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[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于知識發(fā)生去理解數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建、知識的應(yīng)用與數(shù)學(xué)探究，可以建立以思維發(fā)展為主線的數(shù)學(xué)教學(xué)思路，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)的有效教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；知識發(fā)生；概念構(gòu)建；知識應(yīng)用；數(shù)學(xué)探究

在課程改革進(jìn)入深水期之際，高中數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了喜憂參半的景象：一方面，對課程改革的討論不再局限于教學(xué)方式本身，膚淺的小組合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)探究等也遠(yuǎn)離了數(shù)學(xué)課堂，這無疑是課程改革的一種進(jìn)步，一種由形式向?qū)嵸|(zhì)轉(zhuǎn)變的進(jìn)步；另一方面，也由于課程改革的基本要領(lǐng)遠(yuǎn)離了教學(xué)研讀的情境，使得課程改革的一些理念遠(yuǎn)離了課堂，從而使得當(dāng)前的教學(xué)有向應(yīng)試回潮的現(xiàn)象. 筆者以為要改變這一現(xiàn)狀，關(guān)鍵在于教師建立自身的教學(xué)觀點(diǎn)，在繼承傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)點(diǎn)的同時，進(jìn)一步吸納課程改革中形成的科學(xué)有效的觀念，以使得自己的教學(xué)既適應(yīng)課程改革的需要，也適應(yīng)學(xué)生發(fā)展尤其是數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的需要.

基于這一認(rèn)識，筆者以為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)知識的生成過程，要高度重視學(xué)生的思維發(fā)展，這樣才能讓有效教學(xué)的理念在高中數(shù)學(xué)這一具體的學(xué)科語境中得到鞏固與發(fā)展. 本文試就此觀點(diǎn)進(jìn)行一些討論.

重視數(shù)學(xué)概念的形成過程，促進(jìn)學(xué)生概念構(gòu)建能力的提升

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基石，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)歷來為高中數(shù)學(xué)教師所重視. 與此同時也應(yīng)當(dāng)看到，對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)更多的情況下還是局限于教材的設(shè)計，因而也就缺少了從學(xué)生的角度去看待概念的生成過程，這就使得學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知方式不能有效地參與數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，從而白白流失了促進(jìn)學(xué)生概念構(gòu)建能力提升的機(jī)會.

筆者以為，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有一個重要的前提，那就是學(xué)生對建立概念所需要的材料的思辨與分析. 課程改革對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的要求是，“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程”，這意味著在數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的過程中，學(xué)生的作用不能忽視. 事實(shí)也證明，如果真正讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建，那學(xué)生對概念的理解與掌握要深刻得多，應(yīng)用也要嫻熟得多.

以“數(shù)列極限”概念的教學(xué)為例，在生活中，學(xué)生對極限的理解常常有“極端”的意思，也有“極盡所能”的意思（這兩種說法均來自于筆者在實(shí)際教學(xué)中的口頭調(diào)查），這說明當(dāng)學(xué)生用語言來描述“極限”這一概念的時候，有著強(qiáng)烈的前概念在發(fā)揮作用. 因此筆者在教學(xué)這一概念的時候，先給出了一個古老的說法，那就是“一尺之竿，日取其半，萬世不竭”. 具有一定語言素養(yǎng)的學(xué)生，自然能夠讀懂其中的含義：一根長為一尺的竿子，假如一日截掉它的一半，那么即使是千萬年后仍然無法切割完畢（這也是學(xué)生在課堂上的原話）. 這樣的樸素理解，實(shí)際上是在學(xué)生的思維中建立了一個等比數(shù)列的模型，也就是說在學(xué)生的思維中已經(jīng)完成一個“日取其半”的思維加工，然后用數(shù)學(xué)語言描述這一過程時，為公比的數(shù)列模型就容易形成. 在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生將數(shù)列的項呈現(xiàn)在數(shù)軸之上，學(xué)生就容易得到數(shù)列極限這個概念的特征. 而當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)列是無窮數(shù)列且無限接近于一個常數(shù)時，數(shù)列極限這一概念的具體形象便完全呈現(xiàn)出來.

分析這一概念形成的過程，筆者發(fā)現(xiàn)在其中講授很少，很多數(shù)學(xué)理解都是學(xué)生自主構(gòu)建出來的，而之所以有這樣的效果，其實(shí)也就是筆者給予了學(xué)生相當(dāng)豐富的空間，學(xué)生可以在這個空間中自由地建立數(shù)學(xué)模型，自由地思考該數(shù)列模型的特征，當(dāng)這個特征在小組討論的過程中成為大家的一種共識的時候，他們就會對自己的發(fā)現(xiàn)抱有相當(dāng)?shù)男判?，從而讓?shù)學(xué)概念建立的基礎(chǔ)更加牢固. 在這個過程中，學(xué)生的思維能力是如何得到發(fā)展的呢？根據(jù)筆者的觀察與判斷，其應(yīng)當(dāng)是這樣的：學(xué)生在教師的問題驅(qū)動之下，開始結(jié)合給出的“一尺之竿，日取其半，萬世不竭”表述構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這個時候的數(shù)學(xué)模型還是物質(zhì)性的，學(xué)生的思維當(dāng)中一般都是一個“一尺之竿”，然后真的有“日取其半”的動作，這是一種形象思維的產(chǎn)物；然后再用抽象思維加工這個產(chǎn)物，于是便形成一個抽象的“1”，并日取其“”，于是抽象思維支撐下的數(shù)學(xué)模型便誕生了.在用純粹的數(shù)列、數(shù)軸表示時，學(xué)生的抽象思維更是得到了充分的培養(yǎng)，這些思維過程應(yīng)當(dāng)說就是極限數(shù)列形成的重要支撐.

關(guān)注數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程，促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升

數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，通常的應(yīng)用往往是數(shù)學(xué)習(xí)題，當(dāng)然也有一些實(shí)際問題的解決，這里最顯而易見的思維就是問題解決過程中的思維. 課程改革對問題解決高度重視，對于作為一種思維形式存在的問題解決也高度重視. 但在實(shí)際教學(xué)中，問題解決常常被一線教師認(rèn)為就是解決問題，因而一種思維方式很容易就成為一種解決問題甚至數(shù)學(xué)題的過程，應(yīng)當(dāng)說這是對問題解決的一種不恰當(dāng)?shù)睦斫?

教育心理學(xué)的研究結(jié)果表明，問題解決是一種重要的思維形式，也是一種能力體現(xiàn).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，問題解決有兩種體現(xiàn)：一是對于實(shí)際問題而言，就是學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識構(gòu)建實(shí)際問題解決的模型，然后借助數(shù)學(xué)模型來完成問題的分析、解決、評估的過程；二是對于數(shù)學(xué)習(xí)題而言，是學(xué)生在面對數(shù)學(xué)習(xí)題的時候，能夠準(zhǔn)確迅速地調(diào)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，去完成該習(xí)題中問題與已知之間的邏輯關(guān)系. 通常情況下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以后一種問題解決的思路為主，因此此處針對此類問題解決進(jìn)行闡述.如下一題：

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長.

圖1

在此問題解決的過程中，學(xué)生的思維應(yīng)當(dāng)能夠根據(jù)題意，將該圖放到空間直角坐標(biāo)系中去完成，如設(shè)該空間直角坐標(biāo)系為A-xyz，則可以得出P、B、C、D等各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而借助于向量知識來完成問題的求解. 事實(shí)上在教學(xué)中，學(xué)生感覺到最驚奇的就是開始這個思維，有學(xué)生提出，怎么就能想得到將一個純粹的幾何題放到空間直角坐標(biāo)系中去呢？

學(xué)生問出這個問題，反映出在學(xué)生的思維中，還沒有形成很好的數(shù)形結(jié)合的思想，而這恰恰是數(shù)學(xué)問題解決的一大關(guān)鍵，某種程度上也反映著學(xué)生的思維水平. 相應(yīng)的是，在本題的解決過程中，教師可以之為機(jī)會，跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)只要在數(shù)與形之間存在著聯(lián)系，那問題的解決就可以考慮從形到數(shù)，或者從數(shù)到形，只要一方能夠促進(jìn)另一方的問題的解決，那這種思路就是可取的. 在實(shí)際教學(xué)中筆者還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的這種數(shù)形結(jié)合思想的缺失與日常的數(shù)學(xué)問題解決存在關(guān)系，由于此類問題相對較少，因此在學(xué)生的思維中難以形成清晰的解決思路，從而制約了學(xué)生的思維觸角向數(shù)形結(jié)合延伸，這也提醒我們，日常的數(shù)學(xué)問題解決，不能囿于常規(guī)，需要發(fā)散性訓(xùn)練.

設(shè)計數(shù)學(xué)探究的實(shí)施過程，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的提升

數(shù)學(xué)探究是課程改革中的重要概念，也是提升學(xué)生思維尤其是數(shù)學(xué)思維能力的良好方式.從當(dāng)前的實(shí)際來看，數(shù)學(xué)探究往往還只是少數(shù)重要知識的教學(xué)選擇，筆者以為這是符合當(dāng)前實(shí)際需要的. 耗時較多的數(shù)學(xué)探究不必占據(jù)所有的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而對于重要的數(shù)學(xué)規(guī)律的探究，則可以讓學(xué)生的思維能力尤其是邏輯思維能力得到明顯的提升. 數(shù)學(xué)探究的思想必須建立，在一些重要規(guī)律的某個環(huán)節(jié)實(shí)施探究，也是有價值的嘗試.

在“平面向量的基本定理”教學(xué)中，筆者給學(xué)生提供了若干個可以分解為水平方向與豎直方向的實(shí)例，讓學(xué)生去比較鑒別，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的統(tǒng)一性規(guī)律，然后提出了一個問題：是不是每個向量都能像這樣分解. 這個問題與通常情況下提出的“平面內(nèi)任一向量是否都可以用兩個不共線的向量來表示”已經(jīng)相當(dāng)接近，這說明這樣的比較過程是有效的，是促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展的. 也許有人會說，這不是一個像樣的數(shù)學(xué)探究啊. 從形式上來看可能確實(shí)如此，但筆者以為數(shù)學(xué)探究不一定非得是大規(guī)模的、各個環(huán)節(jié)齊全的探究，完全可以基于學(xué)生思維發(fā)展的細(xì)節(jié)性探究. 在筆者提供的實(shí)例中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了分析、比較、提問、猜想等過程，已經(jīng)具有了數(shù)學(xué)探究的不少特征，將其理解為數(shù)學(xué)探究，并以這種思路貫串更多的數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)，筆者以為是恰當(dāng)?shù)?