孟虹宇 彭磊

【摘要】 本文基于高斯函數(shù)的基礎(chǔ)上，使用截?cái)喔咚购瘮?shù)作為權(quán)函數(shù)，并結(jié)合最小二乘逼近法一起用在無網(wǎng)格伽遼金方法中去解一維帶控偏微分方程.該方法可行，計(jì)算精度提高了.

【關(guān)鍵詞】 高斯函數(shù);無網(wǎng)格伽遼金法;最小二乘法

無網(wǎng)格伽遼金法（EFG）最早是美國(guó)西北大學(xué)的Belytschko[1]教授于1994年提出的，在之后，此方法被廣泛地應(yīng)用去解偏微分方程.

本文在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上使用截?cái)喔咚购瘮?shù)作為無網(wǎng)格伽遼金法中的一個(gè)權(quán)函數(shù)去解一維偏微分方程，而且過程中應(yīng)用了拉格朗日乘子和最小二乘法，最后通過編程實(shí)現(xiàn)算法.

一、截?cái)喔咚购瘮?shù)

ω（t）= e-αt2，0≤t≤1;0，t>1.

二、無網(wǎng)格伽遼金法

在無網(wǎng)格伽遼金法中，在有意義的域上，用uh（x）去逼近u（x），使用最小二乘法去逼近uh（x）=∑ m j=1 pj（x）aj（x）≡ P T（x） a （x）.其中，aj（x）是非常數(shù)系數(shù)，pj（x）是多項(xiàng)式基函數(shù)，m是基的項(xiàng)數(shù).這個(gè)系數(shù)aj（x）是二次函數(shù)J（x）通過取到最小值時(shí)給出的，J（x）函數(shù)形式如J（x）=∑ n I=1 ω（r） ∑ m j=1 pj（xI）aj（x）-uI 2，其中，ω（r）是非零的權(quán)函數(shù)和n是在有定義區(qū)域節(jié)點(diǎn)的項(xiàng)數(shù).在呈現(xiàn)的這個(gè)情況下，一階多項(xiàng)式可以作為一個(gè)基函數(shù) P T（x）=[1 x].

在本文中取截?cái)喔咚购瘮?shù)作為權(quán)函數(shù)，α作為常數(shù)且在本文中取α=3.066 625，r= ‖x-xI‖ dmi ，在有意義的區(qū)域上的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的尺度是dmi=dmax×ci，其中，dmax是一個(gè)參數(shù)，ci是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離.

這里對(duì)J（x）中的aj（x）求一次導(dǎo)，使J（x）取到最小值時(shí)，就會(huì)有以下的關(guān)系 a （x）= A （x） B （x） u .其中 A （x）=∑ n I=1 ω（x-xI） P （xI） P T（xI），把 A （x）式代入uh（x）=∑ m j=1 pj（x）aj（x）≡ P T（x） a （x），用最小二乘法得到的近似式如uh（x）=∑ m I=1 φI（x）uI= Φ （x） u .

在線性基的情況下，形態(tài)函數(shù)φJ(rèn)（x）獲得的形式如下：

φj（x）=[ 1 x ] 1 | A |?? ∑ N i=1 x2iω（x-xi） -∑ N i=1 xiω（x-xi）-∑ N i=1 xiω（x-xi） ∑ N i=1 ω（x-xi）??? ω（x-xj）xjω（x-xj）? ?.

三、數(shù)值問題

在本文中，帶控制的偏微分方程給出如下：Eu，xx+x=0.其中，u（x）表示位移量，E表示楊氏模量，邊界條件是u（0）=0和u，x（L）=0.當(dāng)使用拉格朗日乘子去實(shí)施基本的邊界條件時(shí)，方程的弱形式給出如下：

∫100δ υ T，xEu，xdx-∫100δ υ Txdx-δ υ T u ，x （x=0）-δ λ T（ u -0） （x=0）-δ υ T λ? （x=0）=0.

四、數(shù)據(jù)結(jié)果精度分析

通過表1可以看出：當(dāng)取Δx=0.01時(shí)，誤差逐漸變小了，當(dāng)取Δx=0.001時(shí)，精度最好可以達(dá)到10-3.

五、結(jié) 論

在本文中，應(yīng)用MATLAB代碼，其中L=10，E=1.在無網(wǎng)格伽遼金法中引入截?cái)喔咚购瘮?shù)作為權(quán)函數(shù)，結(jié)合最小二乘法，經(jīng)過編程成功地獲得算法，并且得到了計(jì)算的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)結(jié)果表明本文的方法是很好的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Belytschko T，Gu L，Lu Y Y.Fracture and crack growth by element-free Galerkin methods[J].Model.Simul.Mater.Sci.Eng.，1994（2）：519-534

[2]T SANDEEP，K KAMAL KUMAR.Use of Bspline Function in Element Free Galer Kin Method for Numerical Solution of Partial Differential Equation[J].International Journal of Computational Methods，2009：349-360.