陳琪

[摘 要] 化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它的使用可以讓復(fù)雜問題簡單化，讓陌生問題熟悉化，讓一般問題特殊化，讓抽象問題具體化. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意化歸思想的滲透教育，本文結(jié)合教學(xué)實踐，分析了化歸思想在初中數(shù)學(xué)中的常見應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；化歸思想；常見應(yīng)用

化歸思想廣泛地出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和一般問題之中. 教學(xué)中教師有意識地滲透這一思想，引導(dǎo)學(xué)生對其進行理解和感受，能有效提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的思維能力和問題解決能力，為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ).

將陌生問題化歸為熟悉問題

初中生在處理數(shù)學(xué)問題時找不到相應(yīng)的解題途徑，往往是因為問題對他們來講太過陌生. 面對此種情形，可以設(shè)法將問題化歸為比較熟悉的問題，這樣他們就可以用自己掌握得最為扎實的知識和方法對其進行處理. 比如含有多個未知數(shù)的方程組，我們可以采用代入法或加減法對其進行消元處理，進而將其轉(zhuǎn)化為一元方程來進行求解；還有將單項式的乘除法運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘除法與同底數(shù)冪乘除法運算、將多項式與單項式的乘除法轉(zhuǎn)化為單項式的乘除法等. 這樣的處理手段符合人類認(rèn)知的一般規(guī)律，是對學(xué)生遷移思維的訓(xùn)練和發(fā)展，有助于學(xué)生對已有的認(rèn)知進行深度理解和應(yīng)用.

例1 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD，BC為其上下兩底，AB=CD，兩條對角線AC和BD相互垂直，并相交于O點，已知上底AD長為3，下底BC長為5，求對角線AC的長度.

分析 在處理梯形的有關(guān)問題時，我們往往要構(gòu)建輔助線，例如將腰或?qū)蔷€進行平移，或是延長兩條腰等，由此構(gòu)建三角形或是平行四邊形，將原問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的三角形或平行四邊形問題來進行解決. 這是一個基本思路，而在具體操作中還要結(jié)合問題的具體特點來選擇合適的方法. 本題中有一個重要條件：兩對角線相互垂直，這很容易讓人想起直角三角形中特殊的邊長關(guān)系，是否可以這樣來實施化歸呢？進一步研究發(fā)現(xiàn)，我們可以將對角線AC平移到右側(cè)，即如圖1所示，過D點畫出AC的平行線，與BC的延長線交于E點，這就構(gòu)成了一個等腰直角三角形，這樣我們就可以運用三角形的知識對問題進行處理.

在運用化歸思想來處理問題時，教師要指導(dǎo)學(xué)生找到恰當(dāng)?shù)幕瘹w目標(biāo)，這樣才能有助于降低問題處理的難度. 如果盲目地構(gòu)建輔助線，隨意地對問題進行變化，只會讓問題更加復(fù)雜. 比如在對本題的處理中，如果是添加高或是將AC分解成OA與OC的和來計算答案，就使得問題的處理更加復(fù)雜.

將復(fù)雜問題化歸為簡單問題

將復(fù)雜問題進行簡單化處理也是數(shù)學(xué)問題處理的常見做法. 在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過觀察和研究，一個復(fù)雜而繁難的問題往往可以化歸為若干個較為簡單的問題，這種化整為零的方法易于學(xué)生步步為營、逐個擊破. 教師以這種方法來引導(dǎo)學(xué)生對問題展開分析，能夠降低對應(yīng)問題的難度，從而有效對接學(xué)生的能力水平，同時使學(xué)生體驗問題由繁到簡的化歸過程，也將幫助他們積累繁難問題的處理方法，提升他們問題解決的能力. 比如初中數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常將多邊形的問題化歸為三角形的問題就是這一思想的體現(xiàn). 再例如，探索“一元一次方程的解法”時，教師先要引導(dǎo)學(xué)生由簡到繁地學(xué)習(xí)一元一次方程處理的基本步驟，在此基礎(chǔ)上明確方程變換的基本目的：無論多么復(fù)雜的一元一次方程，我們都要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為x=a的基本形式，這也就是方程的解. 而其他步驟都是為這最后一步服務(wù)，將復(fù)雜的方程逐步演化為其最簡單的形式. 當(dāng)學(xué)生在探索的過程中能夠深刻領(lǐng)會一元一次方程不斷移項、變化的本質(zhì)和目的，他們也將深刻理解方程求解的一般化規(guī)律，這比死記硬背方程求解步驟更容易為學(xué)生所接受.

例2 圖2為五個半徑都等于1的圓，其圓心分別為A，B，C，D，E，則圖中的五個扇形陰影區(qū)域的總面積為多少個平方單位？

分析 學(xué)生初次接觸這個問題時可能會感到無處著手，按照一般化的處理，學(xué)生可能會先求出單個扇形陰影區(qū)域的面積，然后對其進行相加來求出最后的結(jié)果，這是非常困難的. 但是進一步思考卻可以發(fā)現(xiàn)：因為圓的半徑是一個已知數(shù)據(jù)，聯(lián)系到扇形的面積計算公式，所以我們只要明確扇形所對圓心角的度數(shù)，即可確認(rèn)答案的取值. 而且，我們還應(yīng)該明確本題求解的是一個整體的結(jié)果，而并非單個扇形面積. 同時我們還可以發(fā)現(xiàn)這些扇形的圓心角正好是五邊形的外角，這些角度的總和正好等于360°，所以答案也就非常明顯了：圖中扇形陰影區(qū)域正好拼湊成一個完整的圓形，總面積為π.

將一般問題化歸為特殊問題

數(shù)學(xué)命題一般具有廣泛性，即它的成立是針對一般情形而言的，但是在解決實際問題時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般化的問題往往難以找到問題解決的突破口. 這種情形下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將這些問題向特殊情形進行化歸，從而方便學(xué)生尋找問題的解決思路，這種化歸思想源于“特殊寓于一般”的客觀規(guī)律. 在特殊情形的問題解決之后，學(xué)生將從中受到啟發(fā)，并最終形成一般問題的處理方法. 例如在引導(dǎo)學(xué)生研究一元二次方程的求解方法時，教師都是先采用配方法來得到方程的求根公式，而這一結(jié)論又恰恰對一般化的方程具有普遍的適應(yīng)性. 再例如我們將圓進行五等分處理，從而得到了正五邊形，在此基礎(chǔ)上我們推廣出結(jié)論：將圓進行n等分，可以得到正n邊形，這些內(nèi)容都體現(xiàn)出“由特殊到一般”的化歸思想，通過這樣的處理方法能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.

例3 圖3所示為n個邊長都等于1 cm的正方形，其中每一個正方形的中心恰恰落在另一個正方形的頂點上，求n個正方形的重疊區(qū)域的面積之和為多少？

分析 n個正方形對應(yīng)著一種較為一般化的情形，初中生面對這種問題很難尋找到思路，教師可以啟發(fā)他們先從最特殊的方面入手：研究兩個正方形重疊區(qū)域的面積，如圖4所示，可以證得：△ADM≌△ACN，如此即可將重疊區(qū)域的面積轉(zhuǎn)化為△ACD的面積，也就是正方形面積的四分之一，以上就是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化. 然后由特殊回歸一般的操作，學(xué)生將非常容易理解，單個重疊區(qū)域的面積為cm2，n個正方形可以形成n-1個重疊區(qū)域，因此最終的面積之和為cm2.

數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)問題處理的過程中，我們發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)問題采用對應(yīng)領(lǐng)域中的知識進行處理，方法將非常復(fù)雜，效率也大打折扣，但是采用其他領(lǐng)域的知識進行解決，就顯得很有技巧性，整個過程簡易而新穎. 數(shù)形結(jié)合的分析方法就是上述思想的重要體現(xiàn)，華羅庚先生就很推崇這種做法. 他指出，“數(shù)缺形時則少直覺，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”. 在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師要注意這一方面思想的滲透，比如采用函數(shù)圖像來研究函數(shù)性質(zhì)，通過函數(shù)解析式來研究函數(shù)圖像，這些就是數(shù)形結(jié)合思想的顯著體現(xiàn).

例4 方程-x2+5x-2=正根的個數(shù)為______.

分析 本題為一個分式方程，如果通過移項的方法將其化歸為整式方程，就會出現(xiàn)三次項. 這明顯超過學(xué)生理解的范圍，所以這不是一種合適的化歸. 那怎么處理這個問題呢？這就需要用到數(shù)形結(jié)合的思想了. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生將“數(shù)”化歸為“形”來進行研究，具體的做法是將上述方程轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)：拋物線y=-x2+5x-2與雙曲線y=，分別構(gòu)建它們的函數(shù)圖像，從圖5所示的情況可知，在x>0的范圍內(nèi)有兩個交點，因此原方程有兩個正根.

綜上所述，化歸思想有著靈活多樣的應(yīng)用形式，而且沒有一個固定的界限，只是在使用時各有側(cè)重. 而實質(zhì)上，化歸思想只是我們換一個角度來思考和分析問題，讓思路朝著有利于問題解決的方向發(fā)展，這樣的處理是采用多種方法來對同一個問題進行演繹，也正是數(shù)學(xué)研究的魅力所在.