，其創(chuàng)新與優(yōu)化至關(guān)重要.

一、初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)難點分析

在初中數(shù)學(xué)課程體系中，三角函數(shù)占據(jù)著重要位置，相比于高中數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識內(nèi)容較為基礎(chǔ)，為日后復(fù)雜的函數(shù)學(xué)習奠定了基礎(chǔ)，但對學(xué)生而言，其作為新型概念，接觸學(xué)習中的困難客觀存在.在具體的實踐中，學(xué)好三角函數(shù)的重點在于精準掌握其相關(guān)概念及本質(zhì)含義.據(jù)相關(guān)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多初中生對數(shù)學(xué)三角函數(shù)的概念認知模糊、抽象，未能精準地掌握其中本質(zhì)含義，給后續(xù)學(xué)習應(yīng)用造成了極大困擾.基于此，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的難點還體現(xiàn)為，對三角函數(shù)建立直觀的認知.初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的最顯著特點是數(shù)形結(jié)合，即一個解析式對應(yīng)一個圖形，但學(xué)生卻往往忽視了這一點，對圖形的借用不足，一定程度上增加了解題難度.綜合來講，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的難度是客觀存在的，加之教學(xué)方法單一，很容易增加學(xué)生的枯燥感、挫敗感以及壓力感，使之以逃避的方式對待三角函數(shù)學(xué)習，最終導(dǎo)致學(xué)習效果每況愈下.因此，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的難點不單單體現(xiàn)在其關(guān)聯(lián)知識內(nèi)容上，還受人為主觀因素影響，建立科學(xué)的教學(xué)方法體系至關(guān)重要，是提升學(xué)生學(xué)習實效的關(guān)鍵因素.

二、初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)方法探索

初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的難點構(gòu)成多元化.素質(zhì)教育背景下，應(yīng)注重學(xué)生主體地位發(fā)揮，結(jié)合初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)特性，不斷創(chuàng)新和優(yōu)化教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣，提升最終實效.基于上述分析，針對初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難點，提出了以下幾種教學(xué)方法，以供參考和借鑒.

（一）注重情境，深入本質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)知識構(gòu)成體系中，每種函數(shù)都有其相對應(yīng)的解析式，而系數(shù)可謂函數(shù)解析式中靈魂的存在.對此，初中學(xué)生要深刻理解各個系數(shù)代表的不同含義，掌握其差異化的限制要求，避免概念混淆，給數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習造成難度.對于絕大部分的初中生而言，三角函數(shù)作為新接觸的數(shù)學(xué)概念，其知識構(gòu)成體系相對簡單.此時，教師要著重強調(diào)基礎(chǔ)知識構(gòu)成與積累，為后續(xù)學(xué)習深入奠定扎實的基礎(chǔ).例如，銳角三角函數(shù)的第一節(jié)課，我們在進行實際的教學(xué)過程當中可以這樣來設(shè)計進行情境引入，使學(xué)生更深入地理解定義.

案例1 ?教師活動：點出課題并提出問題：“你能說出下面函數(shù)的名稱并指出其中的自變量和函數(shù).”

（1）y= 2 3 x-1;（2）y= 4 x ;（3）y=-x2+2x-3.

學(xué)生活動：學(xué)生回答（1）一次函數(shù);（2）反比例函數(shù);（3）二次函數(shù).

教師活動：歸納提升“這些函數(shù)反映了兩個變量之間數(shù)值與數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系”;進一步提問“存在不存在一種函數(shù)它反映的兩個變量之間不是數(shù)值與數(shù)值對應(yīng)的關(guān)系？”創(chuàng)設(shè)情境，給出實際問題：“始建于1350年的意大利比薩斜塔落成時已經(jīng)傾斜，1972年比薩地震，這座高54.5米的斜塔大幅搖擺22分后，仍巍然屹立.可是，塔尖偏離中心的距離增加到5.2米.你能用‘塔身中心線偏離垂直中心線的角度來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？”抽象出數(shù)學(xué)問題，“已知AB=54.5 m，BC=5.2 m，求∠α=？”

問題是學(xué)習的起點，通過上述問題抓住學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的內(nèi)在需求，并使學(xué)生認識到今天學(xué)習的內(nèi)容與以往的函數(shù)不同，激發(fā)學(xué)習的興趣.

（二）逐步引導(dǎo)，交流探索

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的基本方法策略.事實證明，一味地進行數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識概念灌輸，并不能幫助學(xué)生準確把握其中含義，對相關(guān)知識的學(xué)習不夠直觀、深刻，有時甚至可能增加學(xué)生的畏難情緒.而初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)最為明顯的特征是涵蓋了各種各樣的圖形，在信息化時代背景下，多媒體技術(shù)在教育領(lǐng)域的應(yīng)用，為初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)方法創(chuàng)新提供了有利契機，可以利用信息技術(shù)逐步引導(dǎo)學(xué)生進行探索，如銳角三角函數(shù)的第一節(jié)課，我們在情境引入之后就可以逐步引導(dǎo)，來進行對正弦定義進行探索.

案例2 ?教師活動：復(fù)習提問：“研究過直角三角形的哪些內(nèi)容？”

學(xué)生活動：學(xué)生回答：“勾股定理、直角三角形兩個銳角互余.”

教師活動：歸納提升，設(shè)疑探究：“以前研究過直角三角形邊與邊之間的關(guān)系、角與角之間的關(guān)系，今天研究邊與角之間的關(guān)系，不妨探索兩邊的比值與角的關(guān)系，首先研究對邊與斜邊的比值與銳角的關(guān)系.”

角度? 這個角的對邊 斜邊

30°? 1 2

45°?? 2? 2

60°?? 3? 2

當銳角的度數(shù)一定時， 這個角的對邊 斜邊 的值是唯一確定的.

隨著角度的變化， 這個角的對邊 斜邊 的值也隨之發(fā)生變化.

教師活動：提出問題“當銳角∠A取不同角度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比值是否也隨之改變？我們不妨選一些特殊的值，試著解決.”教師講解求30°角的對邊與斜邊比值.

學(xué)生活動：學(xué)生自主探究，完成求45°，60°角的對邊與斜邊比值.

教師活動：教師通過幾何畫板演示一些不特殊的角的對邊與斜邊的比值.

角度? 這個角的對邊 斜斜邊

∠BAC=17.33°? BC? BA? =0.30

∠BAC=37.84°? BC? BA? =0.61

∠BAC=71.53°? BC? BA? =0.95

（幾何畫板）

教師活動：設(shè)計問題串引導(dǎo)學(xué)生歸納探索過程“在這個變化過程中有幾個變量？哪兩個變量？這兩個變量有什么對應(yīng)關(guān)系？你有什么發(fā)現(xiàn)？我們研究的角度都是什么范圍內(nèi)的角？”

學(xué)生活動：學(xué)生回答：隨著角度的變化， 這個角的對邊 斜邊 的值也隨之發(fā)生變化.（教師規(guī)范語言）

教師活動：進一步提問“隨著角度的變化， 這個角的對邊 斜邊 的值也隨之發(fā)生變化，當銳角度數(shù)一定時， 這個角的對邊 斜邊 的值也是唯一確定的嗎？”

角的兩邊是射線，剛才選定了兩邊長，現(xiàn)在重新選取兩邊長構(gòu)造一個新的直角三角形，取30°角的對邊為a，求它的對邊與斜邊的比值.這時， 這個角的對邊 斜邊 的值不變.

學(xué)生活動：學(xué)生自主探究，驗證45°，60°角確定時， 這個角的對邊 斜邊 的值確定的.

利用相似三角形的有關(guān)知識，證明不是特殊的角度，當∠A的度數(shù)一定時， 這個角的對邊 斜邊 的值是確定的.

已知：∠A=∠A′，∠ACB=∠A′C′B′=90°.

求證： BC AB = B′C′ A′B′ .

學(xué)生完成證明，總結(jié)結(jié)論.

教師活動：完善結(jié)論：“隨著角度的變化， 這個角的對邊 斜邊 的值也隨之發(fā)生變化，當銳角的度數(shù)一定時， 這個角的對邊 斜邊 的值是唯一確定的.這正好符合函數(shù)的定義，它是我們這章學(xué)習的銳角三角函數(shù)之一——正弦函數(shù)，一條是這個角的正對的邊，一條是斜邊，斜邊稱為弦，所以叫正弦函數(shù).”（PPT）

這個環(huán)節(jié)是使學(xué)生理解銳角三角函數(shù)概念，這個概念和以前所學(xué)過的函數(shù)不同，它反應(yīng)的不是數(shù)值與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，而是角度與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生初次接受這種關(guān)系，理解起來有一定困難，而這種關(guān)系對學(xué)生深刻地理解函數(shù)的概念又有很大的幫助.通過對特殊角對邊與斜邊的比值研究，再就一般情況進行研究，使學(xué)生感受到在直角三角形中，角的度數(shù)不同時，這個角的對邊與斜邊的比值也不同，通過學(xué)生活動體會函數(shù)思想，為引入正弦函數(shù)做好鋪墊.有了上面的感受，會使學(xué)生自然地想到，在直角三角形中，一個銳角取一定的度數(shù)時， 這個角的對邊 斜邊 的值是否也是唯一確定的？通過學(xué)生探討30°、45°、60°的特殊角度的基礎(chǔ)上，用相似的知識完成任意銳角的情形的證明，這種由特殊到一般的過渡，使學(xué)生有較多的機會體驗：當銳角的度數(shù)一定時， 這個角的對邊 斜邊 的值是唯一確定的，這為正弦函數(shù)的概念鋪設(shè)了必要的臺階，從而水到渠成的概括出正弦函數(shù)的概念.

縱觀整個初中階段的數(shù)學(xué)三角函數(shù)，其中涉及題型較為基礎(chǔ)、簡單，即使復(fù)雜的題型構(gòu)成也是由基礎(chǔ)積累和延伸出來的.所以，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)在循序漸進的原則基礎(chǔ)上，由表及里、由淺入深，讓學(xué)生掌握基本解題方法，繼而更好地應(yīng)用于生活實踐.以當前的情況來看，大多數(shù)初中生對數(shù)學(xué)三角函數(shù)的認知片面、零碎，尚未形成完整的知識架構(gòu)體系，進而導(dǎo)致學(xué)習難度逐步增加.因此，教師要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)初中階段學(xué)生的認知成長規(guī)律，注重教材內(nèi)容設(shè)置優(yōu)化，幫助學(xué)生建立完整的知識結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)他們有機地將前后知識點串聯(lián)在一起，為后續(xù)學(xué)習鋪筑道路.另外，教師還需注重學(xué)生活躍思維能力培養(yǎng)，提高他們對新問題、新方法的敏感程度，使之在相對輕松、愉悅的課堂氛圍中，自主探究新方法并善于運用，以此來輔助知識結(jié)構(gòu)體系建設(shè)的完善.例如，在數(shù)學(xué)三角函數(shù)化簡教學(xué)中，教師可以相關(guān)問題設(shè)置為導(dǎo)向，通過任務(wù)驅(qū)動學(xué)生思考問題、解決問題，啟示學(xué)生多轉(zhuǎn)變視角思考，繼而養(yǎng)成他們良好的解題習慣，使之感受成功之余，在扎實地掌握既有知識的過程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

三、結(jié) 語

總而言之，初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難點是客觀存在的，需選用正確的教學(xué)方式方法.初中學(xué)生由于年齡還小，不太成熟，直觀而形象的教學(xué)更能吸引他們的注意力，引起他們的興趣.因此，教師要結(jié)合所要教授的內(nèi)容和學(xué)生的特點來對教學(xué)活動進行安排，要盡量增加一些動手操作的活動，讓學(xué)生在實踐中找到或者驗證問題的答案，讓問題的解答方式更加多元化，從不同維度或視角分析初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)難點，這樣更有利于學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

【參考文獻】

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