高曉微　田　斌（內(nèi)蒙古呼和浩特市實驗中學(xué)）楊鮮枝（內(nèi)蒙古呼和浩特市教學(xué)研究室）

?

在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程
——“同底數(shù)冪的乘法”教學(xué)設(shè)計

高曉微田斌（內(nèi)蒙古呼和浩特市實驗中學(xué)）
楊鮮枝（內(nèi)蒙古呼和浩特市教學(xué)研究室）

摘要：同底數(shù)冪的乘法法則探索過程遵循由特殊到一般的規(guī)律.通過教師提供素材，讓學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，生成法則，抽象概括出表達式am·an= am+n，法則的形成過程就是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的過程.

關(guān)鍵詞：自主學(xué)習(xí)；同底數(shù)冪；生成法則；特殊到一般；抽象概括

教學(xué)內(nèi)容分析

“同底數(shù)冪的乘法”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第十四章第一節(jié)的內(nèi)容.同底數(shù)冪的乘法是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運算和整式的加減之后，為了學(xué)習(xí)整式的乘除法而學(xué)習(xí)的關(guān)于冪的一個基本性質(zhì).在整式的乘除法中，單項式的乘除是關(guān)鍵，因為其他乘除都要轉(zhuǎn)化為單項式的乘除.而單項式的乘除進行的是冪的運算與有理數(shù)的運算，因此冪的運算是學(xué)好整式乘除的基石.而同底數(shù)冪的乘法又是另外兩個性質(zhì)（冪的乘方和積的乘方）的基礎(chǔ).所以同底數(shù)冪的乘法是整式乘法的邏輯起點，是該章的起始課，承載著單元知識、學(xué)習(xí)方法以及學(xué)習(xí)路徑的引領(lǐng)作用.這節(jié)課的學(xué)習(xí)，重、難點在于學(xué)生理解法則的由來，自主歸納、概括法則.只有這樣學(xué)生才能從本質(zhì)上體會法則，掌握法則，學(xué)會由特殊到一般的歸納過程和方法.

教學(xué)重點：同底數(shù)冪乘法法則的形成及正確運用.

教學(xué)難點：同底數(shù)冪乘法法則的形成.

學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已掌握有理數(shù)的運算，并已初步具有用字母表示數(shù)的思想，但用字母來歸納同底數(shù)冪的乘法法則，使其具有一般性，對學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力要求較高.因此，教師設(shè)計了從特殊到一般的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)，并概括出同底數(shù)冪的乘法法則.

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷法則的形成過程，能正確使用同底數(shù)冪乘法法則進行計算.

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括同底數(shù)冪乘法的法則，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

（3）了解生活與數(shù)學(xué)的相關(guān)信息，通過同底數(shù)冪乘法法則的探索和應(yīng)用，學(xué)生初步體會由“特殊—一般—特殊”的認知規(guī)律，從中獲得成功的體驗，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

教學(xué)策略分析

學(xué)好同底數(shù)冪的乘法的基礎(chǔ)是正確理解底數(shù)、指數(shù)、冪的概念和乘方的意義.教學(xué)中要注意聯(lián)系過去不甚鞏固的知識，將新、舊知識有機地融合在一起.從具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪相乘的運算，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法的意義.通過設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，抽象概括出同底數(shù)冪的乘法法則.

教學(xué)時要特別注重以下幾點：

（1）重視法則的形成過程.

（2）重視用字母表示數(shù)的思想.

（3）在探索法則時，遵循由特殊到一般的規(guī)律.

教學(xué)方法有自主學(xué)習(xí)、合作探究、引導(dǎo)啟發(fā)、變式練習(xí).

教學(xué)支持條件

借助多媒體課件，呈現(xiàn)形象、直觀的實例背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生思維.借助實物投影，在法則的探索與運用中讓學(xué)生充分展示他們的思維過程，親歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程.

教學(xué)流程設(shè)計

1．創(chuàng)設(shè)游戲，復(fù)習(xí)鞏固

師：我們做一個小游戲，比一比看誰算得快！

2×2，2×2×2，2×2×2×2，2×2×2×2×2，…

生：4，8，16，32，64，…

師生互動：

（1）算式2×2×2×2×2×2×2×2×2，還可以將它寫成什么形式？

（2）103表示什么？

（3）像29和103我們稱之為什么？

（4）說出an中的a，n，an分別叫做什么，它們各表示什么？

【設(shè)計意圖】設(shè)計比一比看誰算得快的小游戲，產(chǎn)生形如2×2×2×2×…多個相同的因數(shù)的乘積，復(fù)習(xí)乘方的意義，鞏固冪的概念，為學(xué)生認識同底數(shù)冪的乘法做下鋪墊.本章學(xué)習(xí)的是整式的乘法，本著數(shù)式通性的原則，先復(fù)習(xí)數(shù)的運算，再探究式的運算.

2．創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：像上面那樣在數(shù)字2的基礎(chǔ)上依次乘2這樣的計算，你一秒鐘能計算多少次？

生1：1次.

生2：2次.

……

師：老師有一個好朋友，它每秒可進行1千萬億（即1015）次運算，你們知道它是誰嗎？

生：是計算機嗎？

師：是的，相信它也是大家的好朋友.下面我們來看下面這個問題.

問題：一種電子計算機每秒可進行1千萬億（即1015） 次運算，它工作103秒可進行多少次運算？

生3：1015×103.

師：1015×103等于多少？

學(xué)生獨立計算（教師提示：根據(jù)乘方的意義）.學(xué)生回答，教師板書：

1015×103根據(jù)

=乘法的結(jié)合律

=1018……（3）根據(jù)乘方的意義將乘法轉(zhuǎn)化為冪

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)問題情境，體會信息技術(shù)帶來的“大數(shù)據(jù)”時代.由這個問題列出式子1015×103，學(xué)生感受到學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法的意義.教師在學(xué)生回答的過程中引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確說出每一步的解題依據(jù)，理解每一步的算理、算法.通過有步驟、有依據(jù)的計算為探索同底數(shù)冪乘法的運算法則做好知識和方法的鋪墊.

3．合作學(xué)習(xí)，探索法則

（1）提出任務(wù)，自主探索.

例如：24×23=（2×2×2×2）×（2×2×2）=2×2× 2×2×2×2×2=_______.

師：我們完成下面的填空（m，n都是正整數(shù)）：

第一組：

①65·66=_____=______=______.

②a4·a5=_____=______=______.

③m4·m4=______=_____=______.

④5m·5n=_____=______=______.

第二組：

①（-3）5·（-3）6=______=_____=______.

③a300·a200=______=_____=______.

④9.8m·9.8n=_____=_____=______.

學(xué)生完成后，用投影展示，引導(dǎo)學(xué)生講出每一步變形的理由，展示他們的思維形成過程.

【設(shè)計意圖】學(xué)生思維的具體性與直觀性決定了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要給他們提供充分的感性經(jīng)驗，使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成的過程，從而更好地形成抽象的數(shù)學(xué)概念，獲得新的數(shù)學(xué)知識.兩組計算每一道題都經(jīng)歷“冪×冪轉(zhuǎn)換為乘法運算再轉(zhuǎn)換到冪的形式表示”的過程，而且底數(shù)由整數(shù)逐漸變換為分數(shù)、負數(shù)、字母.指數(shù)由較小正整數(shù)逐漸變大再變換為字母，學(xué)生在經(jīng)歷了由簡到繁的運算活動，思維也經(jīng)歷了一個由淺入深、由具體到抽象的活動過程.

（2）細心觀察，揭示課題.

師：前面要求計算的這些算式有什么共同特點？生：是兩個底數(shù)相同的冪相乘.

師：像這樣兩個底數(shù)相同的冪相乘，叫做同底數(shù)冪的乘法（板書課題）.

【設(shè)計意圖】學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些算式的特點，識別同底數(shù)冪的乘法，產(chǎn)生課題.

（3）合作交流，概括法則.

師生互動：①小組討論上面的算式有什么規(guī)律？

②你能用一個式子來表示這個規(guī)律嗎？

③你能解釋為什么am·an=am+n嗎？

學(xué)生講解，教師板書如下.

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括出同底數(shù)冪的乘法法則，抽象概括出表達式am·an=am+n（m，n為正整數(shù)），學(xué)生在自然生成法則的過程中，體會字母表示數(shù)的意義，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的模型思想.學(xué)生不僅學(xué)會了法則，更學(xué)會了探究這一類問題的由特殊到一般的方法.

4．運用法則，鞏固新知

師：下面我們運用同底數(shù)冪乘法法則計算.

計算：1015×103.

變式：1015×103×102.

生4：運用前面的結(jié)果1015×103×102=1018×102=1020.

生5：1015×103×102=1015+3+2=1020.；

④x3·x+x2·x2.

（2）辨析填空：①b5·b5=__________；

②b5+b5=_________.

（3）填空：①x2·（）=x8；②xm·（）=x3m；

③x8=（）·（）；④3×27×9=3·（）.

（4）衛(wèi)星繞地球運動的速度是7.9×103m/s，求衛(wèi)星繞地球運行2×102s走過的路程.

（5）計算：①a2·a（-a）4；②（a-b）·（a-b）3；

③（a-b）·（b-a）4.

【設(shè)計意圖】通過第（1）小題進一步熟練法則.第（2）小題中相似的算式產(chǎn)生思想沖突，讓學(xué)生經(jīng)過“比較”解決沖突，識別同類項與同底數(shù)冪相乘.第（3）小題逆向使用法則，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力.第（4）小題用所學(xué)知識解決簡單的實際問題.第（5）小題屬于拓展延伸，即底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法.

6．梳理小結(jié)，知識深化

【設(shè)計意圖】 對法則進行推廣，即am·an·ap=am+n+p（其中m，n，p都是正整數(shù)）.

例運用法則計算下列各式.

（1）a·a5；

（2）2a·2b；

（3）xn·x3n+1；

（4）（-2）×（-2）4×（-2）3.

思考題：34×43和 a3+a3能不能用同底數(shù)冪乘法法則計算？

【設(shè)計意圖】辨析法則使用的條件，體會將同底數(shù)冪乘法運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算的思想.

5．目標(biāo)檢測，拓展延伸

（1）計算.

①a2·a6；

②y2n·yn+1；

③

變式計算：27·210可一般化為a7·a10.

若底數(shù)為a-b，則可變式為（a-b）7·（a-b）10；

若底數(shù)為ab，則可變式為（ab）7·（ab）10；

若底數(shù)為a3，則可變式為（a3）7·（a3）10.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩個角度做總結(jié)，滲透“特殊—一般—特殊”的思想方法和轉(zhuǎn)化的思想.通過將底數(shù)進行變形，變成積的形式，冪的形式得到：（ab）17，（a3）17（不要求進一步化簡），為后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆，將本節(jié)知識延伸，使其置于數(shù)學(xué)整體知識體系當(dāng)中.

作業(yè)：教材第96頁練習(xí)，第105頁第10題.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研發(fā)中心.《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》教師教學(xué)用書（八年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［4］趙維坤.在數(shù)學(xué)實驗中發(fā)展學(xué)生的推理能力［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（11）：27-31.

［5］周瑩，唐劍嵐.將探究融入教學(xué)活動中［J］.初中數(shù)學(xué)課例點評，2008（9）：45-50.

收稿日期：2015—12—26

作者簡介：高曉微（1983—），女，中學(xué)二級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.