◎曾瑞海

(汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 汕頭 515041)

數(shù)學(xué)美的和諧性研究之一
——從“數(shù)學(xué)悖論”的消除中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)潛在的和諧美

◎曾瑞海

(汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 汕頭 515041)

本文借助三個數(shù)學(xué)悖論，從消除悖論的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)潛在的和諧美，進(jìn)而提高認(rèn)識數(shù)學(xué)和諧美的目的.

數(shù)學(xué)悖論；和諧性；連續(xù)；無窮小量

盡管各種數(shù)學(xué)悖論產(chǎn)生的歷史背景不同，表現(xiàn)形式各異，但它們都是某一數(shù)學(xué)理論原有體系中蘊(yùn)藏著矛盾的反應(yīng).人們面對數(shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生而著手對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行重塑，對不完善的理論進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)觀念，完善了思維方法，推動了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，在更高的層次上實現(xiàn)了新的和諧統(tǒng)一與完善.因此，數(shù)學(xué)悖論是促使數(shù)學(xué)理論不斷追求和諧、不斷趨于完善的一種重要的推動力，是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望的火種.

由此可見，數(shù)學(xué)自身顯然是從不和諧走向和諧的.

一、從“連續(xù)悖論”的消除中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)潛在的和諧美

我們知道，“連續(xù)”是高等數(shù)學(xué)中一個重要的基本概念，但是它的現(xiàn)代定義的表達(dá)卻是經(jīng)歷了一個從不和諧到和諧的漫長過程.

數(shù)學(xué)家歐拉曾認(rèn)為，由一個單獨解析表達(dá)式給出的函數(shù)是連續(xù)的，而由幾個表達(dá)式給出的函數(shù)即分段函數(shù)是不連續(xù)的.

但我們又知道，傅立葉已經(jīng)證明，定義在某個區(qū)間上的任意函數(shù)都可以表示成該區(qū)間上的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的無窮級數(shù).

上述函數(shù)依照歐拉對連續(xù)的定義，既是不連續(xù)的，同時，又是連續(xù)的.顯然這是一個悖論.

二、從“貝克萊悖論”的消除中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)潛在的和諧美

數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”.籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時實際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0.但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾.

1734年，大主教喬治·貝克萊(George Berkeley)以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長的書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理》.在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進(jìn)行了攻擊.

他指責(zé)牛頓，在其理論中，無窮小量一會兒說是零，一會兒又說不是零.

舉例來說，為計算某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比如，說x3的導(dǎo)數(shù)，先將x取一個不為0的增量Δx，由(x+Δx)3-x3，得到3x2·Δx+3x·(Δx)2+(Δx)3，后再被Δx除，得到3x2+3x·(Δx)+(Δx)2，最后突然令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)為3x2.這是“依靠雙重錯誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”.因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零，因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”.貝克萊的攻擊抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的.

18世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作也導(dǎo)致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng).

從1821年開始，柯西陸續(xù)出版了幾本具有劃時代意義的書與論文.其中給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義.比如，他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo).這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”.柯西的工作使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化邁出了第一大步.

在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎(chǔ)上.不過，在當(dāng)時情況下，由于實數(shù)的嚴(yán)格理論尚未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善.

柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論，并于70年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系.魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù).

三、從“蒙提·霍爾悖論”的消除中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)潛在的和諧美

問題提出：假設(shè)你正在參加一個游戲節(jié)目，你被要求在三扇門中選擇一扇.其中一扇后面有一輛車，其余兩扇后面則是山羊.你選擇了一扇門，假設(shè)是1號門，然后，知道門后面有什么的主持人開啟了另一扇后面有山羊的門，假設(shè)是3號門.然后，他問你：“你想選擇2號門嗎？”那么，改變你的選擇對你來說是一種優(yōu)勢嗎？

數(shù)學(xué)少不了悖論，數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)沒有悖論就不是完備的，我們不是去容忍悖論而是去消除悖論，在消除悖論的過程中提高認(rèn)知水平.數(shù)學(xué)教學(xué)中常常因為悖論的思考復(fù)雜性而棄置不用，筆者相信悖論的使用不僅不會增加難度，反而會使問題更富趣味性和研究性，更有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；有利于向?qū)W生介紹重要的數(shù)學(xué)思路；有利于開發(fā)豐富多彩的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動；有利于幫助學(xué)生洞察數(shù)學(xué)問題的解題過程；有利于培養(yǎng)學(xué)生辯證的、開創(chuàng)性的、批判性的思維方式；有利于提高學(xué)生對現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質(zhì)的鑒賞力.從這個意義上說，沒有悖論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是危險的，沒有悖論思想的數(shù)學(xué)教學(xué)是蒼白的.數(shù)學(xué)家同時也是悖論大師，悖論不是目的，以悖論為手段學(xué)會創(chuàng)新才是目標(biāo).

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