葛殷殷

[摘 要] 中考數(shù)學(xué)的壓軸試題離不開拋物線，往往對于拋物線相關(guān)性質(zhì)的研究成為教學(xué)難點和關(guān)鍵，教師應(yīng)選取合適的問題，在師生雙向交流基礎(chǔ)上，將問題中的拋物線模型總結(jié)和開發(fā)出來，加強學(xué)生對壓軸拋物線問題的理解和掌握.

[關(guān)鍵詞] 拋物線；初中；數(shù)學(xué)；壓軸；設(shè)計

在初三復(fù)習(xí)教學(xué)環(huán)節(jié)，拋物線問題成為教學(xué)的難點和重點. 近年來，中考壓軸試題往往以拋物線為載體進行設(shè)計，通過拋物線中問題的編制，考查學(xué)生對核心知識、方法的掌握程度. 壓軸試題如何研究呢？筆者認(rèn)為這需要教師一定的積累，結(jié)合羅增儒教授提出的解題教學(xué)引論來說，復(fù)習(xí)教學(xué)的研究需要關(guān)注三個層次：其一是研究近年的相關(guān)原題，畢竟原題考查的是最核心的問題，也考查的是知識整合較全面的問題，教學(xué)這樣的問題對學(xué)生思維的啟發(fā)比較重要；其二是加強教師改編問題的復(fù)習(xí)，考慮到原題往往多次做過，學(xué)生對問題已失去新意，教師需要將壓軸問題的更多視角在改編問題中加以呈現(xiàn)，以拋物線為例，筆者在下文中改編了知識點考查頻繁卻不失新意的一些問題供教學(xué)之用；其三是提高學(xué)生對壓軸問題數(shù)學(xué)模型的抽象再認(rèn)知，在進行一類問題的教學(xué)設(shè)計和設(shè)想時，教師應(yīng)注重多角度知識的滲透、思維的啟發(fā)以及對學(xué)生情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng).

建立模型

問題 點D（0，1）為一定點，P是拋物線y=x2上任意一點，試說明點P到直線y=-1的距離與該點P到定點D的距離的大小關(guān)系.

近幾年，利用拋物線的定義命制的中考題備受青睞，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)，由于學(xué)生的建模能力不強，這類問題成為學(xué)生的“障礙”，筆者擬以本題為背景建立數(shù)學(xué)模型，結(jié)合初中的基本幾何圖形及直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像等，把這類壓軸題巧妙轉(zhuǎn)化.

課堂探究

先在拋物線上任取幾個特殊點，計算出這些點到直線y=-1的距離及PD的長度，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進行說理.

說明 本題從特殊出發(fā)，讓學(xué)生尋找其發(fā)展規(guī)律，歸納出一般的結(jié)論并進行驗證，然后加以變式與推廣，旨在理解和掌握拋物線的定義這一核心知識，同時，有意識地挖掘和提煉其中蘊涵的數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、試驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神.

解決問題

問題1 在直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），P為拋物線y=x2上一動點，探究：

（1）（2015年眉山市中考改編）已知點C（3，5），當(dāng)點P位于何處時，△PAC的周長有最小值？并求出△PAC的周長的最小值.

（2）（2015年黃岡市中考改編）過點A的直線y=kx+b與拋物線交于M，N兩點，對于過點A的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切？如果有，請求出直線m的解析式；如果沒有，請說明理由.

解析 （1）如圖2，由模型可知點A（0，1）、直線y=-1為拋物線中的定點與定直線，易得AC=5，過點P作直線y=-1的垂線，垂足為點H，則有PA=PH，所以△PAC的周長=PC+PH+5. 因為當(dāng)C，P，H三點共線時，PC+PH最小，此時點P的坐標(biāo)為3，，△PAC的周長（最?。?1.

（2）易知點A（0，1） 、直線y=-1為拋物線中的定點與定直線，如圖3，過點M，N分別作直線y=-1的垂線，垂足分別為M′，N′，可得NN′=NA， MM′=MA，那么MN=MM′+NN′，作梯形MM′N′N的中位線PQ，由中位線性質(zhì)知PQ=（MM′+NN′）=MN，即圓心到直線y=-1的距離等于圓的半徑. 所以存在直線y=-1滿足條件.

說明 學(xué)生在解決第（1）問的時候，對其中數(shù)據(jù)的處理、函數(shù)圖像的幾何特征已經(jīng)比較熟悉了，這時教者趁熱打鐵，順勢利導(dǎo)，將兩道壓軸題的背景合二為一，設(shè)置于同一拋物線中，避免學(xué)生再次讀題、審題、理順關(guān)系，為課堂教學(xué)贏得了時間，既達到了命題者的考查意圖，又使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力，體驗到了數(shù)學(xué)的樂趣，克服了畏難心理，使學(xué)生增進對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

問題2 （2015年天津市中考改編）如圖4，過點F0，作一直線交拋物線y=x2于P，Q兩點，若線段PF與QF的長分別是p，q，試判斷+=2是否成立，并說明理由.

解析 由模型推廣1可知，點F0，、直線y=-為拋物線中的定點與定直線，如圖5，過點P，Q分別作直線y=-的垂線，垂足分別為M，N，則PM=PF，QN=QF. 設(shè)點P的坐標(biāo)為m，m2，則點M的坐標(biāo)為m，-，又F0，，則可求得直線PF的解析式為y=x+，將其與拋物線方程聯(lián)立可求得點Q的坐標(biāo)為-，，于是N-，-. 則p=PF=PM=m2+，q=QF=QN=+. 所以+=2. 所以+=2成立.

說明 本課以拋物線為背景，將多個中考問題進行了有效改編，問題之間存在著相互聯(lián)系，通過改編類似問題，能讓學(xué)生了解問題解決過程中重要的知識結(jié)構(gòu)，只有研究更為深刻的知識才能將壓軸題背后的本質(zhì)講解得更為清楚. 筆者認(rèn)為，不斷加深對中考壓軸類似問題的探索以及改編問題的嘗試，才能將拋物線中更多被考查的知識點融入學(xué)生的腦海中.

總之，教學(xué)必須依賴問題，特別是近幾年的熱點問題，教師要對熱點問題進行研究，并組織合理的課堂教學(xué)設(shè)計，如本課將拋物線中的三角形周長、定值等問題整合到教學(xué)中，盡管以壓軸問題形式進行體現(xiàn)，但學(xué)生在環(huán)環(huán)相扣中也能較好地接受并解決，從而提高教學(xué)的有效性.