云南省曲靖市富源縣勝境中學(xué) 趙賢芳

巧用換元法解數(shù)學(xué)題

云南省曲靖市富源縣勝境中學(xué) 趙賢芳

換元法是求解高中數(shù)學(xué)問題的經(jīng)典思想方法之一，通過換元，可以使問題變生為熟，變難為易。這種方法的關(guān)鍵就是如何合適的選擇新元以及如何引入新元，由于題目的不同，學(xué)生在解題時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的換元法。本文將通過實(shí)例介紹換元法常見的三種類型—三角換元法、整體換元法和均值換元法。

換元法；高中數(shù)學(xué)；解題方法

換元法又叫變量代換，實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化與化歸，即在求解問題時(shí)引入新的變量去代替原來復(fù)雜的表達(dá)式，從而形成新的變量表達(dá)式，因此使問題得到簡化，降低求解難度。掌握這種方法可以使復(fù)雜問題變得簡單明了，是一種快速有效的解題方法。

一、三角換元法

例1 （2012年浙江省高考數(shù)學(xué)）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是多少？

二、整體換元法

整體換元法是指若某個(gè)代數(shù)式在條件或問題中出現(xiàn)幾次，便用一個(gè)字母來代替它從而使問題簡化。通常需要通過變形才能發(fā)現(xiàn)，用新的字母代替原來的代數(shù)式從而得到新的表達(dá)式，通過對新表達(dá)式的研究來獲得原來表達(dá)式的最大值、最小值等性質(zhì)。

點(diǎn)評：本題條件較為復(fù)雜，很難一步求解到位，因此可多次利用基本不等式進(jìn)行放縮，從而 湊出相同的部分，再利用整體換元法將式子化簡。通過解答過程可以看出，在使用換元法解決問題時(shí)，新元的代入只是將原來的整體代換，將已知條件運(yùn)用到新元代入后的表達(dá)式中，從而達(dá)到簡化原式的目的，尤其要注意整體換元法時(shí)被代替的代數(shù)式的取值范圍。另外，還需注意多次利用基本不等式時(shí)等號成立的條件是否相同。

三、均值換元法

均值換元法是指當(dāng)題目條件中出現(xiàn)兩數(shù)之和時(shí)，往往設(shè)兩數(shù)分別為其平均值加減另一個(gè)常數(shù)。運(yùn)用此種方法可以達(dá)到減元的效果，從而將復(fù)雜問題簡化。

以上列舉了換元法常見的三種類型，除此之外，還有和差換元法、比值換元法等類型。換元法就是利用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，其關(guān)鍵就是找出被代換的代數(shù)式和設(shè)立新的元，然后將問題轉(zhuǎn)移到新的表達(dá)式中研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)問題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問題簡單化。換元法是一種創(chuàng)造性思維的顯現(xiàn)，熟練掌握換元的基本方法，對學(xué)生求解不等式、分解因式、求函數(shù)最值、解數(shù)列等問題有很大的幫助。由于換元法類型眾多，學(xué)生也需要多加練習(xí)，不斷總結(jié)反思，歸納換元法的解題思路，從而提高解題能力。