詞：特征值；特征向量；Matlab軟件；旋轉(zhuǎn)變換中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044（2023）03-0001-041 引言在線性代數(shù)[1]和高等代數(shù)的教學(xué)中，在矩陣的對(duì)角化和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，方陣的特征值和特征向量是一個(gè)非常重要的內(nèi)容。在課程的教學(xué)中，借助數(shù)學(xué)軟件[2-3]并聯(lián)系實(shí)際問題，給出其幾何意義[4-5]，可以幫助理解特征值和特征向量的實(shí)際意義，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效果有一定的幫助。本文結(jié)合Mat?lab軟件，編

，PCA壓縮特征向量能夠降低分類模型的復(fù)雜度，提高時(shí)間效率。關(guān)鍵詞： 文本分類； 預(yù)訓(xùn)練語言模型； 注意力機(jī)制； 特征向量； PCA中圖分類號(hào)：TP391.1? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2023）05-136-04Research on long text classification based on the combination of BERTfeature representation and atte

用到特征值和特征向量的導(dǎo)數(shù)[1-3].其中, 特征值的導(dǎo)數(shù)計(jì)算較容易, 但特征向量的導(dǎo)數(shù)計(jì)算則較復(fù)雜, 這主要是由于特征向量導(dǎo)數(shù)控制方程的系數(shù)為奇異矩陣所致.目前, 關(guān)于特征值和特征向量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法可分為精確解法和近似解法兩類.精確解法主要有模態(tài)疊加法[4]、Nelson方法[5]和改進(jìn)的Nelson方法[6]等.模態(tài)疊加法需已知整個(gè)結(jié)構(gòu)所有振型信息才能準(zhǔn)確計(jì)算特征值與特征向量的導(dǎo)數(shù), 但不易獲得工程結(jié)構(gòu)的全部振型信息.Nelson方法和改進(jìn)的Nelso

值時(shí)間序列和特征向量時(shí)間序列。將特征向量作為結(jié)構(gòu)固有屬性特征的表征，則特征向量在時(shí)間維度上的變化可反映結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)。文獻(xiàn)[5]中應(yīng)用MPCA對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生和位置進(jìn)行識(shí)別，發(fā)現(xiàn)MPCA可以在早期識(shí)別到結(jié)構(gòu)損傷造成的響應(yīng)變化。文獻(xiàn)[6]中對(duì)比了MPCA和穩(wěn)健回歸分析2種特征分析方法，發(fā)現(xiàn)MPCA能識(shí)別損傷程度和長度更小的損傷。文獻(xiàn)[7]中驗(yàn)證了MPCA與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法具有較好的檢測(cè)性能和抗噪性能。由此可知，MPCA對(duì)于結(jié)構(gòu)健康實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)具有

化;特征值;特征向量引言線性代數(shù)是高等院校開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課程，這門課具有較強(qiáng)的理論性、抽象性和邏輯性。在現(xiàn)代社會(huì)，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科。但在線性代數(shù)的教學(xué)中，存在的一個(gè)很大的問題就是實(shí)際應(yīng)用太少，學(xué)生學(xué)習(xí)起來初步感受就是概念多，推理論證多，后期不免會(huì)出現(xiàn)枯燥、乏味、學(xué)習(xí)興趣不高等現(xiàn)象。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生對(duì)這門學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣，在教學(xué)中，教師需要結(jié)合理論知識(shí)講一些實(shí)際應(yīng)用，通過解決實(shí)際問題，使學(xué)生更好地理解與掌握相關(guān)

克羅內(nèi)克積的特征向量，以克羅內(nèi)克積基本運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ)，利用矩陣?yán)碚摰目蓪?duì)角化矩陣和相似矩陣作為橋梁，對(duì)一般矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量進(jìn)行探究，為人們更好地理解克羅內(nèi)克積奠定基礎(chǔ).1 預(yù)備知識(shí)1.1 定義定義2[5]設(shè)矩陣A、B為數(shù)域P上的2個(gè)n階矩陣，若存在可逆矩陣Q，使得Q-1AQ=B，則稱矩陣A與矩陣B相似，記作A≈B.1.2 引理引理2[6]設(shè)存在可逆矩陣Q，滿足Q-1AQ=B，μ是A與B的一個(gè)特征值.若β是矩陣B的屬于特征值μ的一個(gè)特征向量，則Qβ

陣的特征值和特征向量是計(jì)算方法中一個(gè)常見的問題.一般常用的方法有乘冪法、反冪法，雅克比法和QR方法[1-2].乘冪法用于求矩陣的模最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量[3]，反冪法用于求矩陣的模最小的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量[4]，雅克比法計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量[5].QR法通常僅用來求一般矩陣的特征值，獲得特征值后采用反冪法來獲得特征向量[6]，一般來說并不直接通過QR法獲得特征向量.但是反冪法存在著其缺陷，它對(duì)輸入的試探向量的值有一定要求，在只進(jìn)行一次

對(duì)于特征值和特征向量這一章節(jié)的教學(xué)，教師首先需要引導(dǎo)學(xué)生親歷矩陣特征值與特征向量意義的探索過程，體驗(yàn)分析歸納得出矩陣特征值和特征向量的存在與性質(zhì)，通過講授與案例結(jié)合的方式發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力.一、特征值和特征向量的定義對(duì)于特征值和特征向量的考查，最簡單的考查形式就是對(duì)定義和計(jì)算的考查.在新課導(dǎo)入階段，教師首先可以提問：對(duì)于線性變換，是否存在平面內(nèi)的直線，使得該直線在這個(gè)線性變換作用下保持不變？是否存在向量，使得該向量在這個(gè)線性變換的作用下具有某種“不變

0)特征值與特征向量是《高等代數(shù)》《線性代數(shù)》《矩陣論》中的兩個(gè)重要概念，目前被廣泛應(yīng)用于動(dòng)力系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘等熱點(diǎn)領(lǐng)域中[1-3]?，F(xiàn)行教材在給出其定義之前缺少引入過程，使得特征值與特征向量的概念抽象難懂，更顯得突兀，導(dǎo)致學(xué)生接受困難[4-11]。本文以2階方陣為例，重點(diǎn)闡述特征值與特征向量的幾何意義。(1)下面從幾何上來研究向量y=(y1,y2)T隨著x=(x1,x2)T變化的軌跡分布。1 矩陣A可逆時(shí)矩陣A可逆，即ad-bc≠0。當(dāng)

到維數(shù)一致的特征向量;針對(duì)10種LIH特征相似度進(jìn)行分析，確定模糊人臉圖像特征相似度信息能量百分比;使用三元空間融合技術(shù)中編碼的方式描述模糊人臉圖像中的特征描述子，基于三元空間融合提取局部特征描述子;通過設(shè)計(jì)對(duì)稱表示相似性度量方法，取得最完整的特征相似度識(shí)別結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以實(shí)現(xiàn)模糊人臉圖像特征相似度精準(zhǔn)識(shí)別，其特征相似度識(shí)別分辨率明顯高于傳統(tǒng)方法。關(guān)鍵詞： 三元空間融合; 模糊人臉圖像特征; 相似度識(shí)別; 特征向量中圖分類號(hào)：TP391? ?

分。特征值與特征向量是線性代數(shù)中極為重要的知識(shí)點(diǎn)，是歷年真題考察的重點(diǎn)內(nèi)容及熱點(diǎn)考察對(duì)象，在復(fù)習(xí)時(shí)更應(yīng)仔細(xì)對(duì)待。對(duì)于這一內(nèi)容的常見題型與解題思路，以下內(nèi)容做了一個(gè)簡單的探討。關(guān)鍵詞：考研數(shù)學(xué);特征值;特征向量特征值與特征向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是線性代數(shù)中乘上啟后的一章，前面是線性方程組的學(xué)習(xí)，后面是與它聯(lián)系密切的二次型的考察，因此特征值與特征向量的綜合性較強(qiáng)，其重要性不言而喻，我們一定要多加重視。此部分內(nèi)容的考察常以大題的形式出現(xiàn)，一般為兩到三小問，注重基礎(chǔ)且有

式、特征值、特征向量、矩陣的秩及其不等式等概念和理論，謹(jǐn)慎使用同一矩陣A的多項(xiàng)式，適合交換律的特殊性和非零冪零矩陣不可對(duì)角化的性質(zhì)，給出了當(dāng)矩陣A零化多項(xiàng)式的次數(shù)分別為2和3時(shí)，方陣A是否可以對(duì)角化的判別方法。這些方法對(duì)于矩陣論的教學(xué)與研究是十分有益的。關(guān)鍵詞：矩陣 ?特征值 ?特征向量 ?矩陣的秩 ?零化多項(xiàng)式 ?對(duì)角化中圖分類號(hào)：0221.4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）03

過《特征值與特征向量》教學(xué)的研究及反思，得到幾點(diǎn)啟示：創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是課堂教學(xué)的核心，恰當(dāng)?shù)厥褂媒虒W(xué)媒體是課堂教學(xué)的保障.[關(guān)鍵詞]特征值;特征向量;教學(xué)實(shí)錄;反思[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）17-0027-02[教材分析]《特征值與特征向量》是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-2《矩陣與變換》的內(nèi)容.利用二階矩陣[M

陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中兩個(gè)重要的概念.本文通過人口遷移問題的引入，采用問題驅(qū)動(dòng)法和啟發(fā)式教學(xué)構(gòu)造出特征值與特征向量的概念，勉勵(lì)學(xué)生努力踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和創(chuàng)造能力;利用研究式和啟發(fā)式的教學(xué)方法推導(dǎo)特征值與特征向量的求法，引導(dǎo)學(xué)生樹立崇高的學(xué)習(xí)志向，建立正確的人生觀，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力;采用啟發(fā)式教學(xué)，將數(shù)學(xué)建模的思想滲透到教學(xué)之中，通過特征值與特征向量在人口遷移問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決

陣的特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計(jì).首先，通過相似矩陣引入了方陣的特征值與特征向量.其次，給出了方陣的特征值與特征向量的具體求法.最后，將思政元素融入教學(xué)內(nèi)容，讓課堂內(nèi)容更加豐富.【關(guān)鍵詞】特征值;特征向量;教學(xué)設(shè)計(jì)1 引 言矩陣是線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)，關(guān)于矩陣的相關(guān)性質(zhì)一直以來也是我們關(guān)注和學(xué)習(xí)的重點(diǎn).方陣的特征值與特征向量是矩陣的重要研究內(nèi)容之一，涉及相似對(duì)角化、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型及正定二次型等問題.本文主要為大家呈現(xiàn)方陣的特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計(jì)，目的

陣的特征值和特征向量，只有在特殊情況下才能解析地求出A（p，q）的所有特征值并將其相似對(duì)角化。最后將相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)果用于計(jì)算有效質(zhì)量隨顆?？傎|(zhì)量的變化關(guān)系，結(jié)果表明格點(diǎn)系統(tǒng)模型可以得到與Janssen模型類似的結(jié)果。關(guān)鍵詞：糧倉效應(yīng);格點(diǎn)模型;三對(duì)角矩陣;特征值;特征向量中圖分類號(hào)：O151，O312? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A顆粒介質(zhì)的靜力學(xué)問題是顆粒物質(zhì)研究中基礎(chǔ)且重要的方面，它與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)（例如，工程中地基的承載能力、砂石骨料的受力結(jié)構(gòu)，材料科學(xué)中顆粒材料

PCA)第一特征向量為診斷橋梁損傷的指標(biāo),數(shù)值計(jì)算表明該方法比小波方法和傅里葉變換方法等有更強(qiáng)的損傷識(shí)別能力;文獻(xiàn)[8]將MPCA方法與4種回歸分析模型相結(jié)合,進(jìn)一步提升了損傷識(shí)別效果;文獻(xiàn)[9]將MPCA方法與機(jī)器學(xué)習(xí)模型結(jié)合來診斷橋梁損傷,損傷識(shí)別結(jié)果表明,以MPCA特征向量為輸入的機(jī)器學(xué)習(xí)模型能有效提升算法的抗噪性,且能克服MPCA方法無法識(shí)別微小損傷的缺點(diǎn)。然而,以MPCA特征向量為輸入的機(jī)器學(xué)習(xí)模型難以識(shí)別早期損傷。本文提出一種基于MPCA的優(yōu)化

頻類型分類的特征向量，并引入機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)中的支持向量機(jī)構(gòu)建體育視頻類型的分類器，最后通過多種體育視頻數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真測(cè)試。結(jié)果表明，機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)克服了當(dāng)前體育視頻類型分類方法存在的弊端，提高了體育視頻類型分類的正確率，體育視頻類型分類誤差要小于比對(duì)方法，獲得了理想的體育視頻類型的分類結(jié)果。關(guān)鍵詞：機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù);運(yùn)動(dòng)視頻;分類效果;特征向量;仿真測(cè)試中圖分類號(hào)：TP 391文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1007-757X（2020）11-0042-03Abstract

文以特征值與特征向量的內(nèi)容為例，設(shè)計(jì)了云翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)流程和實(shí)施路徑，在教學(xué)過程中契合了“金課”建設(shè)的思想，也為2020年防控疫情特殊環(huán)境下“停課不停教”教學(xué)模式提供了參考。[關(guān)鍵詞]云翻轉(zhuǎn)課堂;金課;線性代數(shù);特征值;特征向量[基金項(xiàng)目]2019年度華南農(nóng)業(yè)大學(xué)課程類校級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目“線性代數(shù)”（zlgc19024）[作者簡介]林利云（1980—），女，廣東梅州人，碩士，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院講師，主要從事數(shù)值代數(shù)教學(xué)與研究。[中圖分類號(hào)] G642

陣的特征值與特征向量來判別行星輪系是否同構(gòu)。經(jīng)過實(shí)例驗(yàn)證，相較于之前的判定方法此方法具有高效性、可靠性。Abstract： Isomorphism Identification Of Planetary Gear Trains（PGTS） is a difficult problem to solve. To solve it，now propose a method to identify whether the planetary gear train

差異構(gòu)造故障特征向量，對(duì)子信號(hào)能量占比按頻段進(jìn)行歸類，增加了相同故障類型的相似度和不同故障類型的區(qū)分度。關(guān)鍵詞：發(fā)動(dòng)機(jī);故障;診斷;經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解;能量;特征向量;歸類0? 引言發(fā)動(dòng)機(jī)是各類機(jī)械裝置產(chǎn)生動(dòng)力的源泉，類似于人類的心臟，及早的診斷出發(fā)動(dòng)機(jī)存在的不正常現(xiàn)象并采取有效措施對(duì)提高發(fā)動(dòng)機(jī)的安全性、可靠性，降低維修費(fèi)用和防止突發(fā)事故具有重大的現(xiàn)實(shí)意義[1]。例如在參加國際裝備競(jìng)賽或閱兵活動(dòng)等重大場(chǎng)合前，通過綜合對(duì)多輛裝備進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷，篩選出更接近于無

獻(xiàn)提取的幾何特征向量均以絕對(duì)距離為主，但是不同人的特征點(diǎn)之間的距離變化可能比較大，對(duì)識(shí)別存在一定影響。例如，在驚訝表情中，不同的人張嘴的程度不同，距離變化相差可能比較大，根據(jù)數(shù)據(jù)來看，距離是圖中像素點(diǎn)計(jì)算后的絕對(duì)差值，變化范圍可能比較大。但是，角度則是一定范圍內(nèi)的變化值，變化范圍在0到π之間，相對(duì)絕對(duì)距離來說魯棒性會(huì)更優(yōu)。本文首先在面部特征點(diǎn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出各類表情的相似點(diǎn)和相異點(diǎn)；然后將各個(gè)變化特點(diǎn)對(duì)應(yīng)到特征向量上面去，構(gòu)建角度為主的幾何特征向量，同時(shí)加

普拉斯矩陣的特征向量與特征值之間的關(guān)系。通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了圖拉普拉斯矩陣的特征向量矩陣具有的頻譜特性，重建圖結(jié)構(gòu)、圖分割等優(yōu)美的內(nèi)在特性，為圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步研究提供參考。關(guān)鍵詞：拉普拉斯矩陣;頻譜特性;特征向量;卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);圖結(jié)構(gòu)特性;MATLAB中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-1302（2020）06-00-020 引 言圖拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）也稱為導(dǎo)納矩陣，作為圖的矩陣表示，在工程中應(yīng)用非常廣泛[

矩陣特征值與特征向量的計(jì)算是線性代數(shù)的重要知識(shí)點(diǎn)。文章針對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量問題，介紹利用互逆變換法如何求解此類問題。關(guān)鍵詞：實(shí)對(duì)稱矩陣;特征值;特征向量;互逆變換中圖分類號(hào)：O151.21? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）11-0179-02Abstract： The calculation of matrix eigenvalues and eigenvectors is an import

點(diǎn)的特征根和特征向量，計(jì)算方程為：RN×N×VN×N=VN×N×ΛN×N(3)(4)式中，ΛN×N—特征向量根；λ—特征根。每個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)一個(gè)特征根，這就是正交函數(shù)，對(duì)其空間變化特征分析函數(shù)為：(5)式中，a—正交經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的求解系數(shù)；f(z)—正交經(jīng)驗(yàn)求解函數(shù)值。結(jié)合最小二乘方法原理計(jì)算各變化矩陣對(duì)應(yīng)的方程求解，計(jì)算方程為：A=(VTV)-1V·ΔC(6)式中，A—各階數(shù)對(duì)應(yīng)的正交函數(shù)求解值；ΔC—計(jì)算點(diǎn)之間的特征分析值。2 昆明地區(qū)降水量時(shí)空變化特征分

組、特征值與特征向量、二次型。其中特征值和特征向量理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，不僅可以直接解決數(shù)學(xué)中諸如非線性規(guī)劃、常微分方程以及其他各類數(shù)學(xué)計(jì)算問題，而且在結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程設(shè)計(jì)、計(jì)算物理和量子力學(xué)中都發(fā)揮著重要的作用。在工程計(jì)算中，求解方陣特征值是最普遍的問題之一，如動(dòng)力系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的振動(dòng)問題、電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性分析、工程設(shè)計(jì)中的某臨界值的確定等，都可以歸結(jié)為求解方陣特征值的問題。本文通過借助數(shù)學(xué)軟件Matlab介紹如何計(jì)算特征值和特征向量

夫轉(zhuǎn)移矩陣;特征向量;人工優(yōu)化序列;遺傳算法0 引言隨著科研水平的提高，發(fā)現(xiàn)信號(hào)肽對(duì)于蛋白質(zhì)的定位有著非常重要的作用，使得信號(hào)肽的研究成為各大科研工作者的研究熱點(diǎn)。例如，使用枯草芽孢桿菌進(jìn)行過分泌試驗(yàn)的外源蛋白試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)不同水平分泌表達(dá)，通過構(gòu)建重組質(zhì)粒并轉(zhuǎn)化到枯草芽孢桿菌WB800N中進(jìn)行誘導(dǎo)表達(dá)[1]。此外，宮悅等[2]研究表明影響蛋白質(zhì)分泌水平一般為信號(hào)肽中的幾個(gè)關(guān)鍵氨基酸。陳龍冠等[3]認(rèn)為通過對(duì)信號(hào)肽序列進(jìn)行調(diào)整或重新設(shè)計(jì)可在一定程度上提高外源

一種新的組合特征向量。將該組合特征向量作為訓(xùn)練樣本，最終得到基于支持向量機(jī)的復(fù)雜圖像分割算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他方法相比，基于支持向量機(jī)的方法在版面分割任務(wù)中表現(xiàn)出了較好的召回率與準(zhǔn)確率，能有效區(qū)分復(fù)雜圖像中的各類不同區(qū)域，該方法為如何提高復(fù)雜版面的分割準(zhǔn)確率提供了理論參考。關(guān)鍵詞： 版面分割; 支持向量機(jī); 特征向量; 圖像分割算法; 圖像識(shí)別; 對(duì)比驗(yàn)證中圖分類號(hào)： TN911?34; TP312 ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

陣的特征值和特征向量，同時(shí)展示出特征值和特征向量在二次型問題中的重要研究價(jià)值。關(guān)鍵詞：二次型;正交變換法;特征值;特征向量中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.02.091在工科線性代數(shù)的教學(xué)中，二次型問題作為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用一直是教學(xué)過程中重點(diǎn)和難點(diǎn)，其中利用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型是學(xué)生必須要掌握的核心能力。利用正交化方法化一般二次型為標(biāo)準(zhǔn)二次型關(guān)鍵有四步：3 總結(jié)從上面的分析可以自

利用特征值與特征向量求線性遞推關(guān)系中的通項(xiàng)公式?！娟P(guān)鍵詞】遞推關(guān)系 特征值 特征向量。正文：? ?用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論。設(shè)k階線性循環(huán)數(shù)列{xn}滿足遞推關(guān)系：[xn=a1xn-1+a2xn-2+…+akxn-k，n=k+1，k+2，…]其中[ai（i=1，2，…k）]是常數(shù)，且[ak]≠0。方程組可表示為矩陣形式：則（1）可寫成：由（2）式遞推得[an-k+1=A2an-k-1=…=An-ka1]其中[a1=[xk，xk-1，…x

降算法對(duì)用戶特征向量和項(xiàng)目特征向量進(jìn)行計(jì)算以產(chǎn)生預(yù)測(cè)評(píng)分值，進(jìn)一步提高推薦系統(tǒng)的精準(zhǔn)度。通過實(shí)驗(yàn)將提出的MPMFFT與經(jīng)典的PMF、社交信息的矩陣分解（SocialMF）、社交信息的推薦（SoRec）、加權(quán)社交信息的推薦（RSTE）等模型進(jìn)行了結(jié)果的對(duì)比和分析，在公開的真實(shí)數(shù)據(jù)集Epinions上MPMFFT的平均絕對(duì)誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）比最優(yōu)的RSTE模型分別降低2.9%和1.5%，同時(shí)在公開的真實(shí)數(shù)據(jù)集Ciao上MPMFFT的MAE和

戶興趣分布及特征向量的計(jì)算其與最近聚類中心的軌跡距離，并根據(jù)每個(gè)聚類中心計(jì)算屬于該聚類的數(shù)據(jù)之和，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的累加數(shù)據(jù)和進(jìn)行合并求和，判斷 sum 和是否小于閾值，通過函數(shù)計(jì)算來完成更新聚類中心的操作，直到算法收斂或完成迭代從而輸出聚類中心和聚類結(jié)果。通過實(shí)驗(yàn)證明了該研究算法的可行性和有效性。關(guān)鍵詞：書籍推薦;興趣分布;特征向量;協(xié)同過濾0 引言隨著信息化數(shù)字圖書館時(shí)代的來臨，對(duì)于圖書館書籍的管理研究工作更加側(cè)重于新技術(shù)應(yīng)用和開發(fā)上。目前，世界上針對(duì)于書籍

B;特征值;特征向量;幾何意義中圖分類號(hào)：TP3? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044（2019）20-0114-02開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：線性代數(shù)是大學(xué)理工科學(xué)生所必備的基礎(chǔ)知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)工具，它一方面是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)，另一方面，由于線性代數(shù)的高度抽象性，它又是讓學(xué)生望而生畏的枯燥課程。因此，作為教師，如何改進(jìn)新的教學(xué)手段，引進(jìn)新的教學(xué)方法，采取更加合理的教學(xué)模式，幫助學(xué)生更好地理解線性代數(shù)課程的理論知識(shí)，

要：特征值和特征向量問題是線性代數(shù)課程中的一個(gè)重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。為了讓學(xué)生了解科學(xué)前沿問題并提高學(xué)習(xí)興趣，在講授矩陣特征值與特征向量的概念、計(jì)算方法和幾何意義時(shí)，引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的排序和同步問題，舉例說明特征值和特征向量在其中的應(yīng)用，以此將網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的研究問題滲透到線性代數(shù)的教學(xué)中。關(guān)鍵詞：線性代數(shù);特征值;特征向量;復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);PageRank算法中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2019）05-0059-03 Abs

能量，并構(gòu)造特征向量，然后使用決策樹策略對(duì)滾子鏈的狀態(tài)進(jìn)行判斷。實(shí)驗(yàn)表明，通過小波包分解和決策樹相結(jié)合的檢測(cè)方法能夠很好地識(shí)別滾子鏈的磨損狀態(tài)。關(guān)鍵詞：狀態(tài)識(shí)別;小波包;特征向量;決策樹;滾子鏈中圖分類號(hào)：TN911 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2019）13-0015-03Research on Roller Chain State Detection Based onWavelet Packet Decomposition

層次結(jié)構(gòu)圖;特征向量;矩陣中圖分類號(hào)：U461文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A0 引言隨著企業(yè)的壯大，企業(yè)的業(yè)務(wù)發(fā)展會(huì)快于IT應(yīng)用系統(tǒng)的建設(shè)速度，業(yè)務(wù)應(yīng)用系統(tǒng)的建設(shè)和發(fā)展都是業(yè)務(wù)驅(qū)動(dòng)型，各業(yè)務(wù)依據(jù)當(dāng)時(shí)的業(yè)務(wù)需要單獨(dú)建設(shè)業(yè)務(wù)系統(tǒng)并自帶數(shù)據(jù)庫。由于組織結(jié)構(gòu)層面的原因，業(yè)務(wù)系統(tǒng)建設(shè)不是由公司整體規(guī)劃，各業(yè)務(wù)應(yīng)用按業(yè)務(wù)需求單獨(dú)構(gòu)建自己的應(yīng)用系統(tǒng)，這會(huì)導(dǎo)致應(yīng)用系統(tǒng)功能重復(fù)、數(shù)據(jù)重復(fù)、交互信息不一致，甚至有可能相互矛盾等問題[1-3]。從而導(dǎo)致數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性差，各業(yè)務(wù)應(yīng)用系統(tǒng)之間無法實(shí)現(xiàn)數(shù)

從而根據(jù)兩個(gè)特征向量的相似度求出兩個(gè)音頻信號(hào)的相似性。關(guān)鍵詞：短時(shí)傅里葉變換;瞬時(shí)頻率估計(jì);特征向量;向量相似度;MATLAB仿真引言現(xiàn)如今，與音頻信號(hào)比對(duì)相關(guān)的信號(hào)處理方法數(shù)不勝數(shù)，英語打分軟件，K歌打分軟件都用到了語音比對(duì)原理，本文將最大幅度、瞬時(shí)頻率作為相似性原理估計(jì)的兩個(gè)特征值，從而完成語音比對(duì)任務(wù)。傅里葉變換方法作為一種全局的線性處理方法【2】，反映了信號(hào)在整段時(shí)間內(nèi)的頻譜信息，只適用于平穩(wěn)信號(hào)的精確分析，無法滿足頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)的

要：特征值和特征向量具有良好的性質(zhì)，是線性代數(shù)中的重要概念之一，也是矩陣論中研究的重要問題，在其他領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。多元統(tǒng)計(jì)分析是研究多個(gè)隨機(jī)變量之間相互關(guān)系和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)學(xué)分支，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位?？偨Y(jié)7特征值和特征向量在主成分分析等多元統(tǒng)計(jì)分析方法中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：特征值 特征向量 多元統(tǒng)計(jì)分析特征值和特征向量在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要的地位和作用，概念提出于高等代數(shù)，在矩陣論中具有廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。1 特征值與特

引入特征值與特征向量的應(yīng)用。探索解決實(shí)際問題的思路，引導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型的方法，并對(duì)特征值與特征向量的求解進(jìn)行了回顧及演練，提出更多的求解思路，擴(kuò)展學(xué)生的思維，以達(dá)到對(duì)學(xué)生計(jì)算思維的訓(xùn)練及創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目的?！娟P(guān)鍵詞】特征值;特征向量;計(jì)算思維中圖分類號(hào)： C81 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）20-0101-002DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.20.0470 引言特征值及特征向量是

式，從而降低特征向量對(duì)于微表情的表達(dá)能力，進(jìn)而影響識(shí)別效果。針對(duì)這個(gè)問題，提出使用局部區(qū)域方法進(jìn)行微表情識(shí)別。首先，根據(jù)微表情發(fā)生時(shí)所牽涉到的動(dòng)作單元（AU）所在區(qū)域，通過面部關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)將與微表情相關(guān)的七個(gè)局部區(qū)域劃分出來;然后，提取這些局部區(qū)域組合的時(shí)空模式并串聯(lián)構(gòu)成特征向量，進(jìn)行微表情識(shí)別。留一交叉驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明局部區(qū)域方法較全局區(qū)域方法進(jìn)行微表情識(shí)別的識(shí)別率平均提高9.878%。而通過對(duì)各區(qū)域識(shí)別結(jié)果的混淆矩陣進(jìn)行分析表明所提方法充分利用了面部各

;數(shù)據(jù)挖掘;特征向量一、引言隨著互聯(lián)網(wǎng)通信與多媒體技術(shù)的發(fā)展，新媒體短視頻的播放量持續(xù)增長。截止2018年，愛奇藝、騰訊視頻、抖音短視頻等客戶端的視頻總量達(dá)到了7000萬，月度活躍用戶更是高達(dá)2億，每天有接近10億的視頻播放量。面對(duì)如此海量的新媒體短視頻，傳統(tǒng)的協(xié)同過濾算法難以采取常規(guī)的手段來實(shí)現(xiàn)新媒體短視頻的內(nèi)容特征提取，也就無法對(duì)新媒體短視頻內(nèi)容的進(jìn)行準(zhǔn)確推薦。同時(shí)，深度學(xué)習(xí)在自然語言處理、圖像處理和語音處理等領(lǐng)域取得了技術(shù)性突破，新媒體短視頻推薦技術(shù)

于求解矩陣的特征向量，常規(guī)方法為解方程組（λE-A）x=0，而不同的學(xué)者對(duì)于這類問題提出了自己的見解。文獻(xiàn)[3]中，通過對(duì)給定矩陣的多項(xiàng)式函數(shù)和種子向量進(jìn)行分析，直接求得矩陣的特征向量。文獻(xiàn)[4]中，通過對(duì)特征矩陣進(jìn)行初等變換,給出了矩陣的特征根和特征向量的同步求法。本文則采用行列式的方法求解一類三階矩陣的特征向量。一、相關(guān)定理定理1 若λ1≠λ2≠λ3，則先求矩陣A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=α 的一個(gè)特征向量，則對(duì)于λ2=β，λ3=γ 對(duì)應(yīng)的特征向量求法類似

求其特征值和特征向量，且特征值和特征向量具有一些很好的性質(zhì)。但反過來，若已知某方陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，如何求出原矩陣呢？這類問題，我們稱之為矩陣反問題[1-3]。主要根據(jù)特征值的某些特點(diǎn)，給出一種反求矩陣的具體方法，并舉例驗(yàn)證。1 n階方陣有n個(gè)不同的特征值定理1若n階方陣A有n個(gè)互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn，與其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,…,αn，則存在可逆矩陣P，使得方陣A=PΛP-1，證明由矩陣特征值的性質(zhì)知，屬于不同特征值的特征

分析通過利用特征向量與特征值能夠有效描述飛機(jī)的響應(yīng)。所以，假如能夠?qū)︼w機(jī)的特征結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效改變，便能夠?qū)︼w行控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行有效改善。到目前為止，關(guān)于飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，具有很多不同的配置特征結(jié)構(gòu)配置法，不過這些方法在作用、本質(zhì)上的差別并不大，在設(shè)計(jì)過程中，均要求需要對(duì)特征向量集、特征值進(jìn)行有效確定，同時(shí)對(duì)比例增益控制器進(jìn)行構(gòu)建。1.1 期望特征結(jié)構(gòu)的有效配置對(duì)于設(shè)計(jì)人員來說，假如能夠?qū)π枰囊唤M閉環(huán)特征值進(jìn)行有效選定，便可以將期望特征向量的特定元視為

4)特征值與特征向量是《線性代數(shù)》中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-8].“特征”一詞來自德語的eigen，翻譯為“自身的”“有特征的”“特定于……的”，強(qiáng)調(diào)了特征值與特征向量對(duì)特定矩陣的重要性. 由于特征值與特征向量涉及的概念、定理較為抽象，在一定程度上阻礙了學(xué)生對(duì)其理解與認(rèn)識(shí). 如果在特征值與特征向量教學(xué)中，融入幾何直觀并通過實(shí)際生活中的具體例子闡明特征值與特征向量的作用，將在一定程度上調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使其更好地掌握特征值與特征向量

陣的特征值與特征向量.求二階矩陣的特征向量很容易，但從不同的視角去剖析其由來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)賦予人們多維度的思維方式.本文對(duì)一類特殊的二階矩陣進(jìn)行研究，根據(jù)其特殊性構(gòu)造出相應(yīng)的特征向量，相比傳統(tǒng)的方法更加簡便快捷.1 相關(guān)定理(1)若λ1≠λ2，由于特征向量為非零向量，故可以分以下四種情況：A為對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)特征向量：① 若λ1≠a11，或a12≠0,則A對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)特征向量為(1)② 若λ1≠a22，或a21≠0，則A對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)

統(tǒng)的極點(diǎn)、右特征向量和左特征向量獲得[5]：極點(diǎn)包含了振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼信息；右特征向量即為模態(tài)振型，振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)由各階模態(tài)振型疊加而成；左特征向量則代表了系統(tǒng)抵抗外部激勵(lì)的能力，即模態(tài)被激勵(lì)的能力，當(dāng)左特征向量與激勵(lì)力向量正交時(shí)，與該階左特征向量對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)就不會(huì)被激發(fā)出來。因此，通過對(duì)左特征向量的配置可以實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主動(dòng)控制。Choi等[6]采用最小二乘法將閉環(huán)系統(tǒng)的左特征向量配置成與激勵(lì)力向量正交且與控制力平行的形式，在較小的能量消耗下

化特征元素、特征向量和情景矩陣的推理相似度計(jì)算方法。旨在為滅火救援專家系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和構(gòu)建提供參考，進(jìn)而提升滅火救援戰(zhàn)例的匹配效率和利用率。滅火救援；數(shù)字化戰(zhàn)例；情景矩陣；相似度0　引言在滅火救援專家系統(tǒng)中，“推理”是實(shí)現(xiàn)問題求解的過程，是整個(gè)系統(tǒng)的核心之一，相似度的計(jì)算是推理過程的關(guān)鍵。相似度計(jì)算的準(zhǔn)確與否，取決于兩個(gè)至關(guān)重要的因素：一是滅火救援戰(zhàn)例的表達(dá)方法；二是相似度的計(jì)算方法。傳統(tǒng)的滅火救援戰(zhàn)例是以整個(gè)案例的形式，用文字描述的方法進(jìn)行表達(dá)。這種表達(dá)方法

特征值對(duì)應(yīng)的特征向量(為方便，將這些特征向量分別稱為第i(i=1，2，…，n)特征向量)。矩陣特征值分解主要有兩大類方法:一類是矩陣變換方法，如Jacobi 方 法［3］;另 一 類 是 向 量 迭 代 法，如 乘 冪法［4－5］、子空間迭代法［6］。Jacobi 方法通常得到矩陣的全部特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量，而乘冪法是求解半正定Hermitian 矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)特征向量的一種經(jīng)典方法。文獻(xiàn)［5，8］進(jìn)一步指出將乘冪法與壓縮法相結(jié)合可逐個(gè)求出半正定He

于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì)，在文獻(xiàn)［1～3］中都有討論.文獻(xiàn)［4］給出了平面上線性變換的特征向量的幾何意義.對(duì)于空間中線性變換的特征向量的幾何意義還沒有人具體研究過，本文給出了它們的幾何意義，對(duì)特征向量有了直觀的認(rèn)識(shí).1 空間R3 中非對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義其中：x＝（x1，x2，x3）∈R3；∈R3.R3中的元素（x1，x2，x3）也是空間中某點(diǎn)的坐標(biāo)，因此稱R3是空間.設(shè)F：R3→R3是空間R3中的線性變換，即其中：x，x

上正交變換的特征向量的幾何意義*紀(jì)永強(qiáng)(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州 313000）利用代數(shù)方法給出了平面上正交變換的特征向量的幾何意義,即研究了平面R2上的旋轉(zhuǎn)變換(正交變換）,它無對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量.同時(shí)研究了經(jīng)過原點(diǎn)的直線的反射變換(正交變換）的特征向量就是該直線的法矢量和該直線的方向矢量,并且它們是互相垂直的.特征向量;矩陣;正交變換關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì),在文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]中都有討論,文獻(xiàn)[4]給出了平面上線性變換的特征向

于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì)，在文獻(xiàn)［1］、［2］、［3］中都有討論，但對(duì)于平面上線性變換的特征向量的幾何意義還沒有人具體地研究過.本文給出平面上線性變換的特征向量的幾何意義，提高對(duì)特征向量的直觀認(rèn)識(shí).1 平面R2 上由非對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義設(shè)R2＝｛x＝（x1，x2）｜x1，x2∈R｝，則R2是二維向量空間，向量x與向量的和及向量x與數(shù)a的乘法是：其 中：x＝（x1，x2）∈R2.R2中的元素（x1，x2）也是平面上某點(diǎn)的坐

，都沒有提到特征向量的配置。其中文獻(xiàn)[4]利用狀態(tài)反饋控制中特征向量的配置存在自由度，以特征向量矩陣的條件數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，從而獲得較小的特征向量矩陣的條件數(shù)。文獻(xiàn)[7]提出了按照單秩和雙秩的方法對(duì)特征向量進(jìn)行配置。文獻(xiàn)[8]提出將特征值和特征向量配置成解耦的方法。本文將進(jìn)一步從線性連續(xù)定常系統(tǒng)的響應(yīng)和反饋控制矩陣Frobenius范數(shù)兩方面入手，深入分析特征向量矩陣的條件數(shù)對(duì)狀態(tài)反饋控制的重要影響。1 預(yù)備

個(gè)線性無關(guān)的特征向量,對(duì)實(shí)對(duì)稱陣進(jìn)一步有如下定理[1]:定理1 實(shí)對(duì)稱陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的且是正交的.定理2 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣,λ1,λ2,…,λr是矩陣A的全部互異特征值,λi的重?cái)?shù)為,且齊次線性方程組(λiE-A)x=0一定有ki個(gè)彼此正交的解向量.定理3 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣,則存在正交矩陣Q使得其中 λ1,λ2,…,λn是 A的特征值,Q的列向量組 e1,e2,…,en是分別對(duì)應(yīng)于λ1,λ2,…,λn的A的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量組

A的特征值與特征向量，所講授的方法是通過求解矩陣A的特征方程|λE-A|=0與相應(yīng)的齊次線性方程組(λiE-A)X=0來實(shí)現(xiàn)的。這里給出了利用矩陣多項(xiàng)式和種子向量來求解的另一種方法。命題1A是一個(gè)n階矩陣，u∈Rn且u≠0，設(shè)k是使u,Au,A2u,…Aku線性相關(guān)的最小正整數(shù)，則存在k次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，若λ0是其一個(gè)根，那么f(x)=(x-λ0)q(x)，這時(shí)q(A)u就是矩陣A的屬于特征值λ0的特征向量。(u稱為種子向量，Au,A2u,…Aku稱

析,這在討論特征向量的一階、二階導(dǎo)數(shù)及狀態(tài)方程的解耦等問題時(shí),具有很高的理論和應(yīng)用價(jià)值,可以為系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別、模型修正[4]及損傷識(shí)別[5]等工程應(yīng)用提供保障。如今狀態(tài)空間理論在應(yīng)用過程中得到發(fā)展和完善,究其原因首先是由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),因此比傳統(tǒng)的方法更為優(yōu)越,特別是對(duì)于多激勵(lì)輸入輸出系統(tǒng),狀態(tài)空間具有明顯的優(yōu)勢(shì),其次狀態(tài)方程描述一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程,不論系統(tǒng)多復(fù)雜,狀態(tài)空間的描述總是具有統(tǒng)一簡潔的形式,并可用多種分析技術(shù)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

陣、特征值及特征向量等，作為矩陣的一個(gè)應(yīng)用，本文介紹用矩陣方法來求一類數(shù)列的通項(xiàng)，下面以一道高考題為例來作出證明.2007年遼寧卷第20題：已知數(shù)列{a璶},{b璶}滿足：a1=2,b1=1，且a璶=34a﹏-1+14b﹏-1+1,b璶=14a﹏-1+34b﹏-1+1,(n≥2)，求{a璶},{b璶}的通項(xiàng).解：不妨設(shè)x0=11,A=34,1414,34，則有a璶b璶=Aa﹏-1b﹏-1+x0=AAa﹏-2b﹏-2+x0+x0=A2a﹏-2b﹏-2+Ax0