鞏子坤　丁杭纓

一、從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

鞏子坤（以下簡(jiǎn)稱“鞏”）：丁老師，你好。我最近看了你的一篇文章，其中提到了一個(gè)很好的觀點(diǎn)，即小學(xué)數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向每一個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變”。請(qǐng)你解釋一下這句話的含義，你是基于何種背景提出這個(gè)觀點(diǎn)的？

丁杭纓（以下簡(jiǎn)稱“丁”）：我們習(xí)慣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教學(xué)）常常以班級(jí)為單位，安排了標(biāo)準(zhǔn)課時(shí)，設(shè)定了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容，制定了標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)，總之，是在用一種相同的方式面對(duì)千差萬(wàn)別、性格迥異的孩子。其實(shí)一個(gè)班中每個(gè)孩子都是個(gè)性化的，每個(gè)孩子在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)都是有差異的，比如他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的風(fēng)格、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式等。所以我們需要轉(zhuǎn)變一種觀念，即“把一個(gè)班當(dāng)作一個(gè)孩子來(lái)教”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍岩粋€(gè)孩子當(dāng)作一個(gè)班來(lái)教”。

鞏：我們常說，教育要尊重孩子、愛護(hù)孩子，提倡尊重的教育、愛的教育。但是，要實(shí)現(xiàn)這樣的教育理念，說說容易，做做難，還需要下很大的工夫。

?。菏沁@樣。要實(shí)現(xiàn)尊重的教育，我們就要蹲下身來(lái)，放平目光，用每一個(gè)孩子的視角去看待、研究孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、方式、場(chǎng)地等，同時(shí)全方位了解孩子們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的個(gè)體差異，讓教與學(xué)有的放矢。正是基于這樣的考慮，提出了數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)變。

鞏：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也提到，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！蔽蚁胍彩沁@個(gè)意思，問題是有了好的想法、好的理念后，還需要有好的路線圖、好的操作方式?？煞窠榻B一下在實(shí)際運(yùn)作層面，怎樣實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)變呢？

?。何覀兙o緊抓住數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)地三個(gè)重要元素。從兒童的視角出發(fā)，梳理適切的內(nèi)容，拓寬教學(xué)廣度，擴(kuò)大教學(xué)空間，豐富教學(xué)形式，構(gòu)建適合兒童的數(shù)學(xué)課程體系；從π空間站出發(fā)，讓兒童走近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)品質(zhì)，鍛煉數(shù)學(xué)意志，培養(yǎng)數(shù)學(xué)氣質(zhì)，讓數(shù)學(xué)融入生活。

二、把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容看成是關(guān)系、意義和過程的復(fù)雜統(tǒng)一體

鞏：我們就來(lái)具體聊聊這些轉(zhuǎn)變。

?。簲?shù)學(xué)課程給人的印象往往是事先設(shè)定、均碼標(biāo)準(zhǔn)化的，從書本到書本，從習(xí)題到習(xí)題，因此它的話語(yǔ)視線會(huì)比較單一。我們希望把數(shù)學(xué)知識(shí)看作是關(guān)系、意義或過程的復(fù)雜統(tǒng)一體，更重視數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生相聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)知識(shí)成為學(xué)生生命中不可或缺的組成部分。

舉一個(gè)例子：四下三角形單元的一般課時(shí)安排是“三角形的認(rèn)識(shí)（特性）—三角形邊的關(guān)系—三角形的分類（按邊分、按角分）—三角形內(nèi)角和—四邊形內(nèi)角和”，這些內(nèi)容按照知識(shí)點(diǎn)來(lái)切割沒有什么問題，但是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)更需要知識(shí)的關(guān)聯(lián)性、整體性。大部分教師認(rèn)為，只要把單個(gè)的知識(shí)教給學(xué)生，學(xué)生會(huì)很自然在頭腦里把這些知識(shí)點(diǎn)連在一起。基礎(chǔ)好的孩子也許能夠做到，但大部分學(xué)生是做不到的，把有結(jié)構(gòu)的知識(shí)教給孩子，孩子才能夠更好地建立起知識(shí)間的聯(lián)系，這個(gè)關(guān)聯(lián)是多維度的，除了知識(shí)點(diǎn)上的關(guān)聯(lián)，還有知識(shí)鏈和知識(shí)網(wǎng)上的關(guān)聯(lián)。如果數(shù)學(xué)知識(shí)能再與學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生共鳴，它就會(huì)有過程與意義了。

鞏：我們就以三角形為例，來(lái)具體說明怎樣將這些內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來(lái)。

?。何疑线^“三角形認(rèn)識(shí)（特性）”的公開課，雖然學(xué)生學(xué)得不錯(cuò)，但我還是感覺他們?cè)谡J(rèn)識(shí)三角形的高時(shí)有點(diǎn)“飄”，對(duì)各類三角形高的空間觀念的建立相對(duì)孤立，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即比較抽象。我在找原因也在找策略，如果能調(diào)整一下內(nèi)容，在三角形分類的大背景下，先認(rèn)識(shí)直角、鈍角、銳角三角形或等邊、等腰、任意三角形，再認(rèn)識(shí)高，會(huì)讓高不再表現(xiàn)為“點(diǎn)狀”的抽象，而是“網(wǎng)狀”的具象，建立起來(lái)的空間觀念會(huì)實(shí)實(shí)在在一些。

鞏：這種現(xiàn)狀你稱之為被打斷的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

丁：是的。被打斷的學(xué)習(xí)最主要表現(xiàn)是學(xué)習(xí)內(nèi)容因?yàn)檎n時(shí)等原因被隔離，甚至阻斷。我們做了小嘗試，重新架構(gòu)三角形單元的內(nèi)容，讓學(xué)習(xí)不再被打斷。在描述了三角形的定義后，用一個(gè)大課時(shí)（約1小時(shí)）研究邊、角的關(guān)系，包括三邊關(guān)系，長(zhǎng)邊對(duì)大角，三角形按邊、角分類等，再來(lái)研究三角形的高與特性。其目的是通過認(rèn)識(shí)不同類型的三角形，再深入理解和掌握三角形的高，三角形的認(rèn)識(shí)和高的學(xué)習(xí)呈螺旋上升狀態(tài)，它們之間建立的關(guān)系對(duì)孩子來(lái)說有效、有意義，更有價(jià)值。

鞏：我想你說的關(guān)聯(lián)就是“高和不同類型的三角形之間的關(guān)系”。

也就是說，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，教師將思路理清，又不受課時(shí)、課堂的限制，呈現(xiàn)給學(xué)生有聯(lián)系的內(nèi)容、有結(jié)構(gòu)的體系，更利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)。如果讓學(xué)生來(lái)構(gòu)建知識(shí)的結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)，會(huì)耗費(fèi)很大的精力。你的設(shè)想很膽大，但是有一點(diǎn)問題，如果有的課要連續(xù)上兩節(jié)課，有沒有困難，會(huì)不會(huì)對(duì)教學(xué)產(chǎn)生什么沖擊？

丁：其實(shí)大課時(shí)（1小時(shí)）不是一種常態(tài)，我們長(zhǎng)江的數(shù)學(xué)課堂非“均碼”的，不同課時(shí)（還有標(biāo)準(zhǔn)課35分鐘、微課20分鐘）的組合是根據(jù)單元內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)的，需要提前規(guī)劃、安排。

在三年級(jí)“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”中我們也做過嘗試：“幾分之一、分?jǐn)?shù)單位、幾分之幾、簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)比較、簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)加減”是一個(gè)整體，一節(jié)課中只認(rèn)識(shí)幾分之一或幾分之幾都覺得是一種缺憾，因?yàn)檫@幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是彼此纏繞互相補(bǔ)充而存在的，所以它需要有一個(gè)網(wǎng)狀架構(gòu)，及這個(gè)架構(gòu)在孩子頭腦中的整體呈現(xiàn)。我們打破“幾分之一—幾分之一的分?jǐn)?shù)大小比較—幾分之幾—幾分之幾的分?jǐn)?shù)大小比較—簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)相加減”的6課時(shí)規(guī)定安排，采用了2個(gè)大課（分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)+分?jǐn)?shù)的鞏固與運(yùn)用）的形式，學(xué)生通過繪本故事串起6個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維在這幾個(gè)內(nèi)容之間自由穿梭，彼此補(bǔ)充，更重要的是讓分?jǐn)?shù)與學(xué)生的生活發(fā)生關(guān)聯(lián)，這樣他們認(rèn)識(shí)的分?jǐn)?shù)概念才會(huì)豐滿、有生命力。

鞏：這讓我想起了胚胎學(xué)說：胚胎的生長(zhǎng)不是某一個(gè)器官單獨(dú)發(fā)育的，一定是各個(gè)器官同時(shí)發(fā)育。學(xué)習(xí)的發(fā)展類似于胚胎的發(fā)育，一定是整體發(fā)展的。正因?yàn)槿绱耍剪敿{特別強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性，這和你剛才的說法有很大的相似性。你剛才的例子很好，比如分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)：?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)，大小比較等，這些內(nèi)容本質(zhì)上是一起往前發(fā)展的，不可能把它們割裂開。既然是整體發(fā)展的，當(dāng)然要放在整體結(jié)構(gòu)里去學(xué)習(xí)。

三、構(gòu)建適合兒童的數(shù)學(xué)課程體系，豐富學(xué)習(xí)形式

鞏：你還提出了被異化的學(xué)習(xí)，什么是被異化的學(xué)習(xí)？

?。寒?dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以考試作為目標(biāo)，以題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練為法寶，以獲得知識(shí)的結(jié)果為追求，當(dāng)學(xué)習(xí)被簡(jiǎn)化成了分?jǐn)?shù)時(shí)，這就是異化的學(xué)習(xí)。其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本該是學(xué)生自主生長(zhǎng)、積極探索知識(shí)、自主建構(gòu)知識(shí)的過程。孩子們需要關(guān)注和經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，需要熟悉和掌握學(xué)習(xí)的方法，更需要體驗(yàn)探索的滋味及失敗后成功的樂趣。

鞏：是呀。即便是課程改革不斷推進(jìn)的今天，實(shí)事求是地說仍然有異化這種現(xiàn)象存在。理解一些新的理念是一回事，而具體實(shí)施是另一回事了。

?。寒惢袃蓚€(gè)突出的表現(xiàn)：第一是依靠外界，也就是學(xué)生的學(xué)習(xí)依賴?yán)蠋熀徒炭茣?；第二是不?huì)學(xué)習(xí)，很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的直覺與想象、猜測(cè)與反思、觀察與實(shí)踐、反省與推理等過程被異化、淡化、簡(jiǎn)化，學(xué)生直接用解題、刷題的方式來(lái)學(xué)習(xí)。

鞏：針對(duì)你剛才說的兩點(diǎn)，即離開了老師、教材，學(xué)生就不會(huì)學(xué)了，省略了學(xué)習(xí)的過程，怎樣從異化走向正常化呢？

?。簭漠惢呦蛘；紫刃枰獜耐鈬黄?，比如學(xué)習(xí)的內(nèi)容、學(xué)習(xí)的形式、學(xué)習(xí)的時(shí)空等。剛才提到的大課，因?yàn)闀r(shí)間充足，開展合作性學(xué)習(xí)、探索性學(xué)習(xí)就有了保障。我們還有數(shù)學(xué)微課，以數(shù)學(xué)游戲?yàn)橹饕獌?nèi)容，在激活數(shù)學(xué)知識(shí)解開游戲奧秘的同時(shí)，發(fā)揮主動(dòng)性和積極性。還有虛擬課堂，人機(jī)互動(dòng)、自主菜單式的學(xué)習(xí)，學(xué)生自己選擇內(nèi)容及表現(xiàn)形式，進(jìn)行更深入的個(gè)性化學(xué)習(xí)。

鞏：就是通過不同課堂組織方式真正轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，來(lái)解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的異化現(xiàn)象?？煞衽e例來(lái)說明呢？

?。哼@幾年我們?cè)陂_發(fā)數(shù)學(xué)游戲，數(shù)學(xué)游戲不僅能激活并還原數(shù)學(xué)知識(shí)，還能讓孩子從嶄新視角領(lǐng)悟?qū)W習(xí)的艱辛與快樂，培養(yǎng)學(xué)習(xí)毅力與學(xué)習(xí)品質(zhì)。以“微課+數(shù)學(xué)游戲”為主要方式，創(chuàng)新了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和媒介。

還是以三角形單元為例，一般學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系的方法是讓孩子用小棒圍三角形，看看是否能圍成，來(lái)探究三角形三邊關(guān)系?，F(xiàn)在我們通過“惱人的鉛筆游戲”這個(gè)數(shù)學(xué)游戲激發(fā)孩子們的探索欲望，在“嘗試—失敗—反思—再嘗試”中主動(dòng)學(xué)習(xí)。做游戲的過程，是知識(shí)的探索過程，也是知識(shí)的鞏固過程，更是知識(shí)被激活顯現(xiàn)價(jià)值的過程。

四、從π空間站出發(fā)，讓兒童走進(jìn)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)融入生活

鞏：關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)地，你是怎么理解的？

?。和ǔ＝淌沂菍W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要場(chǎng)地，但是只有教室是不夠的，學(xué)習(xí)環(huán)境與空間不能滿足不同教學(xué)內(nèi)容選擇不同的課堂，不同的課堂采用不同的學(xué)習(xí)方式的物質(zhì)需求。因而，我們提出要拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場(chǎng)地。我認(rèn)為數(shù)學(xué)也需要有實(shí)驗(yàn)室，數(shù)學(xué)也需要實(shí)踐，所以在“長(zhǎng)江”有一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場(chǎng)所——π空間站，預(yù)示著孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)像π一樣有無(wú)限的可能。

鞏：是呀。室外是一片廣闊的天地，數(shù)學(xué)是大有作為的。能夠具體談?wù)勀銈兊淖龇▎幔?/p>

丁：我們把傳統(tǒng)意義的課堂，拓展到π空間站，再擴(kuò)大到整個(gè)校園里。在校園里我們?cè)O(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)步道，讓孩子用數(shù)學(xué)的眼光觀察校園的布置。校園的角落會(huì)有一些二維碼，掃一掃會(huì)有與當(dāng)下環(huán)境密切相關(guān)的數(shù)學(xué)題目跳出，比如窨井蓋的直徑與面積，大屏幕的面積與價(jià)格，門廳里斜坡的角度怎樣測(cè)量，整個(gè)學(xué)校的空間都可以成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場(chǎng)所，更重要的是養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光和思維來(lái)看待事物。

鞏：長(zhǎng)江實(shí)驗(yàn)小學(xué)到處彌漫著數(shù)學(xué)的味道，到處充盈著數(shù)學(xué)的魅力。我想知道，π空間站是如何發(fā)揮作用的？π空間站像數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室、數(shù)學(xué)閱覽室、數(shù)學(xué)個(gè)性化學(xué)習(xí)的場(chǎng)所，是拓展性課程實(shí)施的場(chǎng)所，對(duì)嗎？

?。菏堑摹＆锌臻g站目前有關(guān)數(shù)學(xué)的書籍共有3032冊(cè)（數(shù)學(xué)繪本938冊(cè)，數(shù)學(xué)研究636冊(cè)，理論專著495冊(cè)，國(guó)外教材155冊(cè)，國(guó)內(nèi)教材808冊(cè)）；數(shù)學(xué)益智玩具140多種，學(xué)生上課使用50多種；還有與課本配套的1～12冊(cè)微課500余節(jié)；5臺(tái)觸摸式電腦、一臺(tái)投影儀、40臺(tái)ipad和蘋果全景課堂技術(shù)軟件等。數(shù)學(xué)課、數(shù)學(xué)拓展類課甚至是閱讀課都可以搬到π空間站，是學(xué)生非常向往并且喜歡的一個(gè)學(xué)習(xí)場(chǎng)所?！伴L(zhǎng)江”還是教育部教育裝備研究與發(fā)展中心主辦的“中小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)的研究”課題研究的主要成員單位。

五、從關(guān)注教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)楦雨P(guān)注學(xué)習(xí)

鞏：在我看來(lái)，我們所談到的上述轉(zhuǎn)變，更多的是從教學(xué)的角度來(lái)考量的：如何整合內(nèi)容，如何轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)，如何拓展場(chǎng)地。

據(jù)我所知，你的名師智慧空間站已經(jīng)開展了3年“小學(xué)數(shù)學(xué)相異概念”的研究，也就是要看一看，孩子在學(xué)習(xí)新的知識(shí)之前，頭腦中已經(jīng)具備了哪些經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)。當(dāng)然，這些經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)，可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，更有可能是正確與錯(cuò)誤混雜的。

這是否表明，你已經(jīng)將更多的精力投入到對(duì)學(xué)生、學(xué)習(xí)的研究了？

丁：是呀。近三年我和我的團(tuán)隊(duì)研究了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中相異概念以及轉(zhuǎn)變，接下來(lái)在此基礎(chǔ)上，我們還將進(jìn)一步研究學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格。每個(gè)孩子都是一個(gè)與眾不同的獨(dú)立個(gè)體，每個(gè)人的學(xué)習(xí)風(fēng)格也是獨(dú)特的。比如，在表征某些概念的時(shí)候，有的學(xué)生長(zhǎng)于圖像表征，有的喜歡語(yǔ)言表征。相異概念和學(xué)習(xí)風(fēng)格的研究讓我們更能站在兒童的立場(chǎng)展開教學(xué)。

鞏：這個(gè)研究方向很有價(jià)值！也許低年級(jí)的學(xué)生還談不上學(xué)習(xí)風(fēng)格，學(xué)習(xí)風(fēng)格是高年級(jí)學(xué)生才逐漸形成的，所以我覺得這個(gè)研究在某種意義上是指向更高段的學(xué)生。

深入開展數(shù)學(xué)教學(xué)改革，關(guān)鍵是要從學(xué)生入手，設(shè)身處地從學(xué)生的視角來(lái)考慮問題：學(xué)生在接觸新知識(shí)前，頭腦中有哪些前概念（相異概念），會(huì)按照怎樣的學(xué)習(xí)路徑來(lái)探索這些知識(shí)，有哪些學(xué)習(xí)習(xí)慣，有怎樣的學(xué)習(xí)風(fēng)格，等等。這些都是值得我們深入思考、認(rèn)真探索與解決的問題。期待通過研究，數(shù)學(xué)教育工作者能夠提出更好的解決問題的方案。

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院 310036

杭州長(zhǎng)江實(shí)驗(yàn)小學(xué) 310006）