【摘 要】文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式， 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，本文討論了應(yīng)用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)的問(wèn)題以及帶有Pe？琢no余項(xiàng)的T？琢ylor公式有關(guān)的導(dǎo)數(shù)概念的推廣即Pe？琢no導(dǎo)數(shù)。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；極限；斂散性；凸凹性；拐點(diǎn)

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。泰勒公式的余項(xiàng)有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式， 皮亞諾型余項(xiàng)；另一種是定量的，如拉格朗日余項(xiàng)、柯西型余項(xiàng)等?？梢杂脕?lái)很好的解決有關(guān)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。帶有余項(xiàng)的公式建立了函數(shù)與它的階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在理論和實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問(wèn)題以及行列式的計(jì)算等方面有重要的應(yīng)用。通過(guò)本文的論述，我們可以了解到高階導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點(diǎn)展成泰勒公式，一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇展開(kāi)點(diǎn)（展開(kāi)點(diǎn)未必一定是具體數(shù)值點(diǎn)，有時(shí)以為佳）。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。

作者簡(jiǎn)介：郭勝紅（1979.2-），男，甘肅蘭州人，漢族，講師.主攻方向：數(shù)學(xué)教育。

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