陳莉紅（江西省教學教材研究室）

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自然合理的教學設計促進學生思維的發(fā)展
——“提取公因式法”點評

陳莉紅（江西省教學教材研究室）

摘要：文章提供的案例把因式分解置于由整式運算到分式運算發(fā)展的邏輯主線中，注重了概念的形成過程和運算發(fā)展的整體結(jié)構(gòu)和體系，并以此為基礎精心設計，自然地引導學生對概念和方法進行概括、歸納和應用，注重學生語言表達和書面表達的規(guī)范性，明確數(shù)與式運算的學習主線.讓學生自然經(jīng)歷了概念和方法的“形成—概括—辨析—歸納—運用”的過程，并為后續(xù)提高學生自主學習能力，培養(yǎng)良好的學習習慣提供了路徑和方法.

關鍵詞：因式分解；提公因式法；教學設計到了引導、示范的作用.下面就圍繞這節(jié)課的教學過程針對它的亮點與不足進行評析.

一、亮點

如何進行概念和公式的教學，一直是一線教師感到苦惱、困惑的事.“重結(jié)果，輕過程”是教學中的普遍現(xiàn)象，大多數(shù)教師會直接給出概念和運算公式，然后讓學生通過反復訓練來強化記憶公式.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）明確提出“運算能力”這一核心概念，不僅要讓學生掌握如何計算，而且還要知道相應的算理.《標準（2011年版）》指出，數(shù)學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點，把每節(jié)課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識和整體知識的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性.在第九屆全國初中數(shù)學優(yōu)秀課展示與觀摩活動中，上海市曹楊中學附屬學校的沈艷秋老師執(zhí)教的“提取公因式法”這節(jié)課，很好地體現(xiàn)了《標準（2011年版）》對數(shù)學知識教學的要求，對概念、法則的教學起

1.找準生長點，類比聯(lián)想，引出概念

這節(jié)課的引入，沈艷秋老師是這樣進行的.

師：我們已經(jīng)學習了整式（單項式、多項式），整式的運算，你認為接下來會學習什么內(nèi)容呢？不妨回顧一下數(shù)的運算的學習過程，相信會有所啟發(fā)！

師：在小學我們學過整數(shù)運算，小學六年級又學了分數(shù)運算，在學習分數(shù)運算前，需要學習因數(shù)、公因數(shù)、分解素因數(shù)．

師：12的因數(shù)有哪些？找找看？

生1：1，2，3，4，6，12.

師：怎么找到的？

生1：用短除法.

師：嗯，很好，那么12可以表示為12=1×12= 2×6=3×4.

師：6的因數(shù)有哪些呢？

生2：1，2，3，6.

師：嗯，6的因數(shù)有1，2，3，6，那么1，2，3，6是12和6的公因數(shù).

師：我們看12=3×4中，右邊的4還可以繼續(xù)分解，寫成12=2×2×3，我們把這個過程叫做分解素因數(shù).

師：對比一下，學完整式的運算，你認為將會學習什么運算？需要先學習哪些內(nèi)容？

概念的教學引入是教師很難把握的地方.有些教師認為概念是一種定義，既然是定義就應該直截了當?shù)母嬷缓髴?；有些教師會采用實際問題情境引入的方式，這也是新課程改革以來數(shù)學課堂的普遍做法，注重從現(xiàn)實生活情境中引出數(shù)學問題，這種引入的方式雖然加強了數(shù)學與生活的聯(lián)系，但缺點是淡化了數(shù)學知識的內(nèi)部聯(lián)系和系統(tǒng)性，并不適用于所有內(nèi)容的教學，這節(jié)課的教學就是如此，沈艷秋老師在引導學生回顧整數(shù)運算到分數(shù)運算的過程中，學習了因數(shù)、公因數(shù)、分解素因數(shù)的概念和方法，為這節(jié)課的學習目標尋找到了最佳知識生長點，通過類比聯(lián)想，很自然地進行了由數(shù)到式的正向遷移，引出因式、公因式、分解因式的概念，而且有了分解素因數(shù)的基礎，學生對分解因式時必須要分解到不能分解為止的要求就能自然、合理地接受了.

這種數(shù)學化的引入注重數(shù)學知識間的內(nèi)部聯(lián)系，問題層層遞進，引導學生在不知不覺中進入學習的最佳狀態(tài).并由此經(jīng)歷整數(shù)運算到分數(shù)運算，整式運算到分式運算，及數(shù)與式發(fā)展的過程，領悟到類比聯(lián)想是數(shù)學學習的一種重要方法，也明白了因式分解的內(nèi)容是為后續(xù)學習分式運算打基礎的，確定了知識的延伸點，也明白了這節(jié)課的內(nèi)容在整章內(nèi)容中的重要地位.

2.教學過程環(huán)環(huán)相扣，脈絡清晰

在引出因式分解概念之后，沈艷秋老師設計了這樣幾個教學環(huán)節(jié).

歸納概括，形成概念—分類辨析，理解概念—三問一驗，鞏固應用，清晰地呈現(xiàn)了知識發(fā)生、發(fā)展的過程.這個教學過程中的特色體現(xiàn)在以下兩個方面：

（1）知識串的運用，清晰展現(xiàn)概念的形成過程.

本課時的概念多而零散，有好幾個概念交織在一起，已學概念有單項式、多項式、整式、整式的積等；新概念有因式、公因式、因式分解、提取公因式法等．

①3x2+2x+1=x（3x+2）+1；

②m2-4m+4=m（m-4+）；

③3x（x+y）=3x2+3xy；

④2a2-4ab=2a（a-2b）；

⑤24a3b2c=2a3×3b2×4c.

目的是想進一步加深理解多項式因式分解概念中的幾個關鍵詞：多項式、整式、積，在用提取公因式法分解因式結(jié)束時，沈老師又設計了這樣幾個問題：（1）結(jié)果中哪些是單項式因式？哪些是多項式因式？（2）結(jié)果是否已經(jīng)是幾個單項式因式或多項式因式的積的形式？（3）結(jié)果中每個多項式因式是否不能再分解因式了？（4）如何檢驗自己進行的因式分解是一個恒等變形（等號始終成立）呢？筆者把它概括為“三問一驗”，并在例題講解，鞏固練習的過程中反復強化.“三問一驗”緊扣概念的核心，也是一種學習方法的指導，強調(diào)結(jié)果是積的形式，直到不能分解為止，最后驗算，引導學生逆向思維，反向推理，領悟因式分解和整式乘法之間的互逆關系，養(yǎng)成反思、質(zhì)疑的學習習慣.

3.關注學生的思維參與度，培養(yǎng)學生用數(shù)學語言概括與表達的能力

課件展示：ma，mb.

師：m與a相乘，m和a都叫做它們的積ma的因如處理不當，易使課堂枯燥乏味，學生一味地機械模仿，難以真正理解概念，甚至出現(xiàn)混淆概念的情況.沈老師充分逐個列出了ma，mb，ma＋mb，m（a＋b），ma＋mb＋mc，m（a＋b＋c）這樣一個知識串，把相關概念匯集成小的知識集塊，再把這些知識集塊串接起來．例如，在ma中，匯集了因式、因式的積、單項式等概念；在ma＋mb＋mc中匯集了單項式、多項式、各項公因式等概念．沿著這個知識串由淺入深，由易到難，終端就是ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c），它匯集了因式分解的第一種方法——提取公因式法．課件動態(tài)展示了這一過程，凸顯了概念之間、概念與法則之間的內(nèi)在聯(lián)系．

（2）問題串的驅(qū)動，加深理解概念、鞏固概念的應用.

在歸納出因式分解的概念之后，沈老師設計了這樣幾個等式讓學生逐一辨析.式；m與b相乘，m和b都叫做它們的積mb的因式.

課件展示：m（a＋b）.

師：請同學們描述一下哪些是因式？

生：m和a＋b都是因式.

師：把話說完整，就是“m和a+b都叫做它們的積m（a+b）的因式”.

師：同學們概括一下，什么是因式？

……

課件展示：ma＋mb＋mc.

師：觀察這個多項式有什么特點？

生3：每個式子都含有因式m.

生4：多項式各項都含有同一個單項式.

師：這個相同的單項式，我們前面說過，它叫做什么？

生4：因式.

師：多項式各項都含有的因式，稱為各項的公因式.

……

課件展示：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）.

師：概括一下，什么叫做把多項式因式分解？要求：①不看教材；②可以與同桌交流；③把結(jié)果寫在學習單上.

……

生5：將幾個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式積的形式叫做把多項式因式分解.

生6：把一個代數(shù)式寫成幾個因式乘積的形式叫做……

教師總結(jié)：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．

從以上教學片斷可以看出，在教學過程中，沈老師自始至終能夠引導、組織學生參與到教學活動中，讓學生嘗試用自己的語言概括表達，順應學生自己的思維發(fā)展在概括表達的過程中碰撞出思維的火花，從而真正促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，提高數(shù)學語言概括、表達的能力.

4.注重細節(jié)，講究規(guī)范，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣

在教學過程中，不僅注重語言表達的規(guī)范性，也注重了書面表達的規(guī)范性和教師的示范作用.在講解例題（2）-4x2y+6xy2-2xy時，沈老師強調(diào)第一項帶“-”，通常先提取負號，括號里的多項式就化歸為前一題的類型進行解決即可，2xy提取公因式2xy后的式子是1，不能遺漏.并強調(diào)由于是初學提公因式法，在練習時一定要保留分離公因式的那一步；學生演板練習時，沒有寫“解”，“原式=”，教師讓學生補上.這些細節(jié)的處理，教師為學生做了很好的示范作用，使學生在書寫過程時有據(jù)可依，目標明確.

二、不足與建議

在讓學生概括表達概念時，提問學生的面還要再擴大一些，多一些學生參與表達，教師最后再歸納；在例題講解和糾錯環(huán)節(jié)，還應該放開些，教師可以先不急于示范正確的解題步驟與方法，而是讓學生先做，然后根據(jù)學生做題的情況，在糾錯過程中示范正確的解題方法，在學生演板后發(fā)動學生對板演進行評價，糾錯的效果會更好.另外，在這節(jié)課的最后，教師提出問題：為什么沒有針對單項式的因式分解呢？并讓學生課后思考完成，有些多此一舉，甚至會讓學生感到迷惑，根據(jù)這節(jié)課的學習內(nèi)容和因式分解的概念，學生很容易回答出這個問題，教師在教學過程中輕輕帶過，稍作解釋就可以了.

這節(jié)課圍繞著概念的形成、概括、辨析、應用的過程進行設計，巧妙運用知識串，精心設計問題串，在設計上注重了整體感悟知識發(fā)展的邏輯主線，結(jié)構(gòu)上層層遞進，學習方法上注重類比和推理，充分考慮學生學情，抓住知識的生長點和延伸點.自然流暢的教學設計，順應了學生思維的發(fā)展；以學生思維為出發(fā)點的教學實施體現(xiàn)了以生為本的教學理念，確實是一堂精彩的課，值得一線教師學習和借鑒.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［2］教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

收稿日期：2015—12—18

作者簡介：陳莉紅（1973—），女，中學高級教師，主要從事中學數(shù)學課堂教學及中考數(shù)學命題研究.