鐘曉靜

【摘 要】計數器是小學數學課堂必備的教具學具之一，常常用于數的認識、數的運算等數概念教學，其在幫助學生建構十進制、位值制、計算法則等核心概念的學習中有著獨特的文化含義和價值。對比教材，可以發(fā)現(xiàn)“計數器模型”在低段新人教版教材中，尤其是計算單元，有所缺失。而事實上，“計數器模型”有助于教學目標的達成，促進數概念的發(fā)展。尤其是數概念教學的幾個關鍵節(jié)點處，計數器模型不能“缺席”。

【關鍵詞】計數器 數與計算 缺失 價值

一、研究緣起：一個“偽問題”引發(fā)的連串“真思考”

（一）緣起短信：“最多9顆”還是“最多10顆”？

一年級第二學期期末復習階段，筆者收到了一條家長的咨詢短信（如圖1），本想立即回復，但越思考，越發(fā)覺得這個問題不好回答?！坝嫈灯魃厦總€數位最多能撥幾顆珠子？”9顆、10顆還是……

“9顆，因為10顆的話必須滿十進一了。”這是一位百度網友的回答。站在成人的角度，不難理解家長的想法，最大的一位數是9，最大的兩位數是99，每個數位上的數字最大是9，多年傳統(tǒng)小學數學灌輸式的教育已在成人思維中留下根深蒂固的印象。但“數字”和“珠子”是一回事嗎？

這不禁讓筆者聯(lián)想起課堂中的一個情景：在教學一年級下“100以內數的認識”這一課時，為突破拐彎數這一難點，筆者讓學生撥計數器數數，“29再撥一顆是幾，怎么撥？”學生千篇一律地直接將9顆珠子退掉，再在十位上添1顆珠子（如圖2）。學生真的理解“滿十進一”嗎？“滿十進一”是指當較小的計數單位累計到10個就用一個較大的計數單位來表示，前概念是“10個一是1個十”。在小棒捆扎數數中（如圖4），學生看似明白“10個一是十”“一捆就是一個十”，但在計數器撥數過程中，學生不是依據“滿十進一”完成的，而僅僅是唱數或背數的結果，正如學生知道29后面是30，39后面是40……

這讓筆者發(fā)現(xiàn)，用小棒表征數概念有不足之處，這里的“捆”是具體的、量化的“10根”，而計數器十位上的1顆珠子，已不是10的累積，這里的“1”顆不是具體的“10”，是抽象的“10”，是位值決定的“10”。正確的撥數過程應如圖3，中間這一過程必不可少，這也讓筆者體會到計數器在表征數概念時（如圖5）有著不可替代的作用。

（二）再次思考：9顆不對，但10顆一定對嗎？

“滿十”才能“進一”，9顆必然不對，但10顆一定對嗎？從運算的角度來說，也不正確，尤其體現(xiàn)在進位加和退位減上，“計數器”在表征進位加和退位減時（如圖6、圖7），均有“滿十”“多于10”這一過程。

以“25-8”這一退位減法為例，個位“5-8”不夠減，向十位借1作10，此時個位上的珠子已有15顆珠子（如圖7）?！坝嫈灯魃厦總€數位最多能撥幾顆珠子”其實是個偽問題，計數器在表征數概念時，應關注的是“個位上的1顆珠子表示1個一，十位上的1顆珠子表示1個十”，位置不同，數值因此不同，糾結于“最多能撥幾顆”此類問題毫無意義。

但此“偽問題”卻進一步引發(fā)了筆者對各種數的教學模型的價值思考。小棒、計數器、立方體……常常用于數的認識、數的運算等數概念教學中，“數的教學模型”是必要的，它是由具體實物抽象出數的概念和數符號的橋梁。但它們在表征數概念時，有著各自的優(yōu)點和不足（如表1）。

數學是抽象的科學，多樣化的直觀模型有利于幫助學生從具體實物中抽象出數的符號，發(fā)展數的概念。從上表看出，小棒雖直觀，但對數的表征始終是建立在具體“數量”的基礎上，而無法體現(xiàn)“位值”的價值。相較于小棒，計數器屬于半抽象模型，抽象度更高，可彌補小棒在位值表征方面的不足。

二、反觀教材：計數器在人教版低段計算單元中的缺失現(xiàn)狀

越是思考，筆者越覺得計數器在幫助學生建構十進制、位值制、計算法則等核心概念的學習中有著獨特的文化含義及價值。而反觀教材，是否意識到計數器在數概念教學中的重要作用呢？仔細翻閱新人教版和新北師大版教材之后，筆者發(fā)現(xiàn)對選用何種直觀模型表征數與運算，兩版教材有著不同的“青睞”（具體見表2）。

從上表中我們可以明顯看出新北師大版教材在表征數與運算概念時更加豐富，以小棒、計數器為主，并輔之小方塊、數軸模型等。而在新人教版教材中，小棒頗受“青睞”，在低段數概念和運算教學中貫穿始終。反觀計數器，則似乎較受“冷落”，所有教學內容中，僅出現(xiàn)于其中的6項，2項屬于數的認識教學內容，即“11～20以內數的認識”及“100以內數的認識”。但即使是在數的認識教學單元，新人教版教材也僅僅把計數器作為讀數、寫數的工具，計數器僅僅用于計數嗎？

特別值得注意的是，在所有計算教學內容中，凡涉及進退位的教學，計數器在新人教版教材中均未出現(xiàn)，不知是教材編排的無心之失還是刻意為之。小棒雖是學生最熟悉的直觀模型，通過把10根小棒捆成1捆，感受“以十為單位”的簡潔，滲透“滿十進1”的道理，但計數器模型能更好地體現(xiàn)“位值”，凸顯“滿十進1”“退一作10”，體會為什么要相同數位相加減，幫助學生理解算理。因此，筆者認為，人教版教材這樣的編排顯然是有缺失和不合理的。

筆者認為，計數器模型的利用有助于教學環(huán)節(jié)的開展，教學目標的達成，促進學生數概念的發(fā)展。尤其是在數概念教學的幾個關鍵節(jié)點處（如表3），計數器模型不能“缺席”。

小棒模型為橫式計算方法提供直觀的表象，計數器模型則是為豎式計算方法提供直觀的表象。計數器實際就是一個半抽象的豎式原型，因此計數器在直觀算理、算法抽象中起到了極其重要的作用。用小棒模型和計數器模型為學生探索橫式計算方法或豎式計算方法搭建堅實的階梯（見圖8）。

數是非常抽象的概念，由實物直觀到符號抽象，小棒模型有時會顯得過于具體形象，不利于概念的抽象理解，甚至限制學生數概念發(fā)展。而計數器是半抽象模型，更能凸顯數的本質。因此，筆者認為計數器模型不可缺失！

（浙江省杭州市錢塘外語學校 310012）