沙志寧

[摘 要] 問題解決是初中數學教學中的一個重要概念，問題解決指向學生的思維品質，能夠促進學生有效地解決問題. 在實際教學中，教師要對問題解決有科學的理解，并通過創(chuàng)設恰當的情境，提升學生的問題解決品質. 通過有效的評價來引導學生反思，可以讓學生在解決問題之后更好地生成問題解決思維，然后反過來實現(xiàn)有效地解決問題.

[關鍵詞] 初中數學；問題解決；解決問題

“問題解決”是《義務教育數學課程標準》（2011版）提出的一個重要概念，在課程標準中關于這個概念進行了四點表述：初步學會從數學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識. 從初中數學教學的角度來看，這四點表述既是對問題解決的一個解釋，也是對問題解決所代表的學習品質的一種解釋. 在當前的教學實際中，由于教學經驗的作用，教師對問題解決的理解往往還停留在經驗階段，或者說即使是引用一些理論，也沒能將理論進一步內化，因而在實踐中出現(xiàn)了理解偏差導致的教學偏差，或者是“兩張皮”的現(xiàn)象. 顯然，這樣的理解最終是不利于培養(yǎng)學生解決問題的能力的，故而本文嘗試再次對“問題解決”做一梳理，以更好地引導學生“解決問題”.

問題解決的基本理解

問題解決原本是一個心理學概念，在數學教學的語境下，其有如下幾點指向性極為明確的理解：

其一，問題解決是一種教學方式. 以教學形式存在的問題解決是面向教師的，教師要通過對數學知識發(fā)生過程的研究，發(fā)現(xiàn)其中存在著的問題解決過程，這樣就可以通過對應的教學實施給學生提供一個“可游泳”（隱喻）的環(huán)境，從而培養(yǎng)學生“會游泳”的能力.

如“解一元一次方程——合并同類項與移項”（人教版七年級上冊）這一內容中，讓學生發(fā)現(xiàn)合并同類項與移項的策略，就是一元一次方程如何求解這一問題的具體解決策略. 學生從面對問題（由教師提供），到運用已有的知識去列出方程并求解，就是一個問題解決過程. 在這個過程中如果有意識地引導學生思考問題是如何得到解決的，能讓其發(fā)現(xiàn)“合并同類項與移項”就是“一元一次方程如何求解”這一問題的解決辦法，從而在問題解決的過程中生成問題解決的思路.

其二，問題解決是學生數學學習品質的體現(xiàn)，表示著學生數學知識的應用能力. 問題解決作為學生的學習品質，是初中數學教學中最需要關注的一個問題，即問題解決教學最終是為了培養(yǎng)學生解決問題的能力的，這個能力對應著學生運用數學知識解決問題尤其是實際問題的能力.

如上面所舉的一元一次方程的例子，在數學教學中，更多的是需要面向生活實際，并將實際問題抽象成方程模型，這也是問題解決的一個組成部分. 實踐證明，將實際問題抽象成數學模型，往往就是問題解決的關鍵第一步.

其三，問題解決是數學課程目標. 作為課程目標的問題解決，是從宏觀方面對問題解決提出的總要求，對于一線教師而言，通常只需要知道這一點即可，不需要過多闡述.

上面三點闡述中，第一點是面向教師教學理解的理論基礎，而第二點則是教學實踐中的關鍵. 下面的闡述也將圍繞第二點來具體說明.

問題解決與問題情境

面向學生培養(yǎng)學生的問題解決能力，情境是一個重要的因素. 很多時候，情境創(chuàng)設往往存在著目的性不強或者目標偏移的情形，事實上情境如果瞄準了問題解決這一目標，才能真正彰顯出其魅力.

在“二次函數與一元二次方程”的教學中，面臨的問題是理清函數與方程的關系，并能夠通過對二次函數的研究以對一元二次方程有新的理解. 于是筆者給學生設計了一個斜向上拋物體運動的情境：給出一個小球的拋射角與拋出速度，創(chuàng)設一個拋物線形成的真實情境，在理想狀況即不計空氣阻力的情形下，給出小球的飛行高度與時間的關系h=vt-5t2（v的數值可以直接給出，以減少學生的思維難度），然后提出相應的問題，如：飛行高度最大是多少？從飛出開始到落地需要多長時間？多長時間以后飛行高度達到20米（需要對v準確賦值）？

在課堂上，這個問題的形成可以設計一個過程：教師彈出一個粉筆頭，就是一個真實情境；畫出拋出的軌跡，就是一個拋物線；基于這個情境賦予粉筆頭以相關的數據，并提出相應的問題，就成為上面題目的實際問題. 學生在面對此問題時，就是在情境中面臨著問題解決的過程.

在此問題解決的過程中，學生的思維會經歷一個短暫的加工：先通過數學抽象并結合自身的生活經驗，構建出拋物線模型；賦值之后需要結合問題思考飛行高度與哪些因素有關，水平移動的距離又決定于哪些因素？尤其重要的一個問題是：此問題的解決過程中所依靠的二次函數的圖像，與一元二次方程的解又有什么關系？這個問題的解決與上面提出的第三個問題密切相關. 事實上在此問題解決的過程中，學生的思維一直是建立在情境之上的，實際問題中的飛行高度其實就是二次函數演繹為一元二次方程后的y值，而所需要求的飛行時間t就是對應的一元二次方程的解. 也是在此關系的梳理中，學生發(fā)現(xiàn)了二次函數與一元二次方程之間的關系. 而這個關系的發(fā)現(xiàn)，正是本教學環(huán)節(jié)的重點！

由此可見，問題解決與問題情境之間存在著密切的關系：問題解決能力可以在問題情境當中更好地得到培養(yǎng)，而問題情境的創(chuàng)設依據本質上是指向問題解決能力的培養(yǎng)的.

問題解決到解決問題

需要明確指出的是：問題解決與解決問題不是同一個概念. 問題解決相當于一種思維方式，表征著學生的學習品質，而解決問題是面臨具體問題時所表現(xiàn)出來的具有步驟性、程序性的思路. 兩者之間更多的是一種前者促進后者、后者表現(xiàn)前者的關系. 在具體的學習過程中，問題解決能力是在具體的解決問題的過程中形成的，而解決問題的具體思路又來自于問題解決的思維. 這不是一種死循環(huán)的關系，而是學習原本就是這樣的：很多時候，初中學生在解決問題的時候，并沒有明確的問題解決意識，問題的直接出現(xiàn)、問題的變式呈現(xiàn)，所提供給學生的都是具體的解決問題的機會，而在此過程中，作為思維品質的問題解決能力也在逐步形成，待這種思維變成一種顯性的意識之后，就有可能反過來促進學生更好地解決問題.

例如，在上面所舉的“二次函數與一元二次方程”教學的例子中，待上述過程精加工完畢之后，學生就會形成關于二次函數與一元二次方程的明確關系，也就是說學生形成了一種較好的問題解決的思維品質. 這個時候再給學生一個類似的問題，如已知二次函數y=-2x2+8x的值為6，那自變量x的值是多少？學生在遇到這個問題的時候，可以迅速地利用剛才形成的思維品質，將該二次函數轉換成一元二次方程-2x2+8x=6來進行求解，這幾乎是所有學生都能完成的轉換，其就得益于上一個環(huán)節(jié)問題解決思維能力的培養(yǎng).

當然也有復雜一些的時候. 這個復雜就是指給出的問題情境可能是學生感覺到陌生的，這個時候學生就需要借助數學推理來選擇相應的模型進行求解，而這個過程，實際上也是問題解決思維在發(fā)揮作用. 一個簡單的例子就是，當學生面對多邊形而要求其內角和時，學生的第一反應往往是無所適從，但隨即就能從三角形內角和的知識出發(fā)，經由構建三角形并判斷一個n邊形可以分成多少個三角形，進而得出求多邊形內角和的普適公式. 這個時間可能不長（實際上只有四五分鐘左右），但學生就已經經歷了一個完整的數學推理，并利用問題解決思維成功地解決了問題.

問題解決的評價反思

在教育的語境下，問題解決作為思維品質的培養(yǎng)，就不能只依靠其自然生長. 教師干預的最直接也是最有效的手段，就是評價的運用，以評價促進學生的反思，是問題解決思維能力形成的關鍵.

如上面所闡述的一樣，學生的問題解決思維能力往往是在解決問題的過程中“默默地”形成了，這決定了問題解決思維常常以默會知識的形態(tài)存在著. 在初中階段，學生的思維處于覺醒時期，因而問題解決思維品質的形成就處于一個黃金時期. 要想讓學生的這種隱性思維品質變成顯性的能力，教師在具體教學中進行積極的評價是必需的. 如上面例子中，當學生發(fā)現(xiàn)合并同類項和移項可以有效地解決一元一次方程時，教師通過評價，讓學生反思解決問題的過程，反思“合并同類項”“移項”這兩個概念所表達的含義，是將解決問題過程中的模糊認識上升為清晰的問題解決思維的關鍵；又如二次函數與一元二次方程的教學中，通過評價引導學生反思兩者之間的聯(lián)系與轉換方式，就可以將具體解決問題過程中形成的認識，上升為問題解決思維等.

總之，學生的反思更多的是靠教師來引導的，而引導的具體手段就是評價，尤其是指向學生思維品質的評價，往往是受到學生歡迎的.