秦愛東

[摘 要] 在數(shù)學(xué)實驗被提出之后，初中數(shù)學(xué)教師對其理解呈現(xiàn)出一定程度上的片面性，如認(rèn)為數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)側(cè)重于“做”等，這凸顯出數(shù)學(xué)實驗整體認(rèn)知建立的必要性. 從實驗順序與功能角度建立數(shù)學(xué)實驗的基本理解，并在此基礎(chǔ)上認(rèn)識到數(shù)學(xué)實驗應(yīng)當(dāng)是“思”與“做”相結(jié)合的產(chǎn)物，尤其是建立數(shù)學(xué)實驗服務(wù)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的認(rèn)識，是整體認(rèn)知的基本含義.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實驗；整體認(rèn)知

作為一種新的促進(jìn)數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的方式，數(shù)學(xué)實驗正成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂上的一道亮麗風(fēng)景線. 既然稱之為“實驗”，那肯定是具有操作性的，既然是“數(shù)學(xué)實驗”，那一定是具有數(shù)學(xué)特征的. 從當(dāng)前實際教學(xué)來看，目前數(shù)學(xué)課堂上的實驗更多的還是基于對自然學(xué)科實驗的理解，強(qiáng)調(diào)在“做”的過程中讓學(xué)生生成對數(shù)學(xué)知識的理解，這樣的思路是對的，但實際在學(xué)生做的時候，往往由于教學(xué)理念的偏差，如試圖通過數(shù)學(xué)實驗來讓課堂氣氛活躍一些，或者讓觀摩聽課者感受課堂所謂的“靈動性”，導(dǎo)致數(shù)學(xué)實驗并沒有發(fā)揮其應(yīng)有的功能. 從最本質(zhì)的角度講，這說明數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知在教師的認(rèn)知當(dāng)中是模糊的. 也正是基于對這一問題的思考，筆者嘗試從一個一線教師的角度來探究初中數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知. 考慮到一線教師對教學(xué)方式實用性的追求，筆者更傾向于從“操作性”角度切入對本問題的思考.

從實驗順序與功能的角度建構(gòu)數(shù)學(xué)實驗理解

在2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式之一之后，對數(shù)學(xué)實驗的理解與定義雖然形式有所不同，但實質(zhì)基本是趨同的，這樣的共識為數(shù)學(xué)實驗的運(yùn)用奠定了基礎(chǔ).

而從教學(xué)實際來看，簡單的“做”盡管可以讓學(xué)生增強(qiáng)興趣，讓課堂氣氛熱鬧起來，但這樣實驗對學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的作用有時并不像教師期待的那樣明顯，甚至還會出現(xiàn)“勞而無功”的現(xiàn)象. 究其原因，正在于教師對數(shù)學(xué)實驗的膚淺理解，造成了學(xué)生在實驗的過程當(dāng)中其實并無清晰的思維主線，這顯然并非實驗教學(xué)的初衷. 因此，必須從實驗順序與功能的角度建構(gòu)起對數(shù)學(xué)實驗的理解.

實驗一定是有順序的，這個順序是思維的產(chǎn)物，在具體的實驗過程中就變成了實驗的步驟. 步驟是否順當(dāng)，反映了實驗順序是否合理，進(jìn)而反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是否清晰，其直接決定了數(shù)學(xué)實驗?zāi)芊裼行У卮呱鷶?shù)學(xué)知識的建構(gòu). 而教師以及學(xué)生對實驗功能的理解與定位，則決定了實驗在課堂上是作為目的而存在，還是作為手段而存在. 顯然，我們是傾向于后者的，因為數(shù)學(xué)實驗本身只是促進(jìn)數(shù)學(xué)知識形成的一種手段.

數(shù)學(xué)實驗的順序大抵應(yīng)當(dāng)是這樣的：首先，明確實驗方向；其次，細(xì)化實驗步驟，進(jìn)行變量控制；第三，完成實驗；第四，分析實驗現(xiàn)象與結(jié)果，得出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論；第五，評估實驗. 下面以探究“圓周角與圓心角的關(guān)系”為例，來解釋筆者所理解的實驗步驟與相應(yīng)的功能.

“明確實驗方向”很重要，其最大功能就是保持學(xué)生在實驗中注意力的集中，而這恰恰是實際教學(xué)中容易出現(xiàn)的問題——注意力分散或遷移，只有鎖定了“探究一個圓中圓周角與圓心角的關(guān)系”這一目的，才能保證后續(xù)的實驗是圍繞這個目的而進(jìn)行的. “細(xì)化實驗步驟”是保證實驗可“做”的關(guān)鍵. 在探究圓周角與圓心角關(guān)系的過程中，第一要讓學(xué)生知道如何得到圓周角與對應(yīng)的圓心角，第二要讓學(xué)生知道如何比較兩角的大小，第三要知道這種比較是要得到定量而定性的結(jié)果的. 于是學(xué)生最容易想到的就是利用一個紙剪出的圓，然后確定一個圓弧，進(jìn)而就可以確定相應(yīng)的圓周角與圓心角（用剪刀剪下來）. 能不能想到用“對折”來比較，基本上取決于學(xué)生在實驗過程中的“頓悟”水平，只要有一個學(xué)生想到，通常就會有其他學(xué)生立即跟上，這是體現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗中“數(shù)學(xué)思維”含量的關(guān)鍵過程，通常需要花時間精心設(shè)計；“完成實驗”不必贅述，就是思維驅(qū)動之下具體的“做”的過程，是將思維動作化的過程，教師需要重點關(guān)注的是學(xué)生操作的準(zhǔn)確性，以判斷學(xué)生數(shù)學(xué)思維的合理性. 如有學(xué)生用兩個等大的圓分別剪出一個圓周角與一個圓心角，而有的學(xué)生則在同一個圓中得到了圓心角與圓周角，這就是數(shù)學(xué)思維過程的不同，教師要注意甄別與判斷. “分析實驗現(xiàn)象與結(jié)果”強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的實驗結(jié)果與預(yù)期之間的吻合度，學(xué)生在準(zhǔn)確剪出圓周角與圓心角并通過折疊的方式對比之后，就可以發(fā)現(xiàn)二倍關(guān)系，這是吻合的情況. 如果由于剪角不準(zhǔn)確或比較方法不當(dāng)，則無法發(fā)現(xiàn)二倍關(guān)系，這就是不吻合的情況. “評估實驗”是數(shù)學(xué)實驗中很重要的一步，這是在問題得到解決之后，學(xué)生回過頭來將實驗過程進(jìn)一步清晰化、簡潔化的過程，是學(xué)生思維前行的過程. 實際上就有基礎(chǔ)較好的學(xué)生提出，“要證明圓心角是圓周角的二倍，完全可以不用實驗而直接證明（其是指邏輯推理）”，教師自然是需要給予肯定的，但對于抽象思維能力不強(qiáng)的學(xué)生而言，實驗仍是必要的.

在具體數(shù)學(xué)實驗中生成數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知

經(jīng)由上述分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗在教師的思維當(dāng)中應(yīng)當(dāng)是清晰的，在學(xué)生具體“做”的過程中，思維也應(yīng)當(dāng)是清晰的，而這就意味著數(shù)學(xué)實驗本身需要一個整體認(rèn)知的存在，無論是對于教師還是對于學(xué)生而言——這里所說的整體認(rèn)知不是指學(xué)術(shù)角度的數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知，而是師生對數(shù)學(xué)實驗的認(rèn)知. 說得再直接一點，就是師生必須知道：數(shù)學(xué)實驗不僅僅是“做”出來的，而應(yīng)當(dāng)是“思”后“做”出來的. 數(shù)學(xué)思維要驅(qū)動數(shù)學(xué)實驗的設(shè)計，沒有數(shù)學(xué)思維的存在，那數(shù)學(xué)實驗很有可能只是對照步驟的機(jī)械操作，那意味著學(xué)生很可能只是一個輸入實驗步驟指令的機(jī)器人，這顯然不是數(shù)學(xué)實驗作為學(xué)習(xí)方式的初衷. 筆者以為，這是對教學(xué)實踐中師生認(rèn)知的必要界定.

需要指出的是，數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知并不是一個固定的框架，說學(xué)生非要在這個框架內(nèi)完成實驗. 數(shù)學(xué)實驗作為數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，或許更需要現(xiàn)象學(xué)的理論來解釋，那就是針對不同的數(shù)學(xué)問題，需要有不同的整體認(rèn)知. 如上探究圓周角與圓心角的關(guān)系，遵循的是數(shù)學(xué)實驗的一般步驟，而在另一些數(shù)學(xué)實驗中，這個架構(gòu)可能會有所不同.

如有教師在“二次函數(shù)與一元二次方程”的教學(xué)中進(jìn)行了這樣的設(shè)計：首先，利用數(shù)學(xué)實驗來促進(jìn)學(xué)生對二次函數(shù)圖像與一元二次方程的解的關(guān)系的理解，即讓學(xué)生任意列出一個一元二次方程，讓他們通過自己的方法判定其根，然后討論交流方程根的不同情況. 在此基礎(chǔ)上，教師跟學(xué)生一起利用幾何畫板（基于問題解決的數(shù)學(xué)實驗工具）生成二次函數(shù)的圖像，以歸納二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系. 接著再進(jìn)一步，讓學(xué)生在自己的草稿紙上畫圖判斷另一個一元二次方程根的可能情形，最后讓學(xué)生不準(zhǔn)畫、只準(zhǔn)想二次函數(shù)圖像，以直接判斷對應(yīng)的一元二次方程根的情況. 在這樣的過程中，存在于第二、三兩步以函數(shù)圖像為主要呈現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)實驗，起著促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建二次函數(shù)圖像與一元二次方程根的關(guān)系的作用，在這個作用發(fā)揮的過程中，教師準(zhǔn)確地界定了數(shù)學(xué)實驗在問題解決過程中的作用，并確定了發(fā)揮這種作用的環(huán)節(jié). 由于四個層次步步遞進(jìn)，學(xué)生做到最后一步時，也顯然意識到了函數(shù)圖像所起的作用，一旦學(xué)生的思路清晰了，那學(xué)生的認(rèn)知就提升了：二次函數(shù)圖像與直角坐標(biāo)系中x軸的交點，與對應(yīng)的一元二次方程的根的情形存在著對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系可以將兩個知識點很好地聯(lián)系起來；而從學(xué)習(xí)方式上來看，從問題的提出，到其后的“看圖像”“畫圖像”，再到最后的“想圖像”，這就是一個超越了簡單的“做”，將數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)實驗操作聯(lián)系在一起的整體認(rèn)知.

數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知為教師提供宏觀的認(rèn)識

在探究的過程中，筆者深切地感覺到，對數(shù)學(xué)實驗建立整體認(rèn)知是極為重要的，其可以讓教師超越簡單模仿或機(jī)械操作的層面，從而將數(shù)學(xué)實驗以有效的方式嵌入到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，使之真正成為推動學(xué)生學(xué)習(xí)的動力. 這種力量的發(fā)揮，不僅是淺層的興趣，更是直接面向數(shù)學(xué)知識構(gòu)建過程的，因而是有效的.

而對于教師而言，有了對數(shù)學(xué)實驗的整體認(rèn)知，實際上就是讓自己站在更高的高度審視數(shù)學(xué)實驗的存在及其價值，筆者以為，這種宏觀認(rèn)識的形成，對于一線數(shù)學(xué)教師來說，是必需的. 這個時候我們再回頭來看數(shù)學(xué)實驗的定義：學(xué)習(xí)者為了構(gòu)建某個數(shù)學(xué)知識、檢驗?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想、解決某個數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)思維的作用之下，利用一定的物質(zhì)手段進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究活動. 可以發(fā)現(xiàn)，我們對數(shù)學(xué)實驗的理解已經(jīng)超越了“做”，而是追求“思”后“做”的有效設(shè)計，這在筆者看來是整體認(rèn)知建立之后對數(shù)學(xué)實驗的進(jìn)一步理解，同時也是數(shù)學(xué)實驗?zāi)軌虬l(fā)揮作用的關(guān)鍵.

最后再次強(qiáng)調(diào)，研究視角下的數(shù)學(xué)實驗常具有現(xiàn)象學(xué)意義，未必要強(qiáng)行概括某個規(guī)律.