戚華虹

[摘 要] 勾股定理是初中生必須學(xué)習(xí)的知識(shí). 勾股定理是一種計(jì)算特殊的三角形（直角三角形）邊長(zhǎng)、面積的方法，可以說(shuō)，只要探討直角三角形，人們就要探討勾股定理. 本文研究了初中數(shù)學(xué)教師優(yōu)化勾股定理教學(xué)的方法.

[關(guān)鍵詞] 勾股定理；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

勾股定理也可以視為一種特殊的三角函數(shù)，而三角函數(shù)與幾何問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題都有密切的關(guān)系，教師可以通過(guò)優(yōu)化勾股定理教學(xué)，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的數(shù)學(xué)知識(shí)做好準(zhǔn)備.

勾股定理在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

方面的應(yīng)用

學(xué)生的好奇心強(qiáng)，他們對(duì)未知的東西容易產(chǎn)生興趣，容易對(duì)游戲產(chǎn)生興趣. 勾股定理是最有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家還在探索勾股定理的奧妙和證法. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生了解勾股定理的奧妙，通過(guò)探索勾股定理讓他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣. 下面以教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)題1和習(xí)題2為例.

習(xí)題1 如圖1，這是一棵勾股樹，如果圖1中正方形A，B，C，D的面積為3，5，2，3，試求正方形樹干E的面積.

解答 因?yàn)檎叫蜦的面積=S+S=3+5=8，正方形G的面積=S+S=2+3=5，所以正方形E的面積=S+S=13.

圖1繪制的是勾股樹，學(xué)生如果學(xué)過(guò)勾股定理，便能很快應(yīng)用勾股定理求出答案. 然而教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考為什么勾股樹可以這樣證明，能不能提出勾股樹的證明方法. 學(xué)生如果要求出勾股樹的計(jì)算方法，就必須求證勾股定理. 當(dāng)前勾股定理的證明方法已經(jīng)超過(guò)了100種，教師可以從勾股定理引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)變化的樂(lè)趣.

習(xí)題2 圖2是趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形及中間的小正方形構(gòu)成. 直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2和4. 現(xiàn)在，如果把這幅趙爽弦圖當(dāng)作飛鏢板，人們一鏢飛到中間小正方形的概率是多大？

解答 應(yīng)用勾股定理可得大正方形的邊長(zhǎng)為2. 依圖形相似的定理可知小正方形與大正方形的面積比為1 ∶ 5，即可知投擲到小正方形的概率為.

對(duì)于習(xí)題2，教師可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，問(wèn)問(wèn)學(xué)生習(xí)題2像不像七巧板拼出來(lái)的圖，然后可以引導(dǎo)學(xué)生依題意制作硬紙板拼圖，讓學(xué)生在拼接、實(shí)踐的過(guò)程中找到更多計(jì)算習(xí)題2的辦法. 學(xué)生在拼接中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，能發(fā)掘出更多的數(shù)學(xué)奧秘，找到更多計(jì)算或求證的方法.

數(shù)學(xué)知識(shí)非常奧妙，它涉及具體的數(shù)字、抽象的公式、奧妙的圖形，教師如果能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)變化的奧妙，學(xué)生就會(huì)更想了解數(shù)學(xué)知識(shí). 勾股定理是一種非常奇妙的知識(shí)，它吸引著無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家去探索，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生去探索，在探索中培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感.

勾股定理在培養(yǎng)學(xué)生思維水平

中的應(yīng)用

學(xué)生如果具有較高的思維水平，就能學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí). 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要的思維能力包括發(fā)散思維能力、邏輯思維能力、空間想象能力等. 勾股定理是一種與多種數(shù)學(xué)知識(shí)有直接關(guān)系的知識(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以勾股定理為核心，全面培養(yǎng)學(xué)生的思維水平，提高學(xué)生的思維能力. 下面以習(xí)題3為例.

習(xí)題3 如圖3，已知圓O與坐標(biāo)軸交于A（1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)O的縱坐標(biāo)為，求圓O的半徑.

解答 過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，于是有AC=BC. 由A（1，0），B（5，0）這兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知AB=4，于是可得AC=2. 在Rt△AOC中，因?yàn)辄c(diǎn)O的縱坐標(biāo)為，所以O(shè)C=. 于是可得圓O的半徑OA===3.

部分學(xué)生看到習(xí)題3的解題步驟，覺(jué)得這一解法很神奇. 很多學(xué)生表示，假如我不會(huì)做習(xí)題3，那么怎么才會(huì)知道過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：假如從處理幾何的問(wèn)題來(lái)看，一般幾何問(wèn)題要求的就是邊和角問(wèn)題. 假如學(xué)生能把幾何問(wèn)題變成勾股問(wèn)題，學(xué)生是不是能夠結(jié)合勾股定理這一幾何圖形的計(jì)算公式計(jì)算出邊和角的問(wèn)題？如果學(xué)生能明白幾何圖形的計(jì)算目的，并能以計(jì)算為方向應(yīng)用勾股定理，學(xué)生就會(huì)理解作這一輔助線的原理. 教師可應(yīng)用勾股定理培養(yǎng)學(xué)生以下思維能力：第一，可以引導(dǎo)學(xué)生從習(xí)題3出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力. 教師可以讓學(xué)生看到，不是只有遇到了直角三角形，才應(yīng)想到應(yīng)用勾股定理，而是遇到了計(jì)算有關(guān)邊長(zhǎng)與角的問(wèn)題，就該思考能不能把數(shù)學(xué)問(wèn)題變成勾股定理來(lái)解決. 第二，可以應(yīng)用勾股定理培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，如習(xí)題3中，雖然這一道題似乎沒(méi)有涉及勾股定理，但學(xué)生只要添上一條輔助線，就可以把它變成直角三角形問(wèn)題，應(yīng)用勾股定理來(lái)解決. 第三，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力. 當(dāng)學(xué)生應(yīng)用輔助線，把圓的問(wèn)題變成勾股定理問(wèn)題以后，學(xué)生必須通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碛?jì)算過(guò)程，才能得到正確的答案，學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中，不能隨便創(chuàng)造已知條件，更不能主觀臆斷地獲得數(shù)學(xué)答案.

勾股定理是一種非常實(shí)用的數(shù)學(xué)定理，它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)知識(shí)中. 教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理，從而全面培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生能夠從更宏觀的角度、更廣闊的幾何空間、更龐大的數(shù)學(xué)體系中理解數(shù)學(xué)知識(shí).

勾股定理在培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力

中的應(yīng)用

學(xué)生應(yīng)該把數(shù)學(xué)知識(shí)融入生活，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)優(yōu)化生活. 提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，是新課改提出的教學(xué)目的之一. 勾股定理是一種非常實(shí)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)勾股定理問(wèn)題，應(yīng)用勾股定理來(lái)解釋及解決生活問(wèn)題. 下面以習(xí)題4為例.

習(xí)題4 有一個(gè)長(zhǎng)3米的梯子AB，斜靠在一豎直墻AO上，此時(shí)AO的距離為2.5米. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B是向外滑了0.5米嗎？

解答 可依題意畫出示意圖4，在Rt△OAB中，OB2=AB2-AO2，于是可得OB=≈1.658. 同理，在Rt△OCD中，應(yīng)用勾股定理可得OD=≈2.236. 于是可求得BD=OD-OB≈0.578. 于是可知，實(shí)際上點(diǎn)B外移了約0.578米.

部分同學(xué)在做這道習(xí)題時(shí)很少去思考?jí)Ρ?、墻角中還存在勾股定理的知識(shí)，但通過(guò)這道習(xí)題，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)生活中處處都有勾股定理的影子. 通過(guò)這次學(xué)習(xí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了勾股定理應(yīng)用的原理——通過(guò)計(jì)算三角形的邊是否滿足勾股定理，從而了解角度的正確性. 依此原理，如果學(xué)生要在生活中釘一個(gè)椅子角，想了解椅子角是不是90°，便可以應(yīng)用勾股定理來(lái)驗(yàn)證及矯正. 如果要了解一面墻的角度對(duì)不對(duì)，也可以應(yīng)用同樣的方法來(lái)矯正.

習(xí)題5 有一塊直角三角形綠地，現(xiàn)已知兩直角邊的長(zhǎng)分別為6米和8米，現(xiàn)要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，并且擴(kuò)充部分是以8米為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形的周長(zhǎng)是多少.

剛開始，學(xué)生認(rèn)為直角三角形改造成等腰三角形綠地的方法只有一種，圖5是同學(xué)們提出最多的一種改造方法. 然而，也有部分學(xué)生提出了圖6和圖7的改造方法. 同學(xué)們總結(jié)了這三種改造方法后，計(jì)算出了三種改造后綠地的周長(zhǎng).

解答 由條件知AC=8，BC=6，在Rt△ABC中容易求得斜邊AB=10. 如圖5，現(xiàn)讓AB=AD=10，那么可知CD=CB=6，于是△ABD的周長(zhǎng)為32米. 如圖6，現(xiàn)讓BD=AB=10，那么可得CD=4，由勾股定理可得AD=4，從而可得△ABD的周長(zhǎng)為（20+4）米. 如圖7，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD=BD=x，那么可得CD=x-6，由勾股定理可得x=，于是可得△ABD的周長(zhǎng)為米.

在這次實(shí)踐中，學(xué)生了解了在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不能主觀臆斷，不能應(yīng)用錯(cuò)誤的思維創(chuàng)造已知條件或限制已知條件，而要全面理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，客觀地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

當(dāng)然，學(xué)生在生活中應(yīng)用勾股定理的范圍不止于此，教師還可以應(yīng)用其他教學(xué)方法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多勾股定理的應(yīng)用方法. 比如，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理來(lái)計(jì)算高坡的海拔、窗口的高度、旗桿的長(zhǎng)度等，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)勾股定理的應(yīng)用方法. 當(dāng)學(xué)生在生活中應(yīng)用大量勾股定理的知識(shí)以后，便會(huì)以勾股定理的知識(shí)為范例，思考其他數(shù)學(xué)知識(shí)能不能也應(yīng)用在生活中，從而慢慢找到其他數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用案例.

學(xué)生在實(shí)踐中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些生活中不曾想過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)遇到在數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)中不曾預(yù)知的學(xué)習(xí)障礙. 學(xué)生在實(shí)踐中可以一邊吸收理論知識(shí)，一邊應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)踐克服各種學(xué)習(xí)難題. 教師可以應(yīng)用勾股定理的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行各種數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).

總結(jié)

勾股定理可以視為一種特殊的三角函數(shù)知識(shí)，它是學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形邊、角問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ). 教師可以在勾股定理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生的思維水平，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力，為學(xué)生學(xué)好后續(xù)的數(shù)學(xué)知識(shí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).