宋賢云，宋漢文

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092）

環(huán)境激勵下Karhunen-Loève變換與模態(tài)分解間的關系

宋賢云，宋漢文

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092）

Karhunen-Loève（KL）變換作為一種基于相關函數(shù)的最佳變換，在振動分析領域已經受到廣泛關注。然而，該方法還缺乏清晰完整的模態(tài)解釋。在空間幾何上，振動分析中模態(tài)分解是振動響應信號在由振型構成的基底上的展開，KL變換是信號在由一組正交KL特征向量構成的空間中的投影過程。對環(huán)境激勵下響應的KL變換與模態(tài)分解進行類比，探討兩者間的關系。結果表明：KL特征向量收斂于質量信息加權后的振型；KL特征值表征各階模態(tài)的能量參與度；KL變換系數(shù)收斂于模態(tài)坐標。最后，通過仿真計算驗證分析結論的正確性。

振動與波；Karhunen-Loève變換；模態(tài)分解；環(huán)境激勵

Karhunen-Loève（KL）變換是一種從信號中提取正交基（或特征函數(shù)，也稱KL特征向量）以進行模型分解的過程。KL變換具有如下特性[1]：

(1)去相關性。信號進行KL變換后，各分解量互不相關。

(2)能量集中性。對N＞1維矢量信號進行KL變換后，較大的方差集中在前M（0＜M＜N）項分解量。

(3)最佳特性。KL變換是在均方誤差測度下重構失真最小的一種方法，其重構誤差為被略去的各KL分解量之和?；谶@些特性，KL變換方法已經被成功地應用于流體動力學[2]、熱分析[3]、故障診斷[4]等學科中的模型降階以及響應的重構。在結構動力分析和系統(tǒng)辨識領域，已論證KL變換可用于獲得精確的低階動力模型[5]。相比傳統(tǒng)Galerkin或Rayleigh-Ritz方法，利用KL變換可用更少的模態(tài)來獲取相同的能量[6]。從這一方面看，KL變換獲得的模態(tài)是最佳的。

從結構動力學中的應用意義角度考慮，討論KL變換的各參量（KL特征向量、KL特征值、KL變換系數(shù)）與結構模態(tài)間的關系是十分有必要的。文獻[7]指出，在質量均勻分布的離散系統(tǒng)中，若總體數(shù)據(jù)量足夠大，利用KL變換從數(shù)字仿真數(shù)據(jù)中提取的特征向量收斂于振動正則模態(tài)，并且特征值與數(shù)據(jù)中的能量分布有關。

隨著振動分析領域不斷發(fā)展，環(huán)境激勵下模態(tài)分析的理論以及應用也日益豐富[8–11]。KL變換作為一種有效的數(shù)據(jù)分析方法，目前該方法還缺乏清晰完整的模態(tài)解釋。環(huán)境激勵通常假設為白噪聲，文中也在這一前提下進行討論。首先對KL變換理論進行介紹，通過與模態(tài)分解進行類比，對KL變換的各參量：KL特征向量、KL特征值和KL變換系數(shù)，進行了模態(tài)解釋。最后通過仿真結果驗證解釋的合理性。

1 Karhunen-Loève變換

由此，{u(t)}有表達式

式(4)寫成矩陣形式

綜上所述，式(1)即為Karhunen-Loève變換，稱為KL特征向量或KL基，λi稱為KL特征值。

2 Karhunen-Loève變換與模態(tài)分解的關系

N自由度線性時不變離散系統(tǒng)的動力學方程為[12]

假設系統(tǒng)承受白噪聲激勵是零均值的，根據(jù)NExT理論[13]，式(12)可進一步寫為

比較式(4)和式(5)，可以得出結論：對于正交向量{ψi}，常數(shù)的KL特征向量和KL特征值。寫成KL變換形式

綜上所述，環(huán)境激勵下，KL變換在振動分析中的模態(tài)意義在于：對于已知系統(tǒng)質量矩陣，對系統(tǒng)響應線性變換后，進行KL變換就能夠獲得系統(tǒng)按能量貢獻度排列的模態(tài)振型、模態(tài)坐標。

3 仿真驗證

為驗證文中對環(huán)境激勵下KL變換與模態(tài)分解間關系的解釋，建立三自由度質量彈簧振動系統(tǒng)仿真模型（見圖1）。

圖1 三自由度質量彈簧振動系統(tǒng)

圖1中，質量矩陣為

剛度矩陣為

圖2 激勵信號

圖3 位移響應信號

圖4 KL變換計算向量{i}與模態(tài)振型向量{?i}比較 (圖中虛線表示向量{?i}，實線表示向量{i})

比較KL特征值λi與系統(tǒng)能量參與因子并計算兩者間相對誤差

結果見表1。從中可知，KL特征值λi與能量參與因子是近似相等的，這就驗證了式(13)。

4 結語

對KL變換與振動分析中的模態(tài)分解進行類比，探討兩者的關系。模態(tài)分解和KL變換在空間幾何上具有共有特性：皆是一組信號在正交向量（或線性無關的向量）構成基底上的展開過程。對已知質量的線性離散系統(tǒng)進行分析，結果表明：環(huán)境激勵下，KL特征向量收斂于質量信息加權后的振型；KL特征值表征模態(tài)振型的能量參與度；KL變換系數(shù)收斂于系統(tǒng)的模態(tài)坐標。最后，通過仿真計算驗證了分析結論的正確性。這就為后續(xù)KL變換在系統(tǒng)工況模態(tài)辨識以及健康監(jiān)測與精確控制中的應用提供了理論依據(jù)。

表1 能量參與因子‖qi(t)‖2與KL特征值λi比較 (單位：1)

圖5 模態(tài)坐標qi(t)(i=1,2,3) 與KL變換系數(shù)的比較

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Relationship Between Karhunen-Loève Transformation and Modal Decomposition UnderAmbient Excitations

SONG Xian-yun,SONG Han-wen
(School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

As a best transformation based on the correlation function,Karhunen-Loève transformation(KLT)has been paid a wide attention in vibration analysis.However,this method lacks a clear and complete modal interpretation.In view of spatial geometry,the modal decomposition in vibration analysis is a procedure of expanding response signals on the bases of modal shapes,while KLT is a projection procedure of the signals in the space composed by orthogonal KL eigenvectors.This paper discusses the relationship between the KLT and the modal decomposition under ambient excitation.The results show that the KL eigenvectors are approximated to the weighted modal shapes,the KL eigenvalues represent the energy contribution of the corresponding modes,and the KL coefficients converge to the modal coordinate.Finally,conclusion of the analysis is verified by numerical simulation.

vibration and wave;Karhunen-Loève transformation;modal decomposition;ambient excitation

O321；O327

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.001

1006-1355(2017)04-0001-04+46

2017-05-015

國家自然科學基金資助項目（11272235）

宋賢云（1987－），女，河南省鶴壁市人，博士研究生，主要研究方向為工況模態(tài)分析與模態(tài)參數(shù)辨識。

宋漢文，男，博士生導師。

E-mail:hwsong@#edu.cn