蔣敏 魏慧

[摘? 要] 教師將新的邏輯順序和思想方法作為新舊知識之間串聯(lián)的線索引領(lǐng)學(xué)生思考，有助于學(xué)生更換視角并形成新的認(rèn)知. 本文通過復(fù)習(xí)課的實(shí)際案例設(shè)計(jì)與分析，對以“邏輯順序”為線索進(jìn)行問題串的設(shè)計(jì)與復(fù)習(xí)做出了實(shí)踐性的思考.

[關(guān)鍵詞] 邏輯順序;線索;問題串;復(fù)習(xí)

學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識之間所存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行深入的理解往往是在復(fù)習(xí)課上達(dá)成的，不過，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課對于廣大教師來說并沒有相關(guān)的衡量標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課究竟應(yīng)該如何設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)教學(xué)效率的提高一直是一些教師感到迷茫的，本文從復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐課中所存在的問題入手，進(jìn)行了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中概念、問題解決的內(nèi)涵、復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)等方面的思考與研究.

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)存在問題

環(huán)顧當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，存在的問題不少，但是歸根到底可以總結(jié)為如下兩個(gè)問題.

1. 重視糾錯(cuò)，忽略思想方法的提煉

采用“刷題”的方式幫助學(xué)生找錯(cuò)點(diǎn)，然后訂正，這樣的復(fù)習(xí)方式無異于不停地挖坑讓學(xué)生掉下去，然后再拎上來. 暴露學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的缺陷是可以的，但是往往重視對結(jié)果的糾正，而忽視了幫助學(xué)生銜接思維，找到思想方法、邏輯關(guān)系上的缺陷. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中僅僅對錯(cuò)誤進(jìn)行糾正往往會導(dǎo)致錯(cuò)誤背后所隱含的原因無法呈現(xiàn)，學(xué)生即使做再多的練習(xí)題也無法對相同類型題目所體現(xiàn)的思想方法產(chǎn)生更多的領(lǐng)會和感悟，從宏觀層面對數(shù)學(xué)進(jìn)行再認(rèn)識自然是一紙空談. ？搖

2. 急于求成，學(xué)生個(gè)性化思維難以發(fā)展

學(xué)生對所學(xué)知識能夠形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知以及創(chuàng)造性的內(nèi)化，在學(xué)會融會貫通運(yùn)用知識的同時(shí)提升解題的能力是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該設(shè)定的目標(biāo). 但很多教師在復(fù)習(xí)課中卻往往會用大量集中的時(shí)間進(jìn)行知識結(jié)構(gòu)框架的梳理，學(xué)生喪失了自己整理解題思路的空間，對于自身在解題中的思維過程也無法進(jìn)行必要的描述，這樣的復(fù)習(xí)課當(dāng)然無法令學(xué)生個(gè)性化的思維得以展現(xiàn)，全體學(xué)生在發(fā)展過程中有可能存在或展現(xiàn)的個(gè)性化思維都被湮滅其中.

以“邏輯順序”為線索的復(fù)習(xí)策略

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課所包含的內(nèi)容眾多，知識體系、技能要求以及能力發(fā)展等都是包含其中的具體內(nèi)容. 內(nèi)容解析主要針對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課所應(yīng)涉及的范圍來進(jìn)行分析與確定，學(xué)生在解題中的易錯(cuò)點(diǎn)、解題技能以及技巧上的欠缺都應(yīng)是教師在內(nèi)容解析中具體分析的. 具體說來，教師在進(jìn)行內(nèi)容解析時(shí)應(yīng)該首先對自己提出以下問題：復(fù)習(xí)哪些內(nèi)容？涉及內(nèi)容之間有何關(guān)聯(lián)？其中的思想方法有哪些？會產(chǎn)生哪些典型錯(cuò)誤？復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到怎樣的深度？這些思考實(shí)際上也是在尋找邏輯順序.

以“邏輯順序”為線索的復(fù)習(xí)策略如何組織？筆者認(rèn)為設(shè)置存在內(nèi)在邏輯順序的“問題串”是不錯(cuò)的選擇，粘連問題的則往往是“理”，即需要學(xué)生去推理、探究才能找到其中的邏輯順序，認(rèn)清知識間的聯(lián)系. 人們憑借一個(gè)或多個(gè)已知判斷來進(jìn)行新判斷的確定的思維過程即是我們通常所說的推理. 合情和演繹是我們通常會用到的兩種推理的類型. 合情推理必須在已有的事實(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的觀察、分析、比較、聯(lián)想以及歸納和類比，經(jīng)常會運(yùn)用到的歸納與類比這兩種類型的推理均包含在合情推理中. 而演繹推理必須在已有公理、定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理. 合情推理出的結(jié)論雖然并不一定都是正確的，但它對于人類的創(chuàng)新來說尤其有意義. 演繹推理所得的結(jié)論因其推導(dǎo)過程的嚴(yán)密性往往更具權(quán)威，證明命題的真假時(shí)往往需要運(yùn)用到它. 我們通常所講的數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容本質(zhì)所形成的認(rèn)識，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用中才能得到展露，兩者本質(zhì)沒有區(qū)別，只是看待問題的角度各異，因此有“數(shù)學(xué)思想方法”這一混合型的稱謂. 教師將新的邏輯順序和思想方法作為新舊知識之間串聯(lián)的線索引領(lǐng)學(xué)生思考，有助于學(xué)生更換視角并形成新的認(rèn)知.

以“邏輯順序”為線索的復(fù)習(xí)案例

1. 案例1：《計(jì)數(shù)原理》復(fù)習(xí)課

（1）教材與學(xué)情分析：《計(jì)數(shù)原理》是每年高考都會涉及的內(nèi)容，學(xué)生對這一章節(jié)的認(rèn)識往往停留于解決問題方案種數(shù)的考慮，與其他數(shù)學(xué)知識往往不會產(chǎn)生聯(lián)系，事實(shí)上，如果從新的角度采取新的思想和方法來理解《計(jì)數(shù)原理》，學(xué)生對《計(jì)數(shù)原理》的理解和感受都會大不相同.

（2）基于邏輯順序的問題設(shè)計(jì)：

問題1：（扇形問題——數(shù)列方法）用4種顏色將扇形ADBEC的每個(gè)扇形區(qū)域分別染色，若要求每一個(gè)區(qū)域一種顏色且相鄰區(qū)域顏色各不相同，染色方案一共有幾種？

問題2：（走樓梯——斐波拉契數(shù)列方法）小明想登上10級臺階，如果每步可爬一級或兩級，有多少種不一樣的方法？

問題3：（調(diào)換座位——貝努利裝錯(cuò)信問題）教師在調(diào)換4位同學(xué)的座位，若想每位同學(xué)都不再坐原來的座位，有哪幾種調(diào)換方法呢？

問題4：（傳球問題——縱向考慮的遞推思想）傳球游戲中有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，持球同學(xué)可以將球傳給其他任何一位，如果從甲發(fā)球開始游戲，要求傳球5次（發(fā)球一樣計(jì)數(shù)）使球回到甲的手中，有多少種方法？

問題5：（幾何問題——等差數(shù)列的應(yīng)用）已知△ABC內(nèi)有1004個(gè)點(diǎn)，包含A，B，C三點(diǎn)在內(nèi)的1007個(gè)點(diǎn)中的任意三點(diǎn)都不在一條直線上，若將這些點(diǎn)視作頂點(diǎn)，互不重疊的三角形有多少呢？

（3）案例評析：這類屬于信息加工方式模塊的數(shù)學(xué)思想方法建立的關(guān)鍵在于所選擇的角度與意圖. 學(xué)生在這樣的不同角度或立意下進(jìn)行更換視角的重新審視往往更有新鮮感. 本案例中所設(shè)計(jì)的5個(gè)問題能夠使學(xué)生從數(shù)列的角度、函數(shù)的角度對問題進(jìn)行思考，解決問題時(shí)還采用了遞推的思想方法，這使得《計(jì)數(shù)原理》問題的解決獲得了不同的途徑，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力也在此展現(xiàn).

2. 案例2：《等差數(shù)列》復(fù)習(xí)課

（1）教材與學(xué)情分析：雖然數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)這一性質(zhì)是為大家所熟知的，但學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)中一般卻往往絲毫沒有這樣的感受，利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題對于學(xué)生來說更加遙不可及，因此，筆者在綜合學(xué)生的實(shí)際需要以及課型特征的基礎(chǔ)上采取了新的推理和思想對《等差數(shù)列》這一復(fù)習(xí)課做出了新的設(shè)計(jì).

（2）基于邏輯順序的問題設(shè)計(jì)：

問題1：已知等差數(shù)列{an}中的第3、第7兩項(xiàng)，an能確定嗎？

追問：已知這兩項(xiàng)就能確定an的理由是什么？

設(shè)計(jì)意圖：問題1的設(shè)計(jì)意圖在于引出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d之時(shí)使學(xué)生認(rèn)識到（n，an）是直線上的離散點(diǎn). 如此設(shè)計(jì)使得學(xué)生對等差數(shù)列是特殊線性函數(shù)這一性質(zhì)產(chǎn)生明確的認(rèn)知，繼而認(rèn)識到兩個(gè)不同的點(diǎn)才能確定一條直線.

問題2：若數(shù)列{an}滿足an=pn+q（p，q是常數(shù)），證明{an}是等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：問題2的設(shè)計(jì)主要為了使學(xué)生能夠在回顧定義的同時(shí)學(xué)會用定義證明等差數(shù)列.

問題3：若數(shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1（n≥2），記Sn=a1+a2+…+an且a4=4，則可求值（? ）

A. S6? B. S7? C. S8? D. S9

設(shè)計(jì)意圖：問題3的設(shè)計(jì)主要是為了等差中項(xiàng)的復(fù)習(xí)以及采用2an=an-1+an+1（n≥2）證明等差數(shù)列的方法.

追問：S7與a1，d均無關(guān)，為什么？

設(shè)計(jì)意圖：此處的追問目的在于揭示等差數(shù)列的幾何背景.

問題4：若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=S4=8. （1）求S10的值;（2）求Sn的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：通過“一題多解”使得等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式、性質(zhì)得到有效的復(fù)習(xí)與鞏固，使學(xué)生能夠清醒地認(rèn)識到點(diǎn)（n，Sn）是拋物線上的離散點(diǎn)，函數(shù)方程與數(shù)形結(jié)合思想都在解題與討論中得到了有效的滲透.

問題5：若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=An2+Bn（A，B是常數(shù)），求證數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題5的探究使得等差數(shù)列前n項(xiàng)和的本質(zhì)特征在學(xué)生面前清晰地展露，使得學(xué)生對核心概念的理解深入、準(zhǔn)確而到位.

（3）案例評析：學(xué)生第一次從函數(shù)的角度對等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行了新的認(rèn)識，認(rèn)識層次與理解深度都得以提升. 復(fù)習(xí)課中可以經(jīng)常使用數(shù)學(xué)諸多思想方法為線索進(jìn)行新舊知識的串聯(lián)以達(dá)成有效的復(fù)習(xí).

雖然很多的問題有其固有的解決模式，但新的推理與思想作為復(fù)習(xí)課的線索往往能讓學(xué)生更換理解與解決問題的視角，問題的解決因此變得更為立體，數(shù)學(xué)知識的融會貫通在學(xué)生的意識中也會生根發(fā)芽.