劉冬雪

（浙江省長興縣夾浦鎮(zhèn)中心小學(xué)）

借形清楚 有數(shù)明白
——例談“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)高段數(shù)學(xué)中的有效利用

劉冬雪

（浙江省長興縣夾浦鎮(zhèn)中心小學(xué)）

數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的有效方法，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要?！耙孕沃鷶?shù)”讓學(xué)生能夠更直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)；“借數(shù)解形”幫助學(xué)生建立數(shù)感；“數(shù)形結(jié)合”借助表象開闊學(xué)生的思維。數(shù)形結(jié)合是相互聯(lián)系，相互作用不可分割的整體。

以形助數(shù)；借數(shù)解形；數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的有效方法，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤為重要。數(shù)形結(jié)合思想不僅可以幫助小學(xué)生深化對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，還可以為其將來學(xué)習(xí)更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)甚至終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。因此，小學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分挖掘知識(shí)點(diǎn)背后的數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)當(dāng)充分挖掘知識(shí)背后的數(shù)形結(jié)合思想，教會(huì)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要作用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想和必要的應(yīng)用技能。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生素質(zhì)，其中最重要的是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念、形成良好思想素質(zhì)的關(guān)鍵。新課程標(biāo)準(zhǔn)修改后，將“雙基”修改成“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，說明人們已經(jīng)意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性。小學(xué)生正處于以形象思維占主體，向抽象思維過渡的階段。他們對(duì)圖形等直觀事物感興趣，對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系理解有一定困難。為了幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)空間與圖形領(lǐng)域知識(shí)，需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透。

二、數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐應(yīng)用

1.“以形助數(shù)”讓學(xué)生能夠更直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)

在我的教學(xué)中，曾經(jīng)記錄了這樣一件事，六年級(jí)上冊(cè)的獨(dú)立作業(yè)中出現(xiàn)這樣一道題目：學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)方陣人數(shù)過少，所以增加56人，每行增加4人，共增加兩行，現(xiàn)在方陣中有多少人？六年級(jí)學(xué)生的抽象思維已得到一定的發(fā)展，但是對(duì)于較抽象的仍然難以理解，有了圖形的幫助學(xué)生在解決問題時(shí)就顯得輕松，見下圖。

用增加的人數(shù)減去交叉位置的固定人數(shù)：56-8=48（人）

原來方陣的邊長：48÷（2+4）=8（人）

現(xiàn)在方陣的邊長：8+4=12（人）

方陣的邊長乘邊長得出總數(shù)：12×12=144（人）

從語言描述上來分析這道題目，學(xué)生很容易茫然，甚至有些不知所措，在腦海中也較難構(gòu)建出方陣增加的結(jié)構(gòu)圖，如果借助圖形的分析，形象地表示出方陣內(nèi)人數(shù)的排列，就把難題轉(zhuǎn)化了。這種形象思維幫助學(xué)生建立清晰的模型，很快把文字思維轉(zhuǎn)化成形象的圖像思維，使學(xué)生有依據(jù)，清晰地理解題意，從而找到解決問題的方法，借助圖形有效地化解了思考的難題。

2.“借數(shù)解形”幫助學(xué)生建立數(shù)感

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)難直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@樣的論斷能幫助學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中深刻地理解相關(guān)知識(shí)。幾何圖形的構(gòu)建幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念，在小學(xué)高年級(jí)充分挖掘?qū)W生的空間觀念，培養(yǎng)數(shù)感，為初中幾何圖形的深入學(xué)習(xí)拓展鋪墊。

例如，在人教版六年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)思考中有這樣的題目：

（1）多邊形內(nèi)角和與它的邊數(shù)有什么關(guān)系？

（2）一個(gè)九邊形的內(nèi)角和是多少度？

（3）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是多少度？

題中給出了三角形內(nèi)角和180°，四邊形內(nèi)角和360°。利用學(xué)生已有的知識(shí)——三角形的內(nèi)角和為180°，分解五邊形，通過連接對(duì)角線可以把五邊形分成3個(gè)三角形，學(xué)生不難得出五邊形的內(nèi)角和度數(shù)540°。六邊形呢？繼續(xù)劃分若干個(gè)三角形，得出4個(gè)三角形，即六邊形內(nèi)角和為180×4=720°，如果畫圖形來求和，那么隨著邊數(shù)的增加畫圖的難度將越來越大，連接兩角之間的對(duì)角線也變得越來越困難，不可能把任意多邊形的圖一一畫出去尋找規(guī)律，所以，在這個(gè)時(shí)候借助數(shù)字來解決圖形問題變得十分重要，認(rèn)真觀察數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)任意多邊形的內(nèi)角和都等于（邊數(shù)-2）×180°，觀察圖形借助數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

多邊形三角形四邊形五邊形六邊形 …… 九邊形 …… n邊形_邊數(shù) 3 4 5 6____…… 9…… n內(nèi)角和 180° 360° 540° 720° …… ……________

由此可以推導(dǎo)得出：

三角形：（3-2）×180°=180°

四邊形：（4-2）×180°=360°

五邊形：（5-2）×180°=540°

六邊形：（6-2）×180°=720°

……

九邊形：（9-2）×180°=1260°

……

n邊形：（n-2）×180°

根據(jù)數(shù)的規(guī)律尋找出圖形的特點(diǎn)，借助數(shù)據(jù)探尋幾何圖形的規(guī)律，從特殊到一般，從而達(dá)到通過幾何圖形發(fā)展學(xué)生的空間觀念，建立良好數(shù)感，為下一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3“.數(shù)形結(jié)合”借助表象開闊學(xué)生的思維

不管是形助數(shù)，還是數(shù)解形，都是相互聯(lián)系、相互交錯(cuò)的。數(shù)形結(jié)合是相互聯(lián)系、相互作用不可分割的整體，只有數(shù)形結(jié)合才能有效開闊學(xué)生思維，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念，建立數(shù)感。在人教版小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的練習(xí)題中有這樣一道題目：

三、數(shù)形結(jié)合思想的有效利用

數(shù)形結(jié)合需要教師采用直觀教學(xué)，將數(shù)學(xué)內(nèi)容以生動(dòng)的圖形或動(dòng)畫展現(xiàn)給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)靈活起來，就要求教師能讀懂教學(xué)內(nèi)容，吃透教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并把這種思想積極有效地運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中來，授之以漁，開拓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，習(xí)得途徑，夯實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效通道。

［1］陳婉華.在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的多種能力［J］.青年探索2005（6）.

［2］曹培英.跨越斷層走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀：幾何直觀（上）［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（6）.

［3］孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式［J］.課程·教材·教法，2012（7）.

·編輯 王團(tuán)蘭

從表面上看是能變成12種速度，但是實(shí)際上又能變成11種不同的速度，那么根據(jù)普通自行車行駛速度的模型，學(xué)生很容易就會(huì)想到，要使自行車走得最遠(yuǎn)，應(yīng)該選用前后齒輪數(shù)比最大的組合，應(yīng)用模型解釋變速自行車的變速原理及實(shí)際應(yīng)用。同時(shí)我還設(shè)計(jì)了在不同的路況應(yīng)選用的組合，如順風(fēng)路段和爬坡路段，在這個(gè)過程中學(xué)生還提到了用力的問題。這樣的模型應(yīng)用，讓學(xué)生興趣盎然，也感受了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

模型思想的建立是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，需要老師的注重和不斷滲透。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在對(duì)新舊知識(shí)的否定之否定中經(jīng)歷無數(shù)個(gè)建構(gòu)、解構(gòu)的過程。因此，任何一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型一般，它需要充足的材料、充足的時(shí)間，更需要充足的耐心來搭建它，不要讓結(jié)果代替過程，一定要與學(xué)生一同經(jīng)歷這個(gè)不可或缺的美妙建構(gòu)過程。

參考文獻(xiàn)：

［1］張明.模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［D］.華中華師大學(xué)，2014.

［2］辛斌.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生模型的探討［J］.中國校外教育，2015（12）.

·編輯 王團(tuán)蘭