●翁海芳 (仁愛中學(xué) 浙江寧波 315200)

一堂從基本圖形衍生的中考專題復(fù)習(xí)課*

●翁海芳 (仁愛中學(xué) 浙江寧波 315200)

通過基本圖形，層層推進(jìn)，最終衍生為中考?jí)狠S題，引導(dǎo)學(xué)生在不斷解決問題、不斷收獲成功的喜悅中，克服解題障礙，建立解題模型，提高能力素質(zhì).文章全程記錄了一堂從基本圖形衍生的中考專題復(fù)習(xí)課，課后反響較好.

中考復(fù)習(xí)課；基本圖形；壓軸題；衍生；建模

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是初中學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)的最后階段，復(fù)習(xí)效果將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度.如何把復(fù)習(xí)課上得既生動(dòng)活潑又務(wù)實(shí)高效，是每一位教師都必須深入研究的課題.現(xiàn)將筆者執(zhí)教的一堂復(fù)習(xí)課介紹如下，供同行參考.

1 解決問題的3個(gè)步驟

第1步 提出問題，提煉基本模型

問題1 如圖1，給你一個(gè)銳角△ABC和一條直線MN，你能用直線MN去截邊BA與CA(或其延長線)，使截得的三角形與原三角形相似嗎？

圖1

學(xué)生在解決的過程中，發(fā)現(xiàn)直線MN所截的三角形有以下2種類型：

第1種可歸結(jié)為“A”型(如圖2～4所示)：

圖2 圖3 圖4

第2種可歸結(jié)為“X”型(如圖5～6所示)：

圖5 圖6

以平行作為基本條件，以圖2和圖5作為基本圖形，作進(jìn)一步的構(gòu)造設(shè)計(jì).

第2步 設(shè)計(jì)問題，構(gòu)造基本模型

圖7

問題2 如圖7，若D為BC的中點(diǎn)，ED交AC于點(diǎn)F，且FC∶FA=3，求BA∶AE的值.

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后讓考慮成熟的學(xué)生上黑板板演.在課堂巡視中教師發(fā)現(xiàn)：除小部分學(xué)生不敢嘗試添輔助線外，很多學(xué)生過點(diǎn)F或點(diǎn)A作平行線，也有一些學(xué)生過中點(diǎn)D作平行線.最終學(xué)生共想出6種添輔助線的方法，其中過點(diǎn)A,D,F各有2種添法.但沒有一個(gè)學(xué)生想到過點(diǎn)B,E,C也可作輔助線.最后在教師的引導(dǎo)下，歸納總結(jié)得出結(jié)論：過圖7中的每個(gè)點(diǎn)都有2種不同的平行線添法(如圖8～13所示)：

圖8 圖9

圖10 圖11

圖12 圖13

12種不同的輔助線添法相應(yīng)有12種解答過程，從解題中可以看出，解決此類問題的關(guān)鍵是作平行線，也就是構(gòu)造圖2或圖5這2種基本圖形.它不一定是一種基本圖形的簡單運(yùn)用，更多的是2個(gè)或2個(gè)以上的A型或X型基本圖形的綜合運(yùn)用.學(xué)生看著這12種不同的解法不禁感嘆：“居然有這么多方法，為什么我一種也想不出呢？”主要原因還是不敢嘗試，缺乏面對(duì)困難勇于探索的精神.

第3步 拓展提升，強(qiáng)化學(xué)生的獲得感

將問題2中的基本圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，過2條相交線段的4個(gè)頂點(diǎn)作外接圓，再把外面的圖形補(bǔ)全為一個(gè)直角三角形.學(xué)生們驚喜地發(fā)現(xiàn):這正是2015年浙江省寧波市中考?jí)狠S題中的圖形(如圖14).本節(jié)課演變至此，學(xué)生的獲得感和成就感油然而生，許多學(xué)生對(duì)解決平時(shí)望而生畏的中考?jí)狠S題更加有信心了.

問題3 如圖14，在Rt△OAB中，M是斜邊AB的中點(diǎn),以O(shè)M為直徑的⊙P分別交線段OA，OB于點(diǎn)C，D，交線段AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE交OM于點(diǎn)K.若OK∶MK=3，求∠OBA的度數(shù).

圖14 圖15

方法1 “X”型輔助線

如圖15，聯(lián)結(jié)DP，DM，易證DP∥BA，由△DKP≌△EMK，得DK=KE.根據(jù)垂徑定理得OM⊥DE.

在Rt△DKP中，由DP=2KP，知

∠PDK=30°，

從而

∠DEB=30°，

于是

∠B=∠BOM=∠DEB=30°.

方法2 “X”型輔助線

如圖16，聯(lián)結(jié)DM，易證DM∥OA，可得DM∶OA=1∶2.延長DE交OA延長線于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OE，由△DMK∽△OKH，可證DM∶OH=1∶3，則有DM=AH.由△DME∽△HAE，可證ME=AE.又OE⊥AM，因此OA=OM.

在Rt△ODM中，由DM∶OM=DM∶OA=1∶2，知

∠DOM=30°，

從而

∠OBA=∠DOM=30°.

圖16 圖17

方法3 “X”型輔助線

如圖17，過點(diǎn)M作MH∥BO交DE于點(diǎn)H.由△DKO∽△MKH，得

MH∶DO=MK∶OK=1∶3.

聯(lián)結(jié)DM，易證DM∥OA，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，從而BD=DO，于是

MH∶DB=1∶3，

進(jìn)而

EM∶MB=1∶2，

故點(diǎn)E為AM的中點(diǎn)，以下同方法2.

方法4 “A”型輔助線

如圖18，過點(diǎn)K作KH∥OB交AB于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OE.由△MKH∽△MOB，得

MH∶MB=HK∶BO=1∶4，

易證D為OB的中點(diǎn)，從而

HK∶BD=1∶2.

由△EHK∽△EBD，得

EH∶EB=HK∶BD=1∶2.由以上關(guān)系可推得E為AM的中點(diǎn)，以下同方法2.

圖18 圖19

方法5 “X”型輔助線

如圖19，過點(diǎn)O作AB的平行線與ED的延長線交于點(diǎn)H.由△MKE∽△OKH,得

ME∶OH=1∶3，

易證點(diǎn)D為BO的中點(diǎn).由△BDE≌△ODH，知BE=HO，進(jìn)一步可得E為AM的中點(diǎn)，以下同方法2.

??2016-10-13；

2016-11-16

翁海芳(1974-)，女，浙江寧波人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-40-03