伍春蘭 曹建霞

(1. 北京教育學院數(shù)學系，北京 100120；2.中國人民大學附屬中學朝陽學校，北京 100028)

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剖析小組合作交流為主線的數(shù)學教學活動
——以《等腰三角形》一道例題的變式探究課為例

伍春蘭1曹建霞2

(1. 北京教育學院數(shù)學系，北京 100120；2.中國人民大學附屬中學朝陽學校，北京 100028)

目前，以小組合作交流的方式開展教學，已經(jīng)成為了一種時尚，并被廣泛地運用到數(shù)學課堂教學中．但是在小組合作交流為主線的數(shù)學教學活動中，筆者發(fā)現(xiàn)仍然存在一些問題，如：交流的問題缺少合作探究的價值；小組合作交流前缺少必要的獨立思考的環(huán)節(jié)；小組合作交流的時間不充分；學生參與度不均衡；教師錯失引導時機，點撥不到位等．

下面以人教版《數(shù)學(八年級上冊)》第十三章13.3《等腰三角形》的一道例題的變式探究課為例，具體剖析.

一、教學活動過程

引例：在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上中點，點D到AB、AC的距離分別為DE、DF(如圖1)，那么DE與DF的關(guān)系是什么？請證明你的結(jié)論．

圖1

分析：學生四人一組進行探究，很快猜測出DE=DF，并給出了證明DE=DF的方法. 教師請小組代表展示交流不同的思考角度，歸納出三種典型證法. 方法一：利用等腰三角形的性質(zhì)(三線合一)和角的平分線的性質(zhì)證明；方法二：利用全等三角形判定及性質(zhì)證明；方法三：利用面積方法證明．教師肯定了方法三的簡潔漂亮，進一步追問學生是怎樣想到此方法的，由此讓所有學生明白當題目中有高的條件時，可以嘗試利用面積來解決問題．

設計意圖：觀察發(fā)現(xiàn)學生都能猜出DE=DF，且至少能用一種方法證明，所以沒有必要一開始就要求學生小組交流，而是在學生獨立思考有一定想法后再小組或全班交流. 這樣不僅讓每位學生有機會獨立分析和解決問題，同時在不同證法的分析和評議中，豐富他們的解題經(jīng)驗. 而方法三，只有個別學生想到. 但由于在本節(jié)課中后面所講解的題目要用到此方法，因此教師特意做了強調(diào)．

變式1：當△ABC不是等腰三角形時，即AB≠AC，D還是BC邊上中點，DE與DF的關(guān)系又會怎樣？

分析：學生先獨立思考，然后小組交流．在教師指導下，學生利用面積進行了探討得出結(jié)論：當AB>AC時，DEDF．

設計意圖：對于變式1的解決，學生的主要困難有兩點：一是想不到分類，二是對用面積方法思考不熟悉．所以在獨立思考受阻后，此時小組交流和教師的點撥是學生亟需的．

變式2：“在△ABC中，AB=AC”這個條件不變，我們可以適當改變“D為BC邊上中點”這個條件再進行探究，如何改變？

分析：學生在教師的啟發(fā)下，將點D做了如下更換：(1)D在BC邊的中線上；(2)D在BC邊的高線上；(3)D在∠A的角平分線上；(4)D為BC邊上的一點；(5)D為BC(或CB)延長線上的一點．

之后教師引導學生將點D的變式分為三類：第一類，D在△ABC邊上，如情形(4).第二類，D在△ABC內(nèi)部，如情形(1)、(2)、(3)，且D不在BC邊上.第三類，D在△ABC外部，如情形(5)．接下來教師指出：我們就來研究點D為BC邊上任意一點，以及D為BC延長線上任意一點的情況.點D到AB、AC的距離分別為DE、DF，那么DE與DF的關(guān)系是什么？請四人小組分工，兩人研究點D為BC邊上任意一點的情形，另兩人研究D為BC延長線上任意一點的情形，最后大家交流．

多數(shù)小組在探究之初沒有思路，教師只好點破：探討DE±DF與CG(點C到AB的距離)之間的關(guān)系．在此提示下，后面的探究較為順暢，學生證明了下列兩個結(jié)論．

結(jié)論1：△ABC中，AB=AC，D為BC邊上任意一點，點D到AB、AC的距離分別為DE、DF，點C到AB的距離為CG(如圖2)，則DE+DF=CG．

結(jié)論2：在△ABC中，AB=AC，D為BC延長線上任意一點，點D到AB、AC的距離分別為DE、DF，點C到AB的距離為CG(如圖3)，則DE-DF=CG.

圖2

圖3

設計意圖：教師沒有直接給出要解決的兩道關(guān)于點D的變式題，而是讓學生經(jīng)歷題目的變式過程，并通過對點D的分類，展現(xiàn)變式的思考路徑.

顯然，當D為BC邊上任意一點，或D為BC延長線上任意一點時，探究DE與DF的關(guān)系是困難的，小組合作是必需的，但當多數(shù)小組沒有思路時，教師還是要適當引導，讓學生探討DE±DF與CG的關(guān)系，因為這是突破難點的關(guān)鍵．

由于時間的原因，最后探究的兩道問題又在小組進行了分工，此策略既完整地實現(xiàn)了本節(jié)課的目標，又體現(xiàn)了合作交流的優(yōu)勢.

二、教學活動反思

教師找到引例和變式2的共性，將這兩道題開放，與變式1構(gòu)成一個系列探究題，這種改編反映了教師良好的學科水平，也為學生提供了探究學習的發(fā)散空間，值得提倡．與此同時還察明學生的最近發(fā)展區(qū)，適度搭建溝通兩道題的橋梁．事實上，兩條線段除了相等和不等關(guān)系外，還可以啟發(fā)學生考慮做運算后的某些不變的性質(zhì)．比如，讓學生探討DE+DF是否為定值，如果是定值，這個定值可以是三角形哪條線段的數(shù)值. 進一步啟發(fā)學生通過特殊點(如D為BC邊上的中點)先行研究，然后將結(jié)論推測到一般情況(D為BC邊上的一點)并證明. 這樣的探究，不僅突破了變式2的難點：將DE、DF的關(guān)系轉(zhuǎn)換成它們的代數(shù)和與CG的關(guān)系，也讓學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程．

通過一個題目的系列變式，讓學生感受到用面積證明的巧妙之處，這個意圖是好的，但不必限制對引例的變式．在變式1呈現(xiàn)前，先讓學生充分對引例多角度地變式：結(jié)論和條件的互換，改變一個條件或結(jié)論，題目呈現(xiàn)的改變等．比如，把引例DE=DF作為條件，尋求點D的位置．即可表述為：當點D在什么位置時，DE=DF？還可表述為：添加一個條件，使DE=DF．再如，引例的條件：AB=AC，D為BC邊上中點不變，把DE、DF分別變?yōu)锳B、AC上的中線或∠ADB，∠ADC的平分線，DE和DF是否相等.當然還可以利用等腰三角形的軸對稱圖形的性質(zhì)，猜想DE、DF分別變?yōu)锳B、AC上的n等分線或∠ADB，∠ADC的n等分線的情況．

總之，將變式作為教學資源，讓學生參與其中，了解變式題的前世今生，然后再根據(jù)本節(jié)課所定的目標，選擇變式題加以實現(xiàn)．這種發(fā)散思維與集中思維并舉的學習方式，有助于學生學習能力的提升和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．

三、教學活動建議

以學生小組合作交流為主線的教學活動，除了通過信息溝通、觀點共享、意義生成等思維碰撞，促進學生的數(shù)學認知更為豐富、深刻、全面以外，其意義還在于學生主體的充分發(fā)揮、多方面心理需求的滿足、分析問題與解決問題能力的提高，以及合作交流、團結(jié)協(xié)作、競爭意識的培養(yǎng)等．因此要取得上述成效，開展以小組合作交流為主線的教學活動時，下面三個問題值得關(guān)注．

1. 建立適宜的合作小組

根據(jù)活動內(nèi)容，采用靈活的編組原則，既可以是優(yōu)中差的組內(nèi)異質(zhì)組合，也可以是全優(yōu)、全中、全差的組內(nèi)同質(zhì)組合，還可以是全男、全女的性別組合等．每組人數(shù)以4至6人為宜，如人數(shù)太少，不利于學生間的討論、交流和互助；如人數(shù)太多，不便管理，也不利于學生間的交流和個人的充分展示，互動得不到體現(xiàn)．每個小組成員在組內(nèi)承擔一個相應的角色，包括組長、記錄員、報告員、檢查員等．這些角色還可以適當調(diào)換，充分調(diào)動學生的積極性，確保他們都主動地參與小組活動．

2. 培養(yǎng)基本的合作技能

教師要強化學生團隊觀念和互幫互學的合作意識，不失時機地向?qū)W生傳授合作的基本技能，比如傾聽、表達、質(zhì)疑、接納、組織管理等技能，使他們學會既善于積極主動地表達自己的見解，敢于說出不同的看法；又善于傾聽別人的意見，相互啟迪，并能夠綜合吸收各種不同的觀點，共同尋找解決問題的思路．

3. 恰當選擇合作交流的內(nèi)容

研究表明，并不是所有的內(nèi)容都適合小組合作交流．在數(shù)學課堂，像學生無法獨立在短時間內(nèi)完成的任務；對學生個人較難完成，但又在學生能力范圍內(nèi)富有挑戰(zhàn)性的問題；抑或是開放性或解決途徑多樣化的問題等，都適合開展小組合作交流活動．

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研發(fā)中心. 義務教育教科書·數(shù)學(八年級上冊)[M]. 北京: 人民教育出版社，2013：89.

(責任編輯：李 珺)