◎金弘鑫

(浙江省蘭溪市聚仁教育集團育才中學(xué)，浙江 蘭溪 321100)

“四步法”求點的運動路徑長

◎金弘鑫

(浙江省蘭溪市聚仁教育集團育才中學(xué)，浙江 蘭溪 321100)

在近幾年各地中考中，出現(xiàn)了一些關(guān)于動點的運動路徑的問題.這類試題能全面考查數(shù)學(xué)活動過程，考查通過數(shù)學(xué)思考解決問題的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，因而，備受各地中考命題者的青睞.

“動點運動路徑長”的問題，以幾何圖形的運動為載體，求幾何圖形在運動過程中，圖形上某一動點所經(jīng)過的路徑的長度，隱含了解析幾何“求點的運動軌跡方程”的雛形.而在現(xiàn)在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識，所以，學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考，許多學(xué)生甚至是一些數(shù)學(xué)比較優(yōu)秀的學(xué)生，對于如何解決這類問題缺少方法，無從下手.

解決“動點運動路徑長”的問題的策略，筆者歸納為“四步法”，即“一定、二猜、三證、四算”.“一定”起點、終點和若干特殊點；“二猜”運動路徑是圓弧還是線段(在初中階段主要考查的一般是圓弧型和線段型)，通過畫圖(起點、終點和若干特殊點)應(yīng)該可以判斷出路徑類型；“三證”是證明，是結(jié)合已知條件的特點運用數(shù)學(xué)方法說明自己的“猜”是正確的；“四算”，按照判斷的路徑類型及范圍來計算路徑長.下面舉例說明.

圖1

例1 (2014·金華)等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P.

(1)若AE=CF.

① 求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

② 若AE=2，試求AP·AF的值；

(2)若AF=BE，當(dāng)點E從點A運動到點C時，試求點P經(jīng)過的路徑的長.

解析 (1)① 可證△ABE≌△CBF，從而AF=BE，∠APB=120°；

② 略.

(2)若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況.

① 當(dāng)AE=CF時，

“一定”：起點為點A，終點為B，如圖2的點P；

“二猜”：圓弧；

“三證”：由(1)可知在運動過程中，∠APB總為120°，所以點P在以AB為弦的一段弧上；

圖2

圖3

② 當(dāng)AE=BF時，

“一定”：起點為點線段AB的中點，終點為C，特殊點當(dāng)點E為AC中點時，點P的位置；“二猜”：線段；

“三證”：可證△ABE≌△ABF，得∠PAB=∠PBA，所以點P在線段AB的垂直平分線上；

評注：當(dāng)動點是一個固定角的頂點時，軌跡很可能是條弧；當(dāng)動點到兩個定點的距離相等時，動點在連接兩定點的線段的垂直平分線上，軌跡是線段.

圖4

圖5

解析 “一定”：當(dāng)點P在點N(起點)時，點B的位置為Bn，當(dāng)點P在點O(終點)時，點B的位置為B0，當(dāng)點P運動至ON上的任一點時，設(shè)其對應(yīng)的點B為Bi；

“二猜”：線段(Bi在線段B0Bn上)；

“三證”：∵AN⊥ABn，AP⊥ABi，∴∠CAP=∠BnABi，

∴△ABnBi∽△ANP，∴∠ABnBi=∠ANP=45°.

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑.

評注：當(dāng)動點是一個固定角的某條邊上時，運動路徑為線段.

總之，解決這類問題時，首先要化動為靜，確定動點運動的起點和終點，弄清點在運動過程中，其路徑的形狀是什么圖形，再根據(jù)相關(guān)計算公式計算出路徑的長.