著名數(shù)學(xué)史家M·克萊因提出“歷史是教學(xué)的指南”。數(shù)學(xué)史料就是數(shù)學(xué)的歷史，它自然就是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。教研員邵漢民老師自2008年開始，就致力于數(shù)學(xué)史料有效利用于數(shù)學(xué)課堂的實踐研究，經(jīng)歷了學(xué)習(xí)、整理、教育學(xué)化與教學(xué)實踐等幾個階段，積累了一些資料與教學(xué)經(jīng)驗。對此，本刊特邀請邵漢民老師及其團隊組了一組專題，供大家參考。

【摘 要】數(shù)學(xué)史料是重要的數(shù)學(xué)背景性知識，數(shù)學(xué)史料為我們揭示數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程。依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合教材內(nèi)容，分析學(xué)生學(xué)情，把數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)知識點之間建立聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)史情境，設(shè)計教學(xué)流程，或把數(shù)學(xué)史料滲透于教學(xué)環(huán)節(jié)中，或融入于數(shù)學(xué)探究中，或作為課程開發(fā)的重要資源。讓數(shù)學(xué)史料成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不竭源泉。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史料 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 教學(xué)策略

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)的背景知識——數(shù)學(xué)史料，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化氣息的重要載體，從數(shù)學(xué)教材內(nèi)容出發(fā)，收集、整理與數(shù)學(xué)知識相對應(yīng)的數(shù)學(xué)史料，依據(jù)數(shù)學(xué)史料所提供的背景知識，創(chuàng)設(shè)具有濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息的問題情境，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識與技能，也受到了數(shù)學(xué)的文化熏陶。基于這樣的認識，近年來，筆者就如何有效利用數(shù)學(xué)史料，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)展開了實踐研究，總結(jié)了如下的教學(xué)策略。

一、滲透式教學(xué)

（一）直接引用

在數(shù)學(xué)史料中，有一些古人在長期的實踐研究中積累的經(jīng)典數(shù)學(xué)定義、法則與定理，雖然隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，被埋入歷史的塵埃，但是，如果能夠進行合理的引用，卻可以揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加深對數(shù)學(xué)的理解。

例如教學(xué)“圓的認識”時，在學(xué)生已經(jīng)理解了圓心、半徑與直徑的概念之后，教師談話引入：

很早以前，人們就對圓進行了研究，發(fā)現(xiàn)了圓的規(guī)律。如春秋戰(zhàn)國時期的一位大思想家墨子就對圓進行了研究，在他的一本著作《墨子·經(jīng)上》中對圓有這樣的描述：“圓，一中同長也。”（教師板書）誰能解釋這句話的意思？

把墨子對圓的定義作為小結(jié)，很巧妙地把數(shù)學(xué)史有機地滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，相得益彰，使數(shù)學(xué)教學(xué)更有了一種文化的厚重感。這樣的例子還有一些，如圓周率的近似值“周三徑一”，描述圓的特征的“圓出于方”，試商的方法“折半商五”等等。

（二）創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)史料記錄了許多數(shù)學(xué)概念在形成過程中的各種曲折與探索，教師可以根據(jù)學(xué)生的認識水平，創(chuàng)設(shè)情境，再現(xiàn)數(shù)學(xué)符號、法則與定律的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生進行更加生動與深刻的數(shù)學(xué)思考。

例如，為加深學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的社會約定性的初步認識，教師在介紹“+”的由來時，創(chuàng)設(shè)了如下的問題情境。

①教師出示：已知5⊥3=8，求8⊥5=（ ）

②學(xué)生獨立完成后校對，并說出思路。

③提問：這題中的“⊥”相當(dāng)于我們學(xué)過的哪一個運算符號？

④追問：如果全世界都用“⊥”代替原來的這個運算符號，你說可以嗎？為什么？

⑤教師講述“+”的由來。

數(shù)學(xué)中的運算符號是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是一種世界通用的語言。但是在數(shù)學(xué)發(fā)展的某些階段，它并不是統(tǒng)一的。通過上面的情境設(shè)置，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)符號由多元走向統(tǒng)一的過程。

從上例中也體現(xiàn)了我們的一個觀點，滲透數(shù)學(xué)史知識不是簡單地介紹它的歷史，而是要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡，體會數(shù)學(xué)的形成過程。

（三）習(xí)題改編

習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，為使習(xí)題更有人文氣息，對于部分習(xí)題可以依據(jù)它們與相關(guān)數(shù)學(xué)史料的聯(lián)系，進行適當(dāng)?shù)难a充與改編，用數(shù)學(xué)史料潤色平淡的數(shù)學(xué)題目。

如人教版數(shù)學(xué)二年級上第31頁第12題（如下圖）。

完成本題之后，可以把它改編為“洛書”。

完成第12題后，教師出示一個由1至9九個數(shù)組成的九宮格（下左圖），請學(xué)生觀察是不是也有第12題一樣的規(guī)律？

再出示“洛書”投影（下右圖），問這像什么？它與我們剛才填的九宮格有什么聯(lián)系？你喜歡看哪一幅圖？

最后，教師講述“洛書”的傳說。

依據(jù)數(shù)學(xué)史料改編習(xí)題，可以豐富習(xí)題的文化內(nèi)涵，使得習(xí)題變得更加生動，提高學(xué)生解題的興趣。

（四）創(chuàng)編故事

我們這里的數(shù)學(xué)故事是從數(shù)學(xué)史料中引用或由數(shù)學(xué)史料加工而得到的故事，它既具有數(shù)學(xué)性，又具有趣味性與教育性。

如一上年級學(xué)生在學(xué)習(xí)了“10以內(nèi)數(shù)的認識”之后，教師結(jié)合具體的圖片，向?qū)W生講述數(shù)字的由來。

教師首先依次出示如下圖片，分別講述在沒有數(shù)字之前，古人是如何記錄數(shù)量的。

再請學(xué)生評一評，與我們用數(shù)字記錄相比，有什么不方便的地方？接著教師出示如下數(shù)字。

教師引導(dǎo)學(xué)生進行比較，我們現(xiàn)在用的1～9這幾個數(shù)碼與圖中的記數(shù)方法有什么相似的地方，與它們相比又有什么優(yōu)點？

數(shù)學(xué)知識的形成經(jīng)歷了一個漫長的過程，把這一過程進行梳理、提煉、創(chuàng)編，就形成了一個個數(shù)學(xué)故事。數(shù)學(xué)故事，不是數(shù)學(xué)史料的直接引用，而是結(jié)合學(xué)生的年齡特點，進行了必要的加工與概括的數(shù)學(xué)史料。

（五）引用解題方法

解題方法既是解決問題的工具，也是解決問題的過程。在數(shù)學(xué)史料中，記錄著一些現(xiàn)在已經(jīng)不通用，但又可以拓展學(xué)生思維空間的解題方法，在合適的時機向?qū)W生介紹這樣的解題方法，可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思路。

如在《九章算術(shù)》中，計算圓環(huán)面積時用的方法是“并中外周而半之，以徑乘之為積步”。也就是用“圓環(huán)面積=（內(nèi)圓周長+外圓周長）×圓環(huán)寬÷2”這種思路，其實質(zhì)是把圓環(huán)“伸直”，使它成為等腰梯形，然后按梯形的面積計算公式的形式來進行計算，很有想象力。在六上年級學(xué)習(xí)了圓環(huán)的面積計算方法之后，教師可以介紹這一種方法，并請學(xué)生說明這樣做的理由，再通過推理驗證這樣計算也是正確的。

這樣的例子還有一些，如三角形面積計算公式推導(dǎo)中劉徽的“出入相補法”，多位數(shù)乘法中的“鋪地錦”，測量時間中的“刻漏”等。

二、融入式教學(xué)

（一）融入問題解決之中

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強調(diào)“讓學(xué)生親自經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型進行解釋與應(yīng)用的過程”。為此，教師在鉆研教材時，要不斷地追問：這些數(shù)學(xué)知識是如何形成的？它包含著哪些數(shù)學(xué)背景知識？它蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)思想？

《九章算術(shù)》對分數(shù)作了這樣的定義：“（實）不滿法者，以法命之”。劉徽對此注云：“凡實不滿法者而有母子之名”。稍后問世的《孫子算經(jīng)》講得更加明白：“凡除之法，……實有余者，以法命之，以法為母，實余為子。”

從文獻對分數(shù)產(chǎn)生的理解，分數(shù)是為了使除法得以普遍施行而引進的新數(shù)。與教材的引入相比，更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在解決實際問題時進行的自我建構(gòu)的軌跡（見下圖）。

對要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)概念、法則與公式，通過文獻資料的查詢，搞清在“成形”之前人們對它們的認識歷程，并結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗與認識基礎(chǔ)組織教學(xué)，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)的探究之路。

（二）融入規(guī)律探究之中

小學(xué)數(shù)學(xué)的概念、定義、法則的產(chǎn)生與形成，大多經(jīng)歷了漫長的歷程，在課堂上讓學(xué)生真實地經(jīng)歷這樣一個過程，是不可能也是沒有必要的。在設(shè)計數(shù)學(xué)探究的過程時，我們通過閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，再結(jié)合學(xué)習(xí)現(xiàn)實，確定哪些過程適合于學(xué)生探究，哪些過程只要學(xué)生讀史了解。

如圓周長的精確測量是一個千古難題，在對這個難題的破解中，人們發(fā)現(xiàn)了圓周率，并經(jīng)歷了實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期。當(dāng)然，要在短短的40分鐘內(nèi)讓小學(xué)六年級的學(xué)生親身探究這樣的一個過程，無論從時間與已有的知識基礎(chǔ)來說都是做不到的。我們可以做的是，創(chuàng)設(shè)情境，在經(jīng)歷了用實驗法只能得到圓周率的大致值的體驗之后，介紹之后的關(guān)于圓周率的研究成果與方法。

數(shù)學(xué)探究的過程是曲折、漫長的，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)一般經(jīng)歷猜想、實驗、證明與公理化，就小學(xué)數(shù)學(xué)知識的獲得，更多地依靠觀察操作，再通過不完全歸納和合情推理來獲得，也就是數(shù)學(xué)史料中記錄著的數(shù)學(xué)產(chǎn)生與形成的初始階段。

（三）融入探究策略之中

數(shù)學(xué)探究的過程，既是對學(xué)習(xí)材料的分析與加工的過程，更是創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維的過程。在數(shù)學(xué)探究過程中，不同的探究視角，可以得到不同的數(shù)學(xué)思考過程。以史為鑒，可以尋找到全新的數(shù)學(xué)探究策略。

《九章算術(shù)》關(guān)于圓面積計算公式是：半周乘半徑。這個公式是怎樣推導(dǎo)的？《九章算術(shù)》中沒有記載。筆者又查閱到，比《九章算術(shù)》更早的一本數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載著“圓出于方”，就是說圓可以由正方形不斷地切割得到，即圓可以看成是一個邊數(shù)無限的“正多邊形”。那么，是否可以從求多邊形的公式中推導(dǎo)呢？依據(jù)這樣的假設(shè)有了如下的推導(dǎo)思路。

綜合可知，融入式教學(xué)是滲透式教學(xué)的深入，它關(guān)注的是從數(shù)學(xué)史料中尋找數(shù)學(xué)探究的因子，設(shè)計新知學(xué)習(xí)的新思路。

三、課程拓展式教學(xué)

（一）延伸教材中的數(shù)學(xué)素材

數(shù)學(xué)活動需要借助于一定的活動素材，活動素材可以是具體的實物，可以是現(xiàn)實的問題，還可以是抽象的數(shù)字或符號等。如人教版三年級上的“擲一擲”，五年級下的“哥德巴赫猜想”，六年級下的“七橋問題”等，都是借助于一定的活動素材開展的數(shù)學(xué)活動。進一步，可以適當(dāng)延伸這些教材中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，可以進一步拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的空間。

例如，把三年級上“擲一擲”中的活動材料——骰子從2顆增加到3顆，就可以提出新問題，形成新的數(shù)學(xué)活動了，題目如下。

同時任意擲3顆骰子，比較出現(xiàn)點數(shù)和為9與出現(xiàn)點數(shù)和為10的可能性的大小。

這是流傳在歐洲的古老問題。由于被偉大的科學(xué)家伽利略解答過并作為推廣“枚舉法”的一個典型例子而更加有名。

教師可以在回顧教材中的“擲一擲”的問題之后，出示上面的題目，并介紹題目的作者與作者簡介，然后讓學(xué)生以四人小組為單位，在獨立完成的基礎(chǔ)上進行交流討論，展示以下三次窮舉。

（1）第一次窮舉——分別窮舉出點數(shù)和是9或10的組合

和是9的點數(shù)組合是：（1，2，6）（1，3，5）（1，4，4）（2，2，5）（2，3，4）（3，3，3）；和是10的點數(shù)組合是：（1，3，6）（1，4，5）（2，2，6）（2，3，5）（2，4，4）（3，3，4）。繼而產(chǎn)生新的疑惑：組合的組數(shù)都是6組，到底哪種點數(shù)和獲勝的可能性大呢？

（2）第二次窮舉——窮舉三類不同點數(shù)組合的實際操作的不同結(jié)果數(shù)

從實例（1，2，6）（1，4，4）（3，3，3），到通例（a，b，c）（a，a，b）（a，a，a），得出通例分別有6種、3種、1種結(jié)果。

（3）第三次窮舉——窮舉實際操作時可能的結(jié)果數(shù)

先通例與實例一一對應(yīng)，再計算得出結(jié)果數(shù)。“點數(shù)和是9”在實際操作中可能的結(jié)果數(shù)：6×3 + 3×2 + 1=25種；“點數(shù)和是10”在實際操作中可能的結(jié)果數(shù)：6×3 + 3×3=27種。

數(shù)學(xué)課程的拓展，首先要基于教材，在完成教材基本任務(wù)的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)史料，對相關(guān)的學(xué)習(xí)活動進行適當(dāng)延伸，進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，也有利于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累與基本數(shù)學(xué)思想的形成。

（二）充實教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)教材是最基礎(chǔ)的、為后續(xù)學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)內(nèi)容的集合。顯然，數(shù)學(xué)內(nèi)容遠不止教材中的內(nèi)容。教師可以在充分鉆研教材的基礎(chǔ)上，對教材相關(guān)的內(nèi)容進行充實，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

如四年級下介紹了“十進制計數(shù)法”?！笆M制計數(shù)法”是“位值制計數(shù)法”中的一種特殊情況。所以，要真正理解“十進制計數(shù)法”需要從理解“位值制計數(shù)法”入手，體會“位值制計數(shù)法”的優(yōu)越性，然后再將“其他位值制計數(shù)法”與“十進制計數(shù)法”進行比較，體會“十進制計數(shù)法”的優(yōu)越性。

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)說過：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來。一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成了冰冷的美麗。”在數(shù)學(xué)知識形成之初，不論它的發(fā)現(xiàn)過程、抽象方式或表達形式，都帶著地域特點與個性特征。隨著人類的交往范圍的不斷擴大，這些數(shù)學(xué)知識也得以不斷交流，不斷完善，這應(yīng)該就是“火熱的發(fā)明”的過程吧。

（三）開發(fā)數(shù)學(xué)課程

數(shù)學(xué)教材并不是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一材料。因此，除了可以結(jié)合數(shù)學(xué)教材進行延伸與補充外，也可以依據(jù)掌握的數(shù)學(xué)史料進行數(shù)學(xué)拓展課程開發(fā)。從數(shù)學(xué)史料中尋找數(shù)學(xué)課程資源，可以極大地豐富數(shù)學(xué)教學(xué)資源。

數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)，需要依據(jù)學(xué)情，遵循課標(biāo)，并圍繞某一個專題，形成一定的系列。如筆者以“常見的量”為專題，與一所學(xué)校的數(shù)學(xué)老師合作，開發(fā)了校本教材《度量衡的記憶》，課程分成兩大部分，第一大部分是《“度量衡”回眸》，分成“度”“量”“衡”“時”“幣”五個專題，介紹小學(xué)教材中這五類計量單位的發(fā)展歷史。第二大部分是《“度量衡”的課例》，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，在一至六年級每一個學(xué)期安排一個或兩個課時的教學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容由于更多的是從人文與歷史的角度來編寫，可讀性強，教學(xué)有趣味，適合在全班進行教學(xué)。

另外，也可以開發(fā)數(shù)學(xué)社團活動資料，主要針對學(xué)有余力的學(xué)生，如筆者與教師團隊一起，收集古今中外的并有一定故事背景的數(shù)學(xué)名題，編成《數(shù)學(xué)名人名題》系列叢書，既可以作為學(xué)生的課外閱讀材料，也可以作為教師的社團活動教材。

總之，數(shù)學(xué)史料的有效利用，首先要對數(shù)學(xué)史料進行整理與充分理解；其次要對數(shù)學(xué)史料進行“教學(xué)化”，即與日常的數(shù)學(xué)教學(xué)相滲透或相融合；另外也可以把數(shù)學(xué)史料“課程化”，編寫專門的數(shù)學(xué)延伸課程，供不同層次的學(xué)生閱讀與開展活動所用。讓數(shù)學(xué)史料成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不竭源泉。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200）