繆海峰

[摘 要] 解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生解題能力的提升是教師和學(xué)生都十分關(guān)注的焦點(diǎn)，本文從高中數(shù)學(xué)解題的反思角度進(jìn)行思考與分析，重點(diǎn)探討反思的途徑與策略，以期提升學(xué)生創(chuàng)新思維能力，進(jìn)而提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞] 解題反思；思維能力；提升

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需要注重解題反思教學(xué)，不僅讓學(xué)生對解題過程進(jìn)行簡單回顧，而且要引導(dǎo)學(xué)生對解題過程的重新認(rèn)識與深層次思考，梳理解題過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識、解題方法和解題思路等，從而加深學(xué)生對教學(xué)知識點(diǎn)的理解與掌握，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生在解題中做到游刃有余.

反思解題知識，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識是解題的基礎(chǔ)，而發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系是找到解題思路，正確解題的關(guān)鍵. 因此，高中數(shù)學(xué)教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)知識的“交匯點(diǎn)”，依據(jù)概括知識點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)知識“交匯點(diǎn)”和知識“交匯點(diǎn)”應(yīng)用的順序，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò).

例1 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c圖象和直線y=25有交點(diǎn)，并且不等式f（x）>0的解為-

解析：由不等式f（x）>0的解為-

反思：從題目中可知，一元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式構(gòu)成“知識鏈”，二次函數(shù)和直線y=25交點(diǎn)即為方程解的橫坐標(biāo)，而不等式用來確定函數(shù)在定義域內(nèi)正負(fù)區(qū)間. 如果從函數(shù)思想出發(fā)分析方程和不等式，則解方程f（x）=0即為求函數(shù)f（x）零點(diǎn)，解不等式f（x）>0或者f（x）<0即為求函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的正負(fù)區(qū)間. 學(xué)生只有掌握每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，尋找不同知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，并對解題所用知識點(diǎn)進(jìn)行反思，才能加深對知識點(diǎn)理解與掌握的深度和廣度，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的思維能力.

反思題意理解，增強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性

很多學(xué)生在解題時沒有準(zhǔn)確理解題意，在對題目信息進(jìn)行解構(gòu)時不自覺地加上自己的主觀臆斷，從而使解題過程出現(xiàn)偏差. 因此，在解題教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思題意理解，注重思維的全面性與縝密性，從題目獲取信息時做到不增不減.

例2 設(shè)集合A={xx2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，試求A中所有元素的和.

錯解：已知x2+（b+2）x+b+1=0，由韋達(dá)定理，可得x1+x2=-b-2，則A中所有元素和為-b-2.

題目錯解主要體現(xiàn)在：①直接認(rèn)為方程有兩根；②將集合A中所有元素的和等同于一元二次方程根的和；③沒有討論參數(shù)b的取值情況. 學(xué)生出現(xiàn)錯解的原因是在理解題意時出現(xiàn)偏差，不但片面地認(rèn)為一元二次方程有根，而且將兩根之和認(rèn)為是“兩不相等根”，從而在解題中出現(xiàn)錯誤.

正解：由x2+（b+2）x+b+1=0可得Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2≥0，則方程有兩根；當(dāng)b=0時，A={-1}，集合A中所有元素的和為-1，當(dāng)b≠0時，A={-1，-b-1}，集合A中所有元素的和為-b-2.

反思：①已知條件中，集合A表示方程x2+（b+2）x+b+1=0的根，并且方程中含有參數(shù)b；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程根的情況需要通過判別式進(jìn)行判斷：Δ>0方程有兩不等根；Δ=0方程有兩等根；Δ<0方程無根.錯解中由韋達(dá)定理得出x1+x2=-b-2，實(shí)際上是片面認(rèn)為一元二次方程的Δ>0，出現(xiàn)了理解偏差. ②題目求集合A中所有元素的和，其與求一元二次方程兩根之和并不能完全等同，如果一元二次方程有兩等根，則依據(jù)集合元素的互異性，集合A中所有元素的和只等于方程一根數(shù)值.如題目中，當(dāng)b=0時，一元二次方程有兩等根x1=x2=-1，集合A={-1}，集合A中所有元素的和為-1；而不是集合A={-1，-1}，集合A中所有元素的和為-2.

反思解題策略，拓寬學(xué)生的解題思路

在解題過程中，當(dāng)學(xué)生審題結(jié)束后，需要依據(jù)對題目已知條件的理解，選擇合適的解題策略. 如果解題策略出現(xiàn)錯誤，解題過程也會隨著出錯，自然無法得到正確答案. 因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思解題策略，拓寬學(xué)生的解題思路.

例3 已知x≥0，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范圍.

解法一：由x+y=1，可得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x-+. 又因?yàn)閤∈[0，1]，依據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：當(dāng)x=時，x2+y2取最小值；當(dāng)x=0或1時，x2+y2取最大值1，則取值范圍為，1.

解法二：根據(jù)題意可設(shè)：x=sin2θ，y=cos2θ，θ∈[0，2π]，

則x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ，當(dāng)sin2θ=1或-1時，取最小值；當(dāng)sin2θ=0時，取最大值1. 取值范圍為，1.

解法三：設(shè)d=x2+y2，則d為動點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）距離平方，C為線段AB上的一點(diǎn)；根據(jù)題意可知A（0，1），B（1，0），只須求出線段AB上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大與最小距離.當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時，dmax=1，則x2+y2取最大值1；當(dāng)OC⊥AB時，dmin=，則x2+y2取最小值.取值范圍為，1.

反思：在解法一中，學(xué)生運(yùn)用常規(guī)解題策略，通過二次函數(shù)求解最值，其解題過程較為復(fù)雜煩瑣；在解法二中，學(xué)生利用三角函數(shù)，通過公式變換求解最值，已經(jīng)將解題過程加以簡化；在解法三中，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解題過程更加簡單，但是思維跳躍性較大. 教師在解題教學(xué)中，需要幫助學(xué)生樹立正確的解題觀念，不能只注重解題過程和答案的正確性，而是需要對解題策略進(jìn)行反思，尋找更簡單快捷的解題策略，這樣可以有效拓寬解題思路，使學(xué)生在解題時做到舉一反三，提高解題的準(zhǔn)確率.

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題反思，在解題結(jié)束后，重新梳理解題所用知識點(diǎn)，以及題意理解的過程和解題策略，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，在提升學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量與效率，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長的目的.