江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 王正勇

空間向量解立體幾何中的位置關(guān)系

江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 王正勇

立體幾何問(wèn)題是歷年來(lái)高考必考的內(nèi)容，求立體幾何中的位置關(guān)系也成為了重要考點(diǎn)，空間向量的引入使其變成解決立體幾何問(wèn)題的一項(xiàng)非常重要的工具。其在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)體現(xiàn)出的實(shí)用性、靈活性、簡(jiǎn)便性是其他方法不能實(shí)現(xiàn)的，很大程度地降低了立體幾何問(wèn)題的難度。

立體幾何；位置關(guān)系；空間向量

利用空間向量表示空間中的點(diǎn)、線、面，使空間立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算，完成了由難化易的轉(zhuǎn)換。本文中通過(guò)實(shí)例列舉出不同情況下空間向量的運(yùn)用，希望可以幫助學(xué)生走出這一難點(diǎn)，更好地應(yīng)對(duì)立體幾何中的位置關(guān)系。

一、空間向量解位置關(guān)系所用的解題方法介紹

在介紹空間向量在立體幾何中證明位置關(guān)系的方法之前，我先列出在解題過(guò)程中要用到的空間向量求法以及解題策略，以便在后續(xù)的題目解答中學(xué)生會(huì)有更加清晰的解題思路，避免出現(xiàn)學(xué)生難以理解的知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)得更加透徹。

（1）空間直角坐標(biāo)系的建立：對(duì)空間直角坐標(biāo)系最基本的要求就是遵從右手法則。建立的原則應(yīng)是保證相關(guān)點(diǎn)盡可能簡(jiǎn)便地寫(xiě)出其坐標(biāo)或者利于后續(xù)點(diǎn)坐標(biāo)的求解。

（2）法向量的計(jì)算：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后，假設(shè)平面的法向量為，再在所求平面內(nèi)找出兩條相交的直線，由于垂直于平面的向量必垂直于平面內(nèi)的直線，利用垂直向量點(diǎn)乘為零列出方程組，然后假設(shè)三個(gè)未知數(shù)中的一個(gè)為特殊值，從而求出另外兩個(gè)未知數(shù)的值。

（3）向量法證明垂直：證明線面垂直時(shí)，通常證明直線所在向量平行于平面的法向量，即（p為常數(shù)）；證明面面垂直時(shí)，通常證明兩平面的法向量是互相垂直的，即。

以上幾種方法的介紹基本包括了位置關(guān)系的全部知識(shí)。學(xué)生應(yīng)注意的是，雖然在解決空間位置關(guān)系時(shí)常用向量法，但此種方法并非是最優(yōu)選擇，有時(shí)傳統(tǒng)方法證明會(huì)更加簡(jiǎn)潔，向量法也并非可以解決所有立體幾何問(wèn)題。我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是需要用辯證的眼光看問(wèn)題，活學(xué)活用才是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必勝法寶。

二、空間向量求空間圖形的位置關(guān)系

這里重點(diǎn)探究的空間圖形的位置關(guān)系為平行與垂直，包括直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行和垂直問(wèn)題。引入空間向量之后，利用直線的方向向量和平面的法向量，只需簡(jiǎn)單的運(yùn)算，即可證明此類(lèi)問(wèn)題。

例1 如圖，幾何體P-ABCD是底面為正方形的四棱錐，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E為PC中點(diǎn)，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且EF⊥PB。求證：（1）PA∥平面EDB；（2）PB⊥平面EFD。

點(diǎn)撥：本題中提到的是線面關(guān)系，法向量的求法已經(jīng)給出，所以本題中就省略了此過(guò)程。在解決其他的情況時(shí)，我們可以利用線線問(wèn)題、線面問(wèn)題、面面問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，提升自身的空間想象力，開(kāi)拓思維，探索出新的解題方法。

三、空間向量解決探索性位置問(wèn)題

探索性問(wèn)題一般就是存在動(dòng)點(diǎn)，使點(diǎn)所在直線或者平面滿足空間上的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。此類(lèi)問(wèn)題可以最直接最完美地體現(xiàn)空間向量的優(yōu)點(diǎn)，位置的不確定性可以通過(guò)坐標(biāo)來(lái)表示，這就給我們解決此類(lèi)問(wèn)題提供了良好的理論基礎(chǔ)。

例2 如圖，P-ABCD是底面為矩形的四棱錐，PA垂直于底面ABCD，E為PD中 點(diǎn)。BC=1，，PA=2。（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（2）N為平面PAB內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使NE垂直于平面PAC?

解析：由于N點(diǎn)位置的不確定，故坐標(biāo)也是不確定的。N點(diǎn)在平面PAB上，所以點(diǎn)N的y坐標(biāo)為0。建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得到如下點(diǎn)的坐標(biāo)：

（1）根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案，故略。

點(diǎn)撥：假設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)是本題中的重點(diǎn)。在此類(lèi)問(wèn)題中不同于以往的列式求解，通過(guò)坐標(biāo)的代入完成了由空間幾何圖形到代數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，在降低了維數(shù)的同時(shí)又很大程度地減少了計(jì)算量，將探索性問(wèn)題化難為易，實(shí)現(xiàn)以靜制動(dòng)。

以空間向量作為解決立體幾何的工具，真正地實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用此方法可以一定程度上解決學(xué)生在空間想象能力上的缺陷，在有效的描述圖形中多種數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系的同時(shí)，極大地降低了立體幾何問(wèn)題的難度。