董天夫，方明霞

(同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

含有輸入時滯的懸架系統(tǒng)的最優(yōu)控制

董天夫，方明霞

(同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

伴隨著主動控制環(huán)節(jié)的應(yīng)用,懸架系統(tǒng)中不可避免會出現(xiàn)時滯因素。以含有時滯的2DOF主動懸架系統(tǒng)為研究對象，分別使用不考慮時滯的傳統(tǒng)控制律和采用狀態(tài)變換及系統(tǒng)離散化處理時滯后的控制律進行控制，并對控制系統(tǒng)的響應(yīng)和穩(wěn)定性特性進行對比。不考慮系統(tǒng)時滯時，直接采用傳統(tǒng)的控制律進行控制，理論分析和數(shù)值仿真均表明：當(dāng)時滯較小時，系統(tǒng)依然保持穩(wěn)定，達到一定值時，可能引起系統(tǒng)響應(yīng)定性特性改變，甚至失穩(wěn)發(fā)散。采用狀態(tài)變換的方法處理時滯后進行主動控制，能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該控制律較好地反應(yīng)了輸入時滯對控制方程的影響。

振動與波；時滯系統(tǒng)；主動懸架；最優(yōu)控制；數(shù)值計算

由于主動懸架能夠根據(jù)車輛的行駛狀態(tài)和路面狀況作出主動響應(yīng)，從而改善車輛行駛特性，提高車輛的乘坐舒適性和操縱穩(wěn)定性，因此主動控制懸架受到國內(nèi)外普遍重視。目前對主動控制懸架的研究主要集中在控制算法、穩(wěn)定特性和試驗方法等方面，對控制系統(tǒng)中的時滯分量的影響考慮較少。事實上，伴隨著主動控制環(huán)節(jié)的應(yīng)用，懸架系統(tǒng)中不可避免會出現(xiàn)一系列時滯因素，忽略時滯的影響可能會引起控制性能的下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)定性特性的改變，因此考慮主動控制系統(tǒng)中時滯因素的影響勢在必行。

目前已有部分學(xué)者對考慮時滯的主動控制系統(tǒng)進行研究，文獻[1]根據(jù)二元機翼的力學(xué)模型，制定時滯反饋控制策略及建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，獲得時滯反饋控制系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性邊界。文獻[2]結(jié)合科茨求積分和線性插值的精細積分法，將時滯系統(tǒng)的狀態(tài)方程引入到Hamilton體系中進行研究。依據(jù)最優(yōu)濾波問題和帶有時滯的觀測器的雙重準(zhǔn)則，在全狀態(tài)下對其方程進行精細積分求解。文獻[3]研究單輸入兩時滯的離散系統(tǒng)的線性二次最優(yōu)控制問題，將所研究的問題等價地轉(zhuǎn)化成一個帶約束條件的時滯問題，再轉(zhuǎn)化成無時滯的條件極值問題進行求解。文獻[4]設(shè)計基于動態(tài)輸出反饋的魯棒H–∞控制器，通過數(shù)值實例驗證了該控制器對于參數(shù)攝動下的低頻時變時滯懸架系統(tǒng)控制性能的有效性。文獻[5]采用廣義Sturm序列判別準(zhǔn)則給出不同控制增益下單自由度車模型全時滯穩(wěn)定區(qū)，并在給定時滯情況下繪出了控制增益穩(wěn)定區(qū)。文獻[6]在板梁結(jié)構(gòu)時滯系統(tǒng)中采用一種新式時滯處理方法，將時滯因素直接引入反饋控制律中，成功實現(xiàn)系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

但由于汽車結(jié)構(gòu)復(fù)雜，目前在汽車懸架主動控制的研究中極少考慮時滯因素的影響。為此文中以含有時滯的2DOF主動懸架系統(tǒng)為研究對象，分別采用傳統(tǒng)控制律和處理時滯后的控制律進行控制，并分析懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究對主動懸架的動力學(xué)特性研究具有一定的參考價值。

1 兩自由度車輛動力學(xué)模型的建立

車輛懸架系統(tǒng)是一個較為復(fù)雜的多輸入多輸出系統(tǒng)，為了研究方便，更好地與車輛實際行駛狀況吻合，文中建立包括車身垂向運動z1和懸架非簧載質(zhì)量垂向運動z2兩個自由度懸架動力學(xué)模型，模型如圖1所示。

圖1 2DOF懸架動力學(xué)模型

利用第二類拉氏方程，得到系統(tǒng)的運動方程為

式中z1為懸架簧上質(zhì)量垂向位移；z2為車輪受到的路面激勵；m1為簧載質(zhì)量；m2為非簧載質(zhì)量；k2為輪胎的剛度；k1為懸架的等效剛度；c1為懸架等效阻尼；c2為輪胎阻尼；u(t-τ)為懸架的控制力。

采用帶有低通濾波器的隨機白噪聲來模擬輪胎受到的路面激勵

式中f0為下截止頻率，取0.01；G0為路面不平度系數(shù)；U0為車速；ω1為路面輸入白噪聲信號。選擇C級路面仿真，取G0=256×10-6，車速U0=20 m/s，仿真時間為10 s。生成的路面輸入位移如圖2所示。

仿真結(jié)果表明該仿真模型可以有效模擬不同等級的路面隨機激勵。

圖2 C級路面仿真結(jié)果

綜合式（1）、式（2），取c2=0 ，選取作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

2 主動控制懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2.1 LQG控制器的設(shè)計

在控制器設(shè)計時，需綜合考慮車身的位移加速度和懸架的動擾度等多個因素，在降低車身加速度的同時，應(yīng)盡量保證懸架工作空間在系統(tǒng)允許范圍內(nèi)，以防止懸架撞擊緩沖塊。為此將懸架系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)確定為

式中q1、q2、q3、q4分別為車身垂向加速度、非簧載質(zhì)量加速度、簧載質(zhì)量位移和非簧載質(zhì)量位移的加權(quán)系數(shù)。將式(1)中的代入式（4）中，則J的標(biāo)準(zhǔn)二次型形式為

式中Q為狀態(tài)加權(quán)矩陣；R為控制力加權(quán)矩陣；N為交叉項權(quán)重矩陣。

當(dāng)車輛參數(shù)值和加權(quán)系數(shù)值確定后，由Riccatti方程式(6)可求得其唯一正定解P

則最優(yōu)控制反饋增益矩陣G=R-1(NT+BTP)。

根據(jù)最優(yōu)控制理論可知，系統(tǒng)實際的最優(yōu)控制規(guī)律為：U=-GX（t-τ)。

2.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

眾所周知，引入時滯反饋控制后，反饋增益和時滯對系統(tǒng)的的穩(wěn)定性有很大的影響，當(dāng)系統(tǒng)無時滯量時，通過LQG最優(yōu)控制可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但加入時滯變量后就需要對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，將狀態(tài)方程進行Laplace變換后得到

系統(tǒng)的特征方程為|A(s)|=0，即

若方程所有的特征根均具有負(fù)實部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此首先討論系統(tǒng)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

令s=wci(wc＞0)并代入方程，分離實部和虛部得到

現(xiàn)用l表示方程正實根的個數(shù)，當(dāng)反饋增益g1取某一定值時，l的大小取決于方程系數(shù)di(i=0，2，4，6，8)。當(dāng)l=0，方程無正實根，系統(tǒng)不發(fā)生穩(wěn)定性切換。當(dāng)l≠0，有每個wcm(m=1，...，l)對應(yīng)著無限多個τ值當(dāng)τ從τn-ε增加到方程特征根的變化趨勢由下式確定。

RT=+1表示τ從左至右穿過臨界值τn時，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量增加兩個，RT=-1表示τ從左至右穿過臨界值τn時，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量減少兩個?；谝陨系奶卣髦捣治?，可以得到系統(tǒng)在一定反饋增益下的時滯穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)間。

根據(jù)上述過程對兩自由度系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)參數(shù)如下：簧載質(zhì)量m1=136.05 kg，非簧載質(zhì)量m2=24.288 kg，懸架機械阻尼系數(shù)c1=153.11，懸架剛度k1=10 200 N/m，輪胎剛度k2=980 000 N/m。加權(quán)系數(shù)根據(jù)反復(fù)試算取q1=112 400，q2=1 000，q3=q4=1，得到反饋增益系數(shù)G=[3 023.9-57.7 57.7-293.7]，在這一確定的反饋增益系數(shù)下計算得到四個臨界wc值，并計算得出系統(tǒng)在τ＞0.120 9 s時，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定，通過計算仿真得到如圖（1）至圖（5）所示的結(jié)果。

圖1 當(dāng)控制中含τ=0.04 s時簧載質(zhì)量的位移

圖2 當(dāng)控制中含τ=0.06 s時簧載質(zhì)量的位移

圖3 當(dāng)控制中含τ=0.10 s時簧載質(zhì)量的位移

圖4 當(dāng)控制中含τ=0.12 s時簧載質(zhì)量的位移

圖5 當(dāng)控制中含τ=0.14 s時簧載質(zhì)量的位移

從圖中可以看出，按照經(jīng)典LQG方法直接得到反饋系數(shù)作用于系統(tǒng)中時，當(dāng)控制力中含有的時滯較小時，系統(tǒng)依然能保持穩(wěn)定，但當(dāng)控制力中時滯較大時，則不可以直接采用二次型最優(yōu)控制理論進行處理，否則將可能導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)失穩(wěn)發(fā)散。

為解決該問題，現(xiàn)對狀態(tài)方程做如下變換

狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

式中B0=e-AτB。

根據(jù)二次型最優(yōu)控制的理論得

從式（17）中可以看出，控制力的實現(xiàn)依賴于控制力中積分項的計算，令

設(shè)采樣周期為T，并將時滯量表示為

式中l(wèi)＞0為正整數(shù)；0≤m＜T，當(dāng)m=0時，時滯量為采樣周期的整數(shù)倍，當(dāng)m≠0時，時滯量為采樣周期的非整數(shù)倍?？梢酝ㄟ^調(diào)整采樣周期使時滯量為采樣周期的整數(shù)倍，因此僅討論m=0時的情況。

當(dāng)數(shù)據(jù)采樣周期較小時，在相鄰的兩個采樣點間，控制力可按常值處理，即

U(k)實際上代表第k步控制U(kT)。為表達方便文中其他變量同此表達。當(dāng)取t=kT時，即進行第k步計算時,經(jīng)適當(dāng)變換，式(18)變?yōu)?/p>

則式（18）可以寫為

根據(jù)式(21)具體實現(xiàn)控制律時，每一步計算中除了包含有當(dāng)前步的狀態(tài)反饋外，還包含有前l(fā)步控制項的線性組合。

圖6 當(dāng)控制中含τ=0.12 s時簧載質(zhì)量的位移

從圖（6）中可以看出，按照上述時滯處理方法對系統(tǒng)進行轉(zhuǎn)換，然后對系統(tǒng)施加控制律，可以有效地保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 結(jié)語

針對含有時滯的2DOF主動懸架系統(tǒng)，分別采用傳統(tǒng)控制律和時滯處理后的控制律對懸架系統(tǒng)進行控制，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)特性進行分析，得到以下結(jié)論：

（1）若不考慮主動懸架中時滯變量的影響而直接采用傳統(tǒng)控制律進行控制，可能引起系統(tǒng)定性特性的改變。當(dāng)懸架系統(tǒng)中含有的輸入時滯量較小時，控制系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，但當(dāng)時滯達到一個較大值時，可能引起系統(tǒng)失穩(wěn)。

（2）采用狀態(tài)變換及系統(tǒng)離散化的方法，對含有時滯的懸架控制系統(tǒng)進行處理，設(shè)計含有時滯變量的二次型最優(yōu)控制律。該控制律中除了包含當(dāng)前的狀態(tài)反饋外,還包含前若干步控制項的線性組合，較好地反映了輸入時滯對控制方程的影響。

（3）通過對變換后的控制系統(tǒng)進行仿真，獲得系統(tǒng)在臨界時滯τ=0.12 s處的響應(yīng)，相比于傳統(tǒng)控制律作用下系統(tǒng)響應(yīng)會發(fā)生發(fā)散的情況，變換后的控制系統(tǒng)在臨界時滯處仍能保持穩(wěn)定。研究表明優(yōu)化后的控制規(guī)律能更好反映時滯對系統(tǒng)的影響。

[1]齊歡歡，徐鑒，方明霞.超音速飛行器機翼顫振的時滯反饋控制[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2016，37(2)：210-218.

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Optimal Control of a Suspension System with Input Time-delay

DONG Tian-fu,FANG Ming-xia
(School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

With the application of active control suspension system,time-delay phenomena are inevitable in the automobile suspension system.Based on the time-delay,a 2-DOF active suspension system is studied.The traditional control law without considering the time-delay and the optimal control law with time-delay treatment through state transformation and system discretization methods are respectively applied to the system control.The control system responses and stability characteristics are compared.Theoretical analysis and numerical simulation show that when the delay value is small,the system remains stable.But,if it reaches a certain value,the system response characteristics may change qualitatively,even the system diverges and becomes instable.Using the state transition method to deal with the time lag can guarantee the stability of the active control system.The control law can reflect the influence of input delay on the governing equations pertinently.

vibration and wave;time-delay system;active suspension;optimal control;numerical calculation

U463.33

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.003

1006-1355(2017)04-0011-04+24

2017-02-23

國家自然科學(xué)基金資助項目（11032009）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51075303）

方明霞，女，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為動力學(xué)與控制。

E-mail:92226@#edu.cn

董天夫，男，碩士研究生。

E-mail:dongtianfu0805@sina.com