吳定根

（安徽省蕪湖市三園小學）

運用數形結合思想，設計課堂教學

吳定根

（安徽省蕪湖市三園小學）

數形結合思想是數學重要的思想方法，新一輪課改教材進一步強化了這一思想方法。作為數學教師理應將這種數學思想方法滲透在相關內容的教學過程中，培養(yǎng)學生良好的數學素養(yǎng)與思維品質。

幾何是數形的結合體。數與形如影隨形，形是數的外在表現(xiàn)，而數是形的內在本質。數與形總是相輔相成的，既可“以形變數”，也可“以數化形”“形數互變”，數與形具有一定的對應性。

在一次數學活動課上，筆者以圖為載體，通過一題多解，發(fā)散思維，訓練學生數形結合的思想方法，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神與探究能力。

一、找“朋友”，初步感知數形結合思想

用直線將下列可能相關的算式與圖形連起來，并說出理由。

二、以形求數，用代數法解答

出示例題，“如圖1，正方形ABCD的邊長為4厘米，EF//BC，△CEH的面積為6平方厘米，求GF的長?！?/p>

先讓學生同位或前后四人為一組，討論解題策略。

如果用算術法解答，有一定的難度，先啟發(fā)他們用代數法思考，嘗試解答。

一生這樣做：

圖1

設：△EGH的高為a厘米，△CEG的高為b厘米。所列代數式如下：

解得：EG=6×2÷4=3 GF=4-3=1。

另一生得到另一種結果：

設：△EGH的高為x厘米，面積為S平方厘米。所列代數式為：

還有一生是這樣解答的：

設：△EGH的高為x厘米。列出代數式：

在集體評議時，大家一致認為前者和后者解答正確，而對第二種解法的評價是：“一個沒有結果的算式”而已，甚至連解題者本人對這種做法也感覺莫名其妙，難以自圓其說。筆者首先肯定第二種解題方法求EG長也是可以的，它抓住了△EGH與△CEG共底的等量關系列式。再讓大家將此解法的最后算式對照△EGH，分析算式“3×x×”表示的意義。學生理解了算式的含義，這才明白了算式中的“3”就是△EGH的底（EG的長），x是高，S= 3×x×是△EGH的面積計算，大家終于悟出了答案就隱藏在算式中。教師在此有意識地引導學生運用數形結合思想，將算式與圖形（△EGH）作對照，強調數形的對應性。如果學生沒有數形結合思想，就無法理解算式中的答案“3”。

因勢利導，教者又進一步告知學生，幾何圖形的數與形總是相互依存的，往往有什么樣的圖形就會列出怎樣的算式，而何種算式也可以折射它是一個什么樣的圖形，數與形就是這種形與影的關系。以上這三種解答方法都是由“形”求出“數”，特別是第二種解法，數形完全相符，即S=3×x×清楚地顯示出△EGH的面積計算。

三、由數化形，用算術法解答

引導學生觀察分析第一種解法最后的代數計算結果所呈現(xiàn)出的算術式：“6×2÷4=3”，第三種解法的最后解答結果所呈現(xiàn)的算術式：“6÷2=3”，將它們分別對照圖1中的△CEH，看看這兩種解答方法的數（算式）與形是否完全相符。經過一番思考與討論，大家覺得這兩種解法結果所呈現(xiàn)的算術式與圖1均不相符。此刻，教師明確指出：在正常情況下，算式與圖形總是相對應的。既然有這樣的算式，就必然有與之相對應的圖形，肯定可以通過“等積變形”的方法，達到圖形與算式相一致，那就可以直接用算術方法解答了。

先觀察第一種解法的算式GE=6×2÷4，分析算式的含義，讓學生推想變形后的三角形應是面積為6平方厘米，底為4厘米，GE應該是高。

于是，讓學生結合算式與圖形的關系，動腦動手，嘗試等積變形，用算術方法求EG。

幾分鐘后，有一組學生是這樣做的（如圖2）：

首先，連接AG、BG，得到△ABG。

因為，△AEG=△EGH（同底等高），△BEG=△CEG（同底等高）。

所以，△ABG=△CEH=6。這樣，就把△CEH轉化成△ABG，其面積依然為6平方厘米，底是正方形邊長4厘米，EG是這個三角形的高。

因此，EG=6×2÷4=3，F(xiàn)G=4-3=1。

圖2

充分肯定該組“等積變形”的研究成果，同時進一步強調算式與圖形對應一致。再用上述方法猜想第三種解法EG=6÷2=3的對應圖形，應怎樣等積變形？學生很容易地說出，應該是一個面積為6平方厘米，寬為2厘米的長方形。

告訴學生，距離成功只有一步之遙了。只要能將△ABG轉化成長方形，與上面的算式EG=6÷2=3相符合，鼓勵學生在圖2的基礎上繼續(xù)探究。

在距離下課時間只有幾分鐘的時候，終于有學生成功地解決了這個問題。

其解題思路為（如圖3）：

作長方形ADFE的平分線XY，再作長方形BCFE的平分線JK，過G點作CD的平行線NM。將圖3中的1移往2，將3移往4，正好拼成了一個寬為2厘米，面積為6平方厘米的長方形XPqJ，而EG相當于這個長方形的長。

所以，EG=6÷2=3，F(xiàn)G=4-3=1。

圖3

這個學生的解答完全正確。在此基礎上，教師再次引導學生印證代數法的最后算式EG=6÷2=3與推想出來的圖3是否完全吻合。

教師小結：就這道題，我們由“形”列式求數，再由算式推想圖形，數形相互轉化，讓我們用算術法又一次解決了問題。這種解題策略就是運用了“數形結合”思想。最后，屏幕上顯示著名數學家華羅庚畫像及其詩句，以“數形結合百般好，隔離分家萬事休”的名句結束本節(jié)課。

運用數形結合思想，可將人們引入一個數學新天地，讓人進一步領略數學的美妙與情趣，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維具有積極作用。

張曉明.淺談數形結合思想在小學數學中的應用［J］.學周刊，2014（33）.

·編輯 楊國蓉