張美娟+梁超

摘要：在高校數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法。文章首先敘述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，之后論述在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的意義，最后以教學(xué)案例的方式，從四個(gè)不同的角度闡述在數(shù)學(xué)分析課程中融入數(shù)學(xué)文化的方法。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)文化；教學(xué)案例

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）14-0063-03

高校數(shù)學(xué)分析課程，作為數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué)等專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)生后續(xù)課程的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的專業(yè)素養(yǎng)非常重要。進(jìn)行高校數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，既可使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的獨(dú)特文化內(nèi)涵，又可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法，更為高效地完成學(xué)習(xí)。

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

所謂數(shù)學(xué)文化，狹義的是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及它們的形成和發(fā)展。廣義指除這些之外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系[1]。

數(shù)學(xué)文化是一個(gè)開放、多元、動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)。研究學(xué)者視角的多元化，導(dǎo)致數(shù)學(xué)文化的界定并不一致。Wilder R.L.[2]指出數(shù)學(xué)家擁有的文化內(nèi)含一個(gè)共享的帶有數(shù)學(xué)特征的部分；Bishop A.J.[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是文化視角下的數(shù)學(xué)，既包含Wilder精英主義的數(shù)學(xué)亞文化，即數(shù)學(xué)知識(shí)背后的隱性成分或觀念性成分，也包含人類文化中的數(shù)學(xué)成分。張奠宙[4]認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)不是數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，背后隱性存在的觀念才是；王憲昌[5]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的文化傳統(tǒng)流變的文化分析；孫宏安[6]認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是人類適應(yīng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境與創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)自身及其成果的綜合。

二、在數(shù)學(xué)分析課程中，融入數(shù)學(xué)文化的意義

1.數(shù)學(xué)分析理論體系完整，邏輯思維嚴(yán)密，課程具有無窮魅力。在這些有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)象之外，數(shù)學(xué)分析還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思維，蘊(yùn)含著“有限與無限”“變中有不變”等數(shù)學(xué)哲學(xué)，有著微積分發(fā)展中豐富的歷史故事，有著數(shù)學(xué)先驅(qū)勇攀科學(xué)高峰的精神。數(shù)學(xué)分析課程實(shí)質(zhì)上也是在傳播一種文化，一種有趣的數(shù)學(xué)文化。在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有效地體現(xiàn)其文化價(jià)值。

2.著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生在《數(shù)學(xué)文化的一些新視角》[7]中指出：“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味?！痹趥鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，只是局限于其知識(shí)成分，抽取了理性的定理、公式、結(jié)構(gòu)等骨架，而舍去了其中數(shù)學(xué)文化、實(shí)踐創(chuàng)新等豐富血肉。這種“繭氏”的課程文化丟失了數(shù)學(xué)的思想、精神，也丟失了課程的許多精華和其中的樂趣。數(shù)學(xué)分析課程不但具有科學(xué)的價(jià)值，而且還具有文化的價(jià)值。數(shù)學(xué)文化有其獨(dú)立思考、勇于批判的理性精神；有其濃厚的文化積淀，以及踏實(shí)細(xì)微的人文精神；有其在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用性；有其相對(duì)穩(wěn)定性和延續(xù)性，有其世界性等[8]。在教學(xué)過程中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、評(píng)價(jià)方式等諸方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，將數(shù)學(xué)文化滲透到數(shù)學(xué)分析教學(xué)的全過程之中。

3.數(shù)學(xué)分析課程理論性強(qiáng)，其邏輯推理的嚴(yán)密嚴(yán)謹(jǐn)性，需要教師和學(xué)生投入很多的精力。而且，作為大學(xué)入學(xué)的第一門數(shù)學(xué)專業(yè)課，學(xué)生需從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變，學(xué)習(xí)和適應(yīng)不同的思考和解決問題的角度與方法，這也進(jìn)一步增加了教學(xué)和學(xué)習(xí)的難度。教學(xué)中在嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)的同時(shí)，融入數(shù)學(xué)文化，一方面讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，另一方面，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生可以更好地汲取知識(shí)。

三、在數(shù)學(xué)分析課程中融入數(shù)學(xué)文化的方法

數(shù)學(xué)文化的滲透。學(xué)生理解與感悟數(shù)學(xué)是一種自然滲透、逐步深化的過程。不可將知識(shí)孤立、零散地分割開，最終只讓學(xué)生學(xué)到了一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，卻無法學(xué)到縱橫聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)，這也無法使學(xué)生最終獲得數(shù)學(xué)理性觀的升華直至感悟。

在將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的過程中，需要教師與學(xué)生一起感受數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化的真諦。更需要教師在深刻而豐富的數(shù)學(xué)文化觀的引導(dǎo)下，引發(fā)課堂教學(xué)行為的改變，從而提高教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。

1.以數(shù)學(xué)文化作為課程新知識(shí)的引入點(diǎn)。以有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)史料等作為數(shù)學(xué)分析課程新知識(shí)引入時(shí)的切入點(diǎn)。

教學(xué)案例：以“無窮悖論”這一“奇怪”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散，以及條件收斂時(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律不成立這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的引子。

捷克哲學(xué)家Bolzano在《無窮悖論》（1781-1848）中提到一個(gè)例子：1和-1交替出現(xiàn)的級(jí)數(shù)，即1-1+1-1+1-1+…。為了計(jì)算這個(gè)級(jí)數(shù)，通過三種不同的方法會(huì)得出三種不同的答案。方法一：一開始就進(jìn)行相鄰兩數(shù)的歸納計(jì)算，則有1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0，答案是0。方法二：從第二個(gè)數(shù)開始再進(jìn)行相鄰兩數(shù)的歸納計(jì)算，則有1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1，答案是1。方法三：Grundy用代數(shù)方法，設(shè)級(jí)數(shù)和為x，則有x=1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-…）=1-x，解方程知x=1/2，因此答案是1/2。

利用這一悖論首先激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，之后自然引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，以及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散。柯西發(fā)現(xiàn)，無窮級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算也可能沒有答案。若以方法三假定它存在，其結(jié)果必會(huì)引起混亂。從而引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。

另外，有限個(gè)數(shù)相加時(shí)，不管相加的順序如何變化，答案相同。但柯西發(fā)現(xiàn)這一加法法則在無窮個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算中已經(jīng)不成立了，這便是方法一和方法二悖論產(chǎn)生的原因之一。從而引出無窮級(jí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律不一定成立這一知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而引出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)條件收斂的知識(shí)。

2.以“項(xiàng)目”為導(dǎo)向，加強(qiáng)“問題解決”的教學(xué)設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)文化中一個(gè)重要的方面，就是數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。為了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，采用以項(xiàng)目為導(dǎo)向，加入讓學(xué)生研究實(shí)際案例、解決問題這一教學(xué)環(huán)節(jié)，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析知識(shí)的講授。所謂項(xiàng)目，在夏德斯的教學(xué)方法體系下是指：為了解決技術(shù)與實(shí)踐中的生活問題而設(shè)計(jì)的問題解決過程。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)應(yīng)用，這樣既可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析課程的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生背景與發(fā)展，體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，揭開數(shù)學(xué)的神秘面紗，又可在應(yīng)用中進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)分析的思想方法，幫助學(xué)生加深理解。

教學(xué)案例：在數(shù)學(xué)分析“多元函數(shù)極值問題”的教學(xué)中，提出有實(shí)際應(yīng)用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系。學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模的方法，發(fā)現(xiàn)這一問題所對(duì)應(yīng)的模型為一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)問題，也就是數(shù)學(xué)分析中的多元函數(shù)極值問題。之后，我們?cè)匍_始進(jìn)行課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)。

3.以數(shù)學(xué)史為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的人文性。我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家余介石等人主張“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，阻生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可想成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也?！盵9]將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以及對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的渴求，加深對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的理解。另外從數(shù)學(xué)史的整個(gè)發(fā)展趨勢(shì)中，學(xué)生可以初步了解微積分知識(shí)的基本框架。

而且，在教學(xué)中，談?wù)剶?shù)學(xué)界的名人軼事，使其成為課堂上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明推導(dǎo)之余的興奮劑。通過在知識(shí)點(diǎn)處閃現(xiàn)數(shù)學(xué)家為了追求真理，堅(jiān)持不懈的精神，幫助學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，執(zhí)著追求。

教學(xué)案例：三次數(shù)學(xué)危機(jī)。在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決，當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

在教學(xué)中，引入數(shù)學(xué)發(fā)展的三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。以華東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》教材為例，在第一章“實(shí)數(shù)集與函數(shù)”的教學(xué)中，引入第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：有理數(shù)。危機(jī)的產(chǎn)生——希帕索斯悖論（邊長(zhǎng)為1的正方形，其對(duì)角線長(zhǎng)度為多少呢）；危機(jī)的緩解——兩百年后，歐多克索斯建立的比例論，巧妙地避開無理數(shù)這一邏輯上的危機(jī)；危機(jī)的解決——直到19世紀(jì)下半葉，實(shí)數(shù)理論的建立，無理數(shù)的本質(zhì)被徹底搞清。通過了解第一次危機(jī)，既可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生開展創(chuàng)新，又使學(xué)生對(duì)無理數(shù)有了更深刻的理解，增加了對(duì)實(shí)數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的興趣。

在“無窮小量”的教學(xué)中，引入第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：無窮小是零嗎。危機(jī)的產(chǎn)生——貝克萊悖論（無窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒是零，一會(huì)兒又不是零）；危機(jī)的緩解——實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理；危機(jī)的解決——在實(shí)數(shù)論的問題，導(dǎo)致了集合論的誕生。通過第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，學(xué)生可以加深理解：無窮小是一類趨向于零的常數(shù)，而常數(shù)零數(shù)列是一類特殊的無窮小量。

之后，可繼續(xù)給學(xué)生講第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事：集合論中自相矛盾的理發(fā)師問題。危機(jī)產(chǎn)生——羅素悖論（理發(fā)師只給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，不給那些給自己理發(fā)的人理發(fā)，那么他要不要給自己理發(fā)呢）；危機(jī)的緩解——哥德爾不完全定理的證明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論，宣告了把數(shù)學(xué)徹底形式化的愿望是不可能實(shí)現(xiàn)的。

4.在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析之美。大數(shù)學(xué)家克萊因說過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈獨(dú)特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”在教學(xué)中，利用圖案、錄像，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)欣賞為切入點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，為數(shù)學(xué)的魅力所吸引，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力。

教學(xué)案例：在定積分、重積分的應(yīng)用中，輔以圖形加以講解，在教學(xué)中讓學(xué)生感受數(shù)與形的調(diào)和，感受幾何學(xué)的優(yōu)雅。在傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)中，如果按傳統(tǒng)方式教學(xué)，傅里葉公式及其推導(dǎo)證明的嚴(yán)肅復(fù)雜性，會(huì)使學(xué)生望而生畏。我們配以生動(dòng)的圖像來講解，既使學(xué)生易于理解，又可增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和樂趣。

總之，通過將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)之中，讓學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和思維方法，了解數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使其更為高效地學(xué)習(xí)。

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Abstract：By incorporating mathematics culture into the course of mathematical analysis in colleges and universities，the teaching can enable students grasp the knowledge system and the way of thinking better in mathematical analysis. The article first describes the connotation of mathematics culture. And then discuss the significance of incorporating mathematics culture into the course. Finally，by quoting teaching cases，the article states the methods of incorporating mathematics culture into the course of mathematical analysis from four different aspects.

Key words：educational reform；mathematical analysis；mathematics culture；teaching cases.