胡素芬

[摘 要] 初三后期的復(fù)習(xí)課時間緊任務(wù)重，本文從分析2015年浦東新區(qū)一模卷第25題的部分課堂實錄出發(fā)，淺談如何進行一題多解和一題多變，從中探討應(yīng)用模型教學(xué)和題組教學(xué)，逐漸挖掘解題教學(xué)中的育人價值.

[關(guān)鍵詞] 壓軸題；教學(xué)；一題多解；一題多變

章建躍博士指出：解題的目標(biāo)應(yīng)聚焦于加深和理解雙基. 學(xué)會思考，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力；查缺補漏，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)造力等. 這些目標(biāo)的實現(xiàn)，極大程度上依靠“好題”. “好題”能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題的方法自然多樣，具有發(fā)展性等等. 命制一道好題需要對數(shù)學(xué)本質(zhì)具有深刻的理解，研究一道好題需要熟悉考點、清楚設(shè)計意圖、開放解題思路. 同樣的，一節(jié)優(yōu)質(zhì)的試卷講評課，教師應(yīng)該清楚出題意圖，靈活解題思路，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展. 接下來筆者以2015年上海市浦東新區(qū)一模第25題為例談?wù)勅绾瓮诰驂狠S題中的數(shù)學(xué)元素，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

試題呈現(xiàn)

（2015年浦東新區(qū)一模25題）如圖1，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M.

初步思考

此題圍繞滬教版教材九年級第一學(xué)期重要教學(xué)內(nèi)容并緊扣“相似”這一重要考點，能夠較好地檢測基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況. 第（1）題的難度期望值大概為0.6-0.8，接下來的第（2）題難度期望值約為0.4-0.5.

反思分析

這道題目是一道典型的以正方形為背景的動點問題，是中考壓軸題的常見題型. 本題設(shè)計出不同層次的三個問題，既由淺入深、風(fēng)格不同，又相互關(guān)聯(lián)、前后呼應(yīng)，屬于“并列式”結(jié)構(gòu). 這道題目圍繞著上海教育出版社九年級第一學(xué)期教材的“主干”和“核心”內(nèi)容，緊扣相似三角形和四邊形的相關(guān)考點，能夠在檢測基礎(chǔ)知識的同時檢測邏輯思維能力、計算能力和綜合應(yīng)用能力，具有一定的思維量. 第（1）問考查相似三角形的判定定理，第（2）問利用第（1）問的結(jié)論研究兩條線段之間的函數(shù)解析式，第（3）問在分類討論的基礎(chǔ)上利用第（2）問的結(jié)論進行三角形面積的計算.

在第（1）問的基礎(chǔ)上分析圖形中邊和角之間的關(guān)系，通過添加過點G的兩條垂線構(gòu)造矩形GQDH，利用矩形對邊相等，從各種等量關(guān)系求出長度，或讓用字母x來表示的線段聚集在直角三角形EQG中，通過勾股定理得到線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式.

那么有沒有其他方法可以求解線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式呢？

一題多解

仔細(xì)審閱這題的題干部分“點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M. ”不難發(fā)現(xiàn)，整個圖形的運動過程中，點E是主動點，而點G和點M是從動點，它們的位置是隨著點E位置變化而變化的. 聯(lián)想到第一種解法中是過從動點G添加垂線，那么是否可以過主動點E添加垂線呢？

再次審視這道題目的第（2）問，再次回顧解決此題的方法一，過點G添加線段AD和CD的垂線，構(gòu)造一個矩形GQDH，那么能不能過點G添加BE的垂線呢？方法三隨之產(chǎn)生了.

方法三：如圖6，過點G作GK⊥BE，K為垂足.

和方法一、方法二相比，方法三的不同之處在于將目光從添加垂線構(gòu)造直角三角形逐漸轉(zhuǎn)向了分析三角形EGB的特征，通過相似三角形的判定，發(fā)現(xiàn)三角形EGB是一個等腰直角三角形，進而根據(jù)EG和EB的線段長度比值求出線段AE和EG的函數(shù)關(guān)系式.

課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生反思前面三種解答過程，提出問題：在分析三角形EGB典型特征的過程中是否一定需要通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形呢？回答顯然是否定的. 此時課堂上學(xué)生的思維活躍起來，學(xué)生的語言也豐富了.

追本溯源

不添輔助線的方法四無疑是這幾種解法當(dāng)中最簡單的一種，為什么想到這種方法的同學(xué)不多呢？追本溯源這是一個典型的“蝶形問題”，或者說是“四點共圓”問題. 如圖8，“已知∠BAO=∠CDO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OC=OB·DO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OB=OC·DO，問圖中有幾對相似三角形？”

在上海教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材九年級第一學(xué)期25頁例題1中出現(xiàn)的就是這樣的一個“蝶形”相似，無獨有偶，在同一本課本第8頁的例題2，九年級第一學(xué)期的教參30頁上歸納整理的幾個基礎(chǔ)圖形中的最后一個也是以這個蝶形作為基礎(chǔ)圖形展開教學(xué)的.

類似這樣一些簡單問題，學(xué)生是否能夠從復(fù)雜的圖形中抽象出“蝶形問題”或者說是“四點共圓問題”就成為其能否順利解決第（2）問的關(guān)鍵. 怎樣才能使學(xué)生在復(fù)雜圖形中輕而易舉地看出對解題有幫助的基礎(chǔ)圖形呢？

解題啟示

1. 重視“基本模型”構(gòu)建能力的培養(yǎng)

羅增儒教授指出：如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，就用該類型相應(yīng)的方法去解決（模型識別）；如果遇到不熟悉和費解的習(xí)題，不能直接轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，那我們可以“分解”， 既使得每個小問題都是熟悉的，又可以揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實質(zhì)是熟悉的，同時還可以不間斷地改變習(xí)題，最終化歸為已經(jīng)解決的問題. 各地歷年中考題中都有“基礎(chǔ)圖形”的痕跡，其重要程度可見一斑.

初三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教師對這一教學(xué)內(nèi)容相當(dāng)重視，每一位有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)教師憑借著自己的理解和概括都能總結(jié)和提煉出一個又一個的模型，上課時教師講授得頭頭是道，學(xué)生聽得津津有味，可是當(dāng)學(xué)生獨立面對綜合題的時候往往顯得束手無策. 這種對于基礎(chǔ)圖形“識而不會”的情況為何屢屢發(fā)生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏構(gòu)建的數(shù)學(xué)能力. 大多數(shù)綜合題中的基礎(chǔ)圖形都是“潛伏”在大段敘述性的文字或者復(fù)雜的圖形中的，需要適當(dāng)添加輔助線構(gòu)建基礎(chǔ)圖形才能逐漸清晰明朗.

要培養(yǎng)構(gòu)建能力就要求教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察基礎(chǔ)圖形，正確理解基礎(chǔ)圖形的關(guān)鍵特征，清楚基礎(chǔ)圖形的核心要素，鼓勵學(xué)生大膽嘗試補充添加輔助線以達到補齊基礎(chǔ)圖形所需要的全部核心要素的目的. 行之有效的方法之一就是將簡單的基礎(chǔ)模型進行各種變式，逐漸將圖形復(fù)雜化，將小問題深化；行之有效的方法之二就是在各個綜合題中抽取出簡單的基礎(chǔ)模型，雙向思維訓(xùn)練，不斷培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的邏輯性和嚴(yán)密性. ？例如圖8，對于這個蝶形的基礎(chǔ)圖形進行分析時還可以補充練習(xí)，以期達到夯實“基礎(chǔ)模型”的教學(xué)效果.

這一系列補充練習(xí)完成之后再引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，就能自然地將上述兩種教學(xué)方法比較完整地體現(xiàn)，這類“蝶形”基礎(chǔ)圖形就能夠牢牢地扎根于學(xué)生的腦海之中.

2. 初三復(fù)習(xí)課的教學(xué)提倡“題組設(shè)計”

由于初三數(shù)學(xué)課“時間緊任務(wù)重”的特點，教師善于將典型問題作為源問題，將典型例題中的核心知識點在不同問題情境中呈現(xiàn)出來. 通過內(nèi)在的一條線（也就是基礎(chǔ)圖形），把它們集中成一個問題串，引導(dǎo)學(xué)生對解題思路、解題策略進行歸納總結(jié)，使學(xué)生形成一個有機認(rèn)知體系，從而起到舉一反三、觸類旁通的效果. 教師要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在反思問題的解題方法以及解題思路是否具有規(guī)律性的同時，再思考是否可以將這些思路和方法遷移到類似的問題中去；其次在反思圖形的結(jié)構(gòu)和位置發(fā)生改變的同時，弱化或加強命題的條件，結(jié)論能否拓展、引申、推廣. 平時加強對學(xué)生一題多變的題組訓(xùn)練，可以深化他們自覺地對問題進行理解，優(yōu)化學(xué)生的思維過程，完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高他們自主探究這一類問題的能力，分析解決這類問題的能力也在不同程度上得到了提高.

例如這道2015年浦東一?？荚嚨膲狠S題建議跟2016年淄博的24題放在一起編成“互逆式”題組進行課堂設(shè)計和講解：

如圖11，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變.

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結(jié)論，并加以證明.

另外，對于2015年上海市浦東新區(qū)一模第25題的第（2）問：設(shè)AE=x，EG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域，如果課堂上時間充裕，教師還可以在“設(shè)AE=x”這一條件不變的基礎(chǔ)上，將函數(shù)進行變化，讓DE=y，BE=y，AF=y，F(xiàn)B=y，EF=y，F(xiàn)G=y，BG=y，CG=y甚至于MG=y，要求學(xué)生求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式. 利用這樣的題組教學(xué)可以進一步發(fā)展學(xué)生“用字母表示數(shù)”的基本能力，進一步拓展“平行線分線段成比例”定理的應(yīng)用，進一步形成“鎖鏈?zhǔn)健弊兪筋}組，逐漸豐滿復(fù)習(xí)課的層次和內(nèi)容.

3. 提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的立意與品味

中考復(fù)習(xí)的目的不僅僅是簡單地再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和熟練各種應(yīng)用，更重要的是在于幫助學(xué)生深化對數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識. 由于這些“聯(lián)系”大部分都是隱性的，僅僅依靠學(xué)生自己復(fù)習(xí)很難發(fā)現(xiàn)，有時候即使發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律性的東西也只是一閃而過，很難自行總結(jié)歸納. 這就要求初三數(shù)學(xué)教師在設(shè)計復(fù)習(xí)課的時候立意要高，不能夠就題講題，以題論題，而應(yīng)該讓學(xué)生清楚地“知其然”，主動地“知其所以然”，積極探索“何以知其所以然”. 日常教學(xué)中，數(shù)學(xué)課堂上充滿了數(shù)學(xué)知識點和數(shù)學(xué)題目，但所有的數(shù)學(xué)教學(xué)行為不能夠游離于數(shù)學(xué)思想方法之外，一旦游離，數(shù)學(xué)知識就會失去其真正的落腳點，數(shù)學(xué)題目的講解便會降低有效性和遷移效果. 每道數(shù)學(xué)題目猶如語文中的一篇范文，自身的主題或中心思想的挖掘需要對試題有足夠的理解和把握，這個理解和把握的過程往往借助數(shù)學(xué)思想方法來完成. 本文選取的這道壓軸題的前兩問無不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，尤其是對第（2）問幾種解法的不斷探索過程中，突出了“以形助數(shù)”的效果；第（3）問的解答過程中也離不開分類討論和方程思想的具體實現(xiàn). 不斷提醒、總結(jié)和歸納，不僅能夠夯實學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，而且能夠使教師自身在繁忙復(fù)雜的日常教學(xué)工作中享受到創(chuàng)作感和設(shè)計感帶來的愉悅心情.

回顧分析研究第（2）問的過程，從一開始相對機械地添加垂線利用勾股定理解出函數(shù)解析式，到再思、三思而得出四種不同的解法，我們不難發(fā)現(xiàn)其實方法四是利用“蝶形”或“四點共圓”的基礎(chǔ)圖形來探求兩條線段的函數(shù)關(guān)系式，這種方法既是回答第（2）問的簡便方法，又是解決問題的通法.

學(xué)生解題后不反思，就不能及時優(yōu)化解題過程，無法鍛煉數(shù)學(xué)思維；教師講題后不反思，就無法提高理解水平，無法提高研究水準(zhǔn). 其實在每節(jié)數(shù)學(xué)課中，在每道題目的證明和解答中，學(xué)生收獲最大的并不是得到正確答案，也不是具備解決這類問題的能力，而是真實感受到數(shù)學(xué)研究的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，享受多種解法相互碰撞產(chǎn)生的思維火花，感悟各種方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而對今后的學(xué)習(xí)和生活帶來深遠(yuǎn)的影響.

數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的理性精神以及蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，所以需要教師引導(dǎo)學(xué)生從“就題論題”逐漸上升為“以題論法”的境界，最終達到“以題論道”的目的. 數(shù)學(xué)學(xué)科育人的過程就是在課堂上師生共同“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程. 在研究數(shù)學(xué)的過程中不斷思考“通法”和“巧法”，逐步養(yǎng)成理性思考、嚴(yán)謹(jǐn)求證的問題分析和解決問題的習(xí)慣，這不僅能夠指導(dǎo)學(xué)生將來面對形形色色、種類繁多的學(xué)習(xí)問題，有助于學(xué)生形成優(yōu)化而高效的學(xué)習(xí)方法，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生進行理性思考，將現(xiàn)在的學(xué)法逐漸轉(zhuǎn)化為將來的生活態(tài)度和生活形式！