●周順鈿 (杭州高級中學 浙江杭州 310003)

絕對值三角不等式的基本模式及其應用*

●周順鈿 (杭州高級中學 浙江杭州 310003)

文章對絕對值三角不等式的基本模式進行解析，并結合近幾年浙江省數(shù)學高考、學考和競賽試題，分析了該模式的解題功能，肯定了思維定勢正遷移的積極作用.

絕對值三角不等式；2邊夾逼；模式識別；思維定勢.

靜心細思近年來浙江省數(shù)學高考、學考和競賽試題，對絕對值三角不等式這個基本模式的考查頻率之高，令人印象深刻.尤其是2016年浙江省數(shù)學高考，選擇、填空、解答這3種題型的壓軸題，都能找到絕對值三角不等式的影子，幾乎達到了登峰造極的地步.

1 絕對值三角不等式的基本模式

圖1

在△ABC中，由“三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”可得

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，

對任意向量a,b，有不等式

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

成立，其中：

1)當a,b至少有1個為零向量時，有

|a+b|=|a|+|b|.

2)當a,b均為非零向量時，

①當a,b不共線時，

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；

②當a,b共線同向時，

|a+b|=|a|+|b|；

③當a,b共線反向時，

||a|-|b||=|a+b|<|a|+|b|.

評注 以-b替代b，有不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|成立，它也可以由△ABD邊的關系得到幾何解釋.

這就是向量形式下的絕對值三角不等式.特別地，當向量a,b的起點與坐標原點O重合、終點落在x軸上時，上述不等式就轉化為實數(shù)形式下的絕對值三角不等式：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中等號成立的條件是：

①|a+b|=|a|+|b|?ab≥0；

②|a-b|=|a|+|b|?ab≤0；

③|a+b|=|a|-|b|?(a+b)b≤0；

④|a-b|=|a|-|b|?(a-b)b≥0.

推論 |a-c|≤|a-b|+|b-c|.

推廣 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.

一般情況下所討論的向量空間(如實數(shù)空間、復數(shù)空間、Rn)都是很特殊的距離空間(線性賦范空間)，其中有一個很重要的性質叫做三角不等式，這正是絕對值不等式的一個縮影，這里的絕對值就是一個范數(shù).

絕對值三角不等式是人教版《數(shù)學(選修4-5)》“不等式選講”中的內容，《浙江省高考數(shù)學考試大綱》明確要求考生：掌握不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及其應用，它是數(shù)學解題的一個重要模式，也是浙江省數(shù)學高考的重要考點之一[1].

2 絕對值三角不等式的模式應用

2.1 基本模式的正用

( )

(2016年4月浙江省數(shù)學學考試題第18題)

分析 由題意：總存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m成立，只需m≤f(x)max,x∈[1,2].記f(x)max=h(a,b),對任意的實數(shù)a,b，總存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m成立，即m≤h(a,b)min，亦即

m≤(f(x)max)min,其中x∈[1,2].

,當且僅當(2-a-b)+(1-2a-b)=0時，等號成立，因此

評注 對既有存在又有任意的函數(shù)問題，常常轉化為相應函數(shù)的最值問題.

例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

2)當a,b滿足M(a,b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第18題)

M(a,b)= max{|f(-1)|,|f(1)|}≥

圖2

即

而|a|+|b|=t>0在aOb坐標系內表示的圖形是以O為中心、對角線與坐標軸重合的正方形(如圖2所示)，由數(shù)形結合可知，當a=±2，b=-1時，|a|+|b|的最大值為3.

當ab≥0時，

|a|+|b|=|a+b|≤3；

當ab<0時，

|a|+|b|=|-a+b|≤3.

故當a=±2,b=-1時，|a|+|b|的最大值為3.

評注 特殊賦值、合理配湊并結合不等式的基本性質，是證明含絕對值不等式的行之有效的方法.

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第15題)

a2+2a·b+b2≤6.

a2-2a·b+b2≤6.

(或從極化恒等式入手

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10，

評注 向量問題的核心是向量的加、減運算及其幾何意義，以及數(shù)量積的幾何意義.本題解法很多，但結合絕對值三角不等式求解，獨辟蹊徑，呈現(xiàn)了數(shù)學的和諧之美.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)

分析 本題是以不等關系給出的遞推數(shù)列.這是近年來罕見的，許多考生望題生畏，輕言放棄，實在是很可惜.

1)根據(jù)絕對值三角不等式，已知條件可以弱化為

即 |an+1|≥2|an|-2.

(1)

如果將式(1)中的不等號改為等號，那么數(shù)列{|an|}滿足的遞推關系就是我們熟知的一階線性遞推式，它可以往“等比、等差”2個方向進行轉化.

等比方向：式(1)可進一步轉化為

|an+1|-2≥2(|an|-2)，

依此傳遞可得

|an|-2|≥ 2(|an-1|-2)≥22(|an-2|-2)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

于是

|an|>|an|-2≥2n-1(|a1|-2).

等差方向:式(1)的2邊同除2n+1，得

于是

|an|>2n-1(|a1|-2).

(或用反證法來說明.假設存在n0∈N*，使|an0|>2，則

于是

這與m的任意性矛盾.)

評注 本題有2個轉化是很關鍵的：一是通過絕對值三角不等式將已知不等式弱化，化歸為一階線性遞推關系；二是再將弱化的不等式化歸為等比或等差累加這2個基本類型.第2)小題證明該數(shù)列項的有界性，這在《數(shù)學分析》課程里是比較常見的變形技巧，如今出現(xiàn)在2016年的數(shù)學高考中，可能又會形成日后新的熱點.

3 取等條件的應用

分析 因為

1= sin2x-f(x)+f(x)+cos2x≤

|f(x)-sin2x|+|f(x)+cos2x|≤

所以

即

評注 “2邊夾逼，化不等為相等”是解決本題的關鍵.

例6 設復數(shù)z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b∈R.當|z1|+|z2|+|z3|取得最小值時，求3a+4b的值.

分析 觀察易得

z1+z2+z3=8+6i，

于是

|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=10.

|z1|+|z2|+|z3|取得最小值當且僅當

解得

從而

3a+4b=12.

(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第8題)

分析 本題要確認哪個選項的條件能保證a，b，c是有界的.對于選擇題，宜從特例入手，避免小題大做.

取a=b,c=-a2-a，則a的取值范圍無界，故不合題意；

則a的取值范圍無界，故不合題意；

下面證明選項D是正確的.

根據(jù)絕對值三角不等式

1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|(a2+b+c)+(a+b2-c)|，

當且僅當(a2+b+c)(a+b2-c)≥0時取到等號，

于是

a2+b+a+b2≤1，即

于是

故

再由絕對值三角不等式

|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤1,

得

|c|≤1+|a2+b|，

同理可得

|c|≤1+|a+b2|，

相加得2|c|≤2+|a2+b|+|a+b2|≤ 2+a2+b2+|a|+|b|.

若ab≥0，則

評注 解決數(shù)學問題應該從正確理解概念出發(fā)，抓住概念的本質，制定解題的策略.根據(jù)絕對值三角不等式，4個選項的條件依次可以弱化為

模式識別是重要的解題思想，絕對值三角不等式是數(shù)學解題的一個重要模式.在學習數(shù)學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的地簡單編碼，當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.

從思維的角度看，模式識別的解題策略體現(xiàn)了思維定勢正遷移的積極作用.“遇新思陳，推陳出新”無非是為了在當前問題與頭腦中已有的知識、經驗之間建立聯(lián)系，以誘發(fā)積極有用的思維定勢.專家與普通人在解決問題時之所以會有區(qū)別，一個很重要的原因就在于專家能迅速找出貯存在大腦中的模式，作為檢索問題解法的索引，從而大大減少搜尋的時間[2].

[1] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(選修4-5)[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2] 羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，1997.

??2016-09-23；

2016-10-25

周順鈿(1965-)，男，浙江紹興人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)03-16-05