方彪

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅能夠提高課堂教學(xué)效益，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且有利于人才的培養(yǎng)，有利于學(xué)生素質(zhì)的提高，是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)重要內(nèi)容。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 分類思想 滲透數(shù)學(xué)思想

如何在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行思想方法的提煉和滲透，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的提高、學(xué)生能力的形成就顯得尤為重要。其中要引起關(guān)注的思想方法有函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)型結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想都是中學(xué)最基本的思想方法。

一、數(shù)學(xué)分類討論思想在中考中地位分析

中考對分類討論思想的重視，雖然中考重視，教師和學(xué)生必然也重視，但是由于涉及要分類討論的問題一般都具有比較強(qiáng)的邏輯性、綜合性、探索性，對解題能力的要求極高，大部分學(xué)生往往難以入手，得分率低，歷來是教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的雙重難關(guān)，也是考生在考試中的嚴(yán)重失分點(diǎn)。下面我們就來看幾道學(xué)生習(xí)作中有關(guān)分類討論問題的錯(cuò)解。

例1：已知O是△ABC的外心，且∠BOC=100°，求∠A的度數(shù)。

學(xué)生錯(cuò)解：如圖，∠BOC=100°，則∠A=50°。

正確：當(dāng)A在AB上，∠A= ∠COB =50°；當(dāng)A在BC上時(shí)，∠A=180°-50°=130°。

失誤原因：未考慮A的不同位置。

從以上錯(cuò)解中，我們不難發(fā)現(xiàn)，即使很多學(xué)生已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)要分類討論，但審題不慎而對條件或結(jié)論具有的多向性根本沒有預(yù)見性。遇到這類問題在進(jìn)行分類討論時(shí)，應(yīng)該弄清楚這些問題為何要分類，引起分類討論的因素是什么，這是重中之重，本論文下面就引起分類討論的因素作了粗略的分析總結(jié)。

二、分析引起分類討論的因素

中學(xué)數(shù)學(xué)中與分類討論有關(guān)的數(shù)學(xué)問題有絕對值概念的定義；根式的性質(zhì)；一元二次方程根的判別式與根的情況；二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)與拋物線開口方向；反比例函數(shù)y= 的反比例系數(shù)k，正比例函數(shù)y=kx的比例系數(shù)k，一次函數(shù)y=kx+b的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；冪函數(shù)y=xn的冪指數(shù)n的正、負(fù)與定義域、單調(diào)性、奇偶性的關(guān)系這些問題引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：

1.運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的

如一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況的研究，規(guī)定△=b2-4ac （稱為根的判別式），當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，這也是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想來研究根的情況。

因此，既然數(shù)學(xué)中的不少公式、法則、性質(zhì)或定理是分類給出的，那我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，就應(yīng)該注意這些公式、法則、性質(zhì)或定理在進(jìn)行分類時(shí)所遵行的原則，便于解題時(shí)靈活運(yùn)用。

2.解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論

數(shù)學(xué)問題中含有字母系數(shù)也就是所謂的參數(shù)，而這些參數(shù)的不同取值直接會(huì)導(dǎo)致問題有不同的結(jié)果。因此，在解答含有參數(shù)問題時(shí)就需要對問題中的參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論研究，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的完美解決。如如已知一次函數(shù)y=5x+b不經(jīng)過第四象限，求b的取值范圍，需考慮b>0及b=0兩種情況，缺一不可。

已知函數(shù)y=ax2-ax+3x+1的圖像與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值，在這一問題中，當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)函數(shù)圖像是直線y=3x+1，它與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以a=0符合條件要求；當(dāng)a≠0時(shí)，此時(shí)函數(shù)圖像是拋物線，通過研究判別式△=0，求得a=1或9也符合要求，所以本題中a的取值應(yīng)是0或1或9。

上面列出了在中學(xué)數(shù)學(xué)中需要進(jìn)行分類討論求解的數(shù)學(xué)問題，它們占了中學(xué)數(shù)學(xué)相當(dāng)大的比例。

三、總結(jié)解題方法、步驟及注意事項(xiàng)

本文較全面地、系統(tǒng)地揭示了解決分類討論問題的關(guān)鍵是明確分類的動(dòng)機(jī)，找出分類的對策，即怎樣分類。分類討論的解題方法步驟一般是：（1）確定討論的對象，以及被討論對象的全體；（2）合理分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不遺漏，不重復(fù)，分清層次，不能越級討論；（3）逐類（或逐段）討論，獲取階段性結(jié)果；（4）歸納總結(jié)，綜合出個(gè)問題的結(jié)，結(jié)論的歸納主要有并列、并集、交集這三種形式。

注意事項(xiàng)：（1）不重（即分類的區(qū)間的交集為空集）；（2）不漏（即分類的子空間的并集為參數(shù)總的取值范圍）；（3）在同一級討論中，只能安照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，而且劃分后答案是確定的；（4）多級劃分應(yīng)逐級討論，而不能越級。

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（作者單位：浙江省麗水市青田縣章旦中學(xué)教育集團(tuán)）