王繼田+李媛

摘要：文章采用MF-DFA方法研究匯率波動(dòng)的分形特征，以說明人民幣與美元匯率走勢(shì)的長(zhǎng)記憶性特征。并通過實(shí)證得出兩個(gè)結(jié)論：一是人民幣對(duì)美元匯率的波動(dòng)嚴(yán)重依賴其前期波動(dòng)， 前期匯率數(shù)值會(huì)全部傳導(dǎo)到本期； 二是人民幣匯率市場(chǎng)波動(dòng)存在明顯的分形維， 時(shí)間序列具有波動(dòng)異方差性。

關(guān)鍵詞：匯率波動(dòng)；MF-DFA；多重分形

一、引言

匯率是各國(guó)進(jìn)行貿(mào)易、資本跨國(guó)流動(dòng)的前提，是連接各國(guó)經(jīng)濟(jì)往來的橋梁，因此匯率波動(dòng)會(huì)對(duì)各國(guó)的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生一定的影響。匯率波動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)及國(guó)際金融風(fēng)險(xiǎn)都具有良好的時(shí)效性和敏感性，研究匯率的波動(dòng)特征能更好地把握匯率變化的規(guī)律，從而化解匯率波動(dòng)對(duì)經(jīng)濟(jì)的沖擊。反過來，經(jīng)濟(jì)的變化也會(huì)對(duì)匯率收益率波動(dòng)造成沖擊，影響匯率收益率的波動(dòng)特征。

實(shí)證研究表明諸如外匯市場(chǎng)、股票市場(chǎng)、期貨市場(chǎng)等并不是有效的，人民幣對(duì)美元價(jià)格的變化并不是獨(dú)立的，而是存在相關(guān)性，人民幣對(duì)美元價(jià)格的變化并不服從正態(tài)分布，那么基于有效市場(chǎng)假說的經(jīng)典金融市場(chǎng)理論存在著缺陷。Peters（1991）提出的分形市場(chǎng)假說（Fractal Market Hypothesis，F(xiàn)MH）提供了研究金融市場(chǎng)長(zhǎng)時(shí)間序列的新方法和新思路，對(duì)市場(chǎng)特性的研究更為廣泛、深入和切入本質(zhì)。其中收益率的長(zhǎng)記憶性引起很多學(xué)者和金融市場(chǎng)實(shí)際從業(yè)人員的廣泛關(guān)注。認(rèn)為人民幣對(duì)美元波動(dòng)的行為就像一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，對(duì)一些外郁的沖擊有快速和充分的初始反應(yīng)，但是由于系統(tǒng)受長(zhǎng)期穩(wěn)定機(jī)制的控制，這個(gè)反應(yīng)就會(huì)衰減，使其在短期內(nèi)快速的消失。

基于分形理論的多重分形去趨勢(shì)分析法（MF-DFA）能夠有效去除局部趨勢(shì)對(duì)時(shí)間序列標(biāo)度的影響，可以探測(cè)不同時(shí)間標(biāo)度下時(shí)間序列所呈現(xiàn)的分形特征，是研究非平穩(wěn)時(shí)間序列長(zhǎng)期冪律關(guān)系的有效手段。因此，本文擬采用MF-DFA方法研究人民幣兌美元價(jià)格的波動(dòng)。

二、研究方法

設(shè)時(shí)間序列x（t），t=1，2，…，N，其中N為時(shí)間序列的長(zhǎng)度。

第一步：構(gòu)造一列新的時(shí)間序列，

μ（t）=[x（i）-x] t=1，2，…，N。

第二步：將新的時(shí)間序列μ（t）分成Ns段，其中Ns=，并且記

μv（i）=μ（l+i） 1≤i≤s l=（v-1）s。

第三步：對(duì)數(shù)據(jù)μv（i）進(jìn)行多項(xiàng)式擬合μv（i），得出殘差εv（i）=μv（i）-μv（i） 1≤i≤s。

第四步：對(duì)每一個(gè)子序列進(jìn)行去趨勢(shì)處理，最終得到子序列降趨協(xié)方差公式。

第五步：定義q階波動(dòng)函數(shù)，

第六步：改變q，得到在不同q的情況下所對(duì)用的h（q），得到關(guān)于q的函數(shù)h（q）。

其中，對(duì)于每一個(gè)q值，利用普通最小二乘法（OLS）回歸logFq（s）和log（s）得到的直線斜率就是h（q），也被稱為廣義Hurst指數(shù)。當(dāng)h（q）因q的變化而變化時(shí)，時(shí)間序列具有多重分形特征，反之則是單分形特征。當(dāng)q=2時(shí)，即為Hurst指數(shù)，其取值范圍為（0，1）。若H大于0.5，兩列時(shí)間序列具有長(zhǎng)程相關(guān)性；若H等于0.5時(shí)間序列不具有長(zhǎng)程相關(guān)性，可用隨機(jī)游走來描述；若H小于0.5，時(shí)間序列具有反持續(xù)性，也就是負(fù)的長(zhǎng)程相關(guān)。

第七步：根據(jù)Shadkhoo 和Jafari的研究，得到多重分形標(biāo)度指數(shù)：τ（q）=qh（q）-1。

若τ（q）是q的線性函數(shù)，則為單重分形；否則，即為多重分形。通過勒讓德變換，可以得到奇異性強(qiáng)度函數(shù)和多重分形譜函數(shù)：a=τ′（q）=h（q）+qh′（q），f（a）=qa-τ（a）。

三、數(shù)據(jù)描述

本文選取了2009年11月2日至2015年06月20日的人民幣與美元匯率波動(dòng)的數(shù)據(jù)1370條，數(shù)據(jù)的來源是wind數(shù)據(jù)庫。將人民幣與美元的價(jià)格進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，得到日度對(duì)數(shù)收益率序列，Rett=ln（Pt+1/Pt）。人民幣與美元的價(jià)格、對(duì)數(shù)收益率分別見圖1所有時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性描述如表1。

從圖1中可以看出2009～2010年中期美元對(duì)人民幣匯率一直保持在穩(wěn)定的6.8左右，而2010年中期之后到2012年第一季度急劇下降到6.3，此后在2012年內(nèi)有一個(gè)小幅度上升到6.4，到2014年緩慢下降到6.1以下。

表1給出了外匯市場(chǎng)的基本統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。從中可以看出，總體來講外匯市場(chǎng)比較穩(wěn)定。時(shí)間序列的Jarque–Bera檢驗(yàn)結(jié)果都在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，說明外匯市場(chǎng)不符合有效市場(chǎng)假設(shè)下的正態(tài)分布假定。外匯市場(chǎng)的時(shí)間序列具有明顯的尖峰厚尾分布特性，這與Jarque–Bera檢驗(yàn)保持一致。最后由長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)可以看出，外匯市場(chǎng)的對(duì)數(shù)收益率呈現(xiàn)弱的反持續(xù)性，即通過長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)。

四、實(shí)證結(jié)果

前面的數(shù)據(jù)描述說明了外匯市場(chǎng)存在長(zhǎng)記憶性特征，接下來采用前文介紹的MF-DFA方法定量估計(jì)時(shí)間序列的非線性相關(guān)關(guān)系和多重分形特征。通過公式畫出了波動(dòng)函數(shù)和標(biāo)度的自然對(duì)數(shù)的散點(diǎn)圖，并用普通最小二乘法擬合出所對(duì)應(yīng)的直線，直線的斜率即為廣義的Hurst指數(shù)（見圖2）。從圖2可以看出，隨著線性標(biāo)度q的增加，波動(dòng)函數(shù)和標(biāo)度之間存在著明顯的冪率關(guān)系。

圖3給出了外匯市場(chǎng)的廣義Hurst指數(shù)與階數(shù)之間的關(guān)系圖。從之前的分析可以發(fā)現(xiàn)，如果廣義Hurst指數(shù)都為常數(shù)，那么該時(shí)間序列就為單分形，否則，為多重分形。從圖3中可以看出，對(duì)于原始時(shí)間序列，隨著的q的增大，他們的hurst指數(shù)逐漸減小。外匯市場(chǎng)表現(xiàn)出了明顯的多重分形特征。endprint

圖4是外匯市場(chǎng)的標(biāo)度指數(shù)圖。從圖4中可以看出外匯市場(chǎng)的自相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為遞增凸函數(shù)，再次證明外匯市場(chǎng)具有多重分形特性。圖5給出了外匯市場(chǎng)的多重分形譜圖形。多重分形譜所刻畫的是金融時(shí)間序列復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，其寬度也被認(rèn)為可以很好的估計(jì)多重分形強(qiáng)度，并反映市場(chǎng)的復(fù)雜程度。多重分形譜寬度越大，說明多重分形特征越強(qiáng)，進(jìn)而可以得出長(zhǎng)程相關(guān)性越大的結(jié)論，自然而然，市場(chǎng)的復(fù)雜程度也會(huì)越高。從圖5中可以看出外匯市場(chǎng)序列分形譜呈現(xiàn)開口向下的類拋物線形狀，分形譜寬度顯著不為0，說明外匯市場(chǎng)序列存在明顯的多重分形特征。

五、結(jié)論

本文通過對(duì)外匯市場(chǎng)多重分形分析發(fā)現(xiàn)，外匯市場(chǎng)存在著明顯的長(zhǎng)程自相關(guān)性，以此為基礎(chǔ)，又進(jìn)一步研究了它們之間的動(dòng)態(tài)機(jī)理。得到了以下的結(jié)論。

1. 人民幣對(duì)美元匯率的波動(dòng)嚴(yán)重依賴其前期的波動(dòng)， 前期匯率數(shù)值會(huì)全部傳導(dǎo)到本期，外匯市場(chǎng)時(shí)間序列在統(tǒng)計(jì)上表現(xiàn)出明顯的非正態(tài)性、尖峰厚尾和長(zhǎng)期記憶性。

2. 采用MF-DFA方法進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，外匯市場(chǎng)存在明顯的多重分形特征，通過對(duì)原始序列進(jìn)行隨機(jī)重排和概率分布替代發(fā)現(xiàn)，對(duì)于外匯市場(chǎng)，長(zhǎng)期記憶性和厚尾分布都是其分形的重要來源。在外匯市場(chǎng)，信息不會(huì)完全公開，對(duì)于投資者而言，信息的獲得以及對(duì)新信息的消化都不是立即的，這個(gè)時(shí)間的不確定性使投資者不能準(zhǔn)確的把握市場(chǎng)。當(dāng)新信息持續(xù)出現(xiàn)和歷史信息的累計(jì)效應(yīng)交互作用時(shí)，大量投資者可能會(huì)同時(shí)做出反應(yīng)，造成市場(chǎng)大幅度波動(dòng)。因此，優(yōu)化市場(chǎng)投資結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)信息監(jiān)管，減少內(nèi)幕消息和交易，是外匯市場(chǎng)穩(wěn)定發(fā)展的重中之重。

3. 從實(shí)際角度出發(fā)可以得到如下結(jié)論：人民幣升值有利于我國(guó)商品進(jìn)口；國(guó)外進(jìn)口商品價(jià)格下降，可以增加我國(guó)人民對(duì)進(jìn)口商品的需求，從而增加進(jìn)口數(shù)量；有利于穩(wěn)定國(guó)內(nèi)物價(jià)和提高收入。

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（作者單位：廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院）endprint