沈艷秋（上海市普陀區(qū)曹楊中學(xué)附屬學(xué)校）

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“提取公因式法（1）”教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

沈艷秋（上海市普陀區(qū)曹楊中學(xué)附屬學(xué)校）

摘要：以數(shù)的分解為起點(diǎn)，類比聯(lián)想進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將“數(shù)”的分解的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到“式”的分解中，經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，最終使整個(gè)概念系統(tǒng)得以完備．通過(guò)“三問(wèn)”驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入理解核心概念——因式分解，期盼學(xué)生真正理解因式分解的概念．

關(guān)鍵詞：因式分解；由“數(shù)”及“式”；類比聯(lián)想；“三問(wèn)”驅(qū)動(dòng)

內(nèi)容與內(nèi)容解析

因式分解是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容之一，是整式的一種恒等變形，它與整式乘法互為逆變形．同時(shí)，因式分解又是由整式運(yùn)算進(jìn)入分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中必需的知識(shí)技能準(zhǔn)備，是接下來(lái)學(xué)習(xí)分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)．此外，因式分解在數(shù)學(xué)學(xué)科其他方面和一般科學(xué)研究中，也不乏它的應(yīng)用．

本節(jié)課是上海教育出版社《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》第九章第五節(jié)“因式分解”的第一課時(shí)，因此筆者將教學(xué)內(nèi)容確定為兩部分：一是因式、公因式、因式分解等有關(guān)概念，其中因式分解是核心概念．由于對(duì)公因式的理解，必須建立在其上位概念因式的基礎(chǔ)上，因式是母概念，公因式是其子概念，因此補(bǔ)充了教材中沒有出現(xiàn)的因式概念；二是因式分解的基本方法之一——提取公因式法．這部分內(nèi)容是以“數(shù)”的分解為起點(diǎn)進(jìn)行知識(shí)遷移，展現(xiàn)字母表示數(shù)、類比的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)對(duì)運(yùn)用不同形態(tài)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括與表達(dá)，給出必要的規(guī)范．

目標(biāo)與目標(biāo)解析

基于對(duì)上述教學(xué)內(nèi)容的思考，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過(guò)類比因數(shù)、公因數(shù)、分解素因數(shù)，理解因式、公因式、因式分解等概念的意義；

（2）知道因式分解和整式乘法的互逆關(guān)系，初步掌握提取公因式法進(jìn)行因式分解；

（3）感受字母表示數(shù)、類比等數(shù)學(xué)思想，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括與表達(dá)的能力.

學(xué)生由“數(shù)”及“式”地理解因式、公因式、因式分解等概念的意義，在這個(gè)過(guò)程中能夠自然地感受到類比的數(shù)學(xué)思想，有充分的機(jī)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行概括和表達(dá)．對(duì)于因式分解的提取公因式法，本課時(shí)只要求初步掌握，至于較為復(fù)雜的綜合運(yùn)用，將安排在接下來(lái)的教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)一步達(dá)成．

教學(xué)問(wèn)題診斷分析

七年級(jí)的學(xué)生在本章剛剛經(jīng)歷了數(shù)與式的承接，初步體會(huì)了用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)思想，即將進(jìn)行分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)．此外學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，已經(jīng)有過(guò)類似的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．

但是對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，還不能自主地將兩者聯(lián)系并進(jìn)行類比，因此在學(xué)完整式運(yùn)算以后，對(duì)突然冒出來(lái)的“因式分解”不免心生疑惑：難道僅僅是整式乘法的逆過(guò)程嗎？這樣的代數(shù)變形意義何在？到底為什么要學(xué)習(xí)因式分解？基于以上分析，筆者認(rèn)為對(duì)核心概念“因式分解”的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的難點(diǎn)．

教學(xué)支持條件分析

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)了如圖1所示的板書，在教學(xué)過(guò)程中逐漸展開.

圖1

板書能生動(dòng)、有效地幫助學(xué)生由“數(shù)”及“式”地聯(lián)想類比，使有關(guān)概念被有效地?cái)?shù)學(xué)理解．在課件中，將“提取公因式法”所含各個(gè)字母或符號(hào)的“組件”，動(dòng)態(tài)地進(jìn)行時(shí)間與空間的二維組合，形象地展現(xiàn)“提取公因式法”公式的形成與確立．板書與課件隨著學(xué)生的思維同步展開．

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1．類比舊知、揭示課題

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者開門見山地啟發(fā)學(xué)生思考：接下來(lái)將要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是具有連續(xù)性的，這種連續(xù)性很大程度上體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用．學(xué)生在六年級(jí)經(jīng)歷了從整數(shù)運(yùn)算到分?jǐn)?shù)運(yùn)算的過(guò)程，并在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算前認(rèn)識(shí)了因數(shù)、公因數(shù)、分解素因數(shù)等，這些學(xué)生已有的知識(shí)與本課的有關(guān)概念能夠自然聯(lián)系，匹配類比（如圖2），既自然地揭示本課內(nèi)容，又能讓學(xué)生對(duì)于為什么要學(xué)習(xí)因式分解有了明確的目標(biāo)，腦海中埋下了應(yīng)用的意識(shí)，也有助于對(duì)核心概念——因式分解的理解．

圖2

2．由“數(shù)”及“式”，遷移知識(shí)

圍繞問(wèn)題“什么叫做因式、公因式、因式分解？”展開．

引導(dǎo)學(xué)生從具體的內(nèi)容著手，自發(fā)地將“數(shù)”的分解的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到“式”的分解中，再嘗試抽象歸納有關(guān)概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，也在課堂上創(chuàng)造了用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括與表達(dá)的機(jī)會(huì)，并最終使整個(gè)概念系統(tǒng)得以完備．

在這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者運(yùn)用的教學(xué)策略是：類比聯(lián)想，逐步形成有關(guān)概念，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)具備了完成引例的能力，進(jìn)入第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).

3．嘗試運(yùn)用，理解內(nèi)涵

放手讓學(xué)生嘗試對(duì)多項(xiàng)式6xy2+9xy分解因式，通過(guò)“三問(wèn)”驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入理解因式分解，再及時(shí)歸納出提取公因式的方法，并強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)．

這里運(yùn)用了教學(xué)策略2：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，深入理解核心概念．

要求對(duì)結(jié)果提出“三問(wèn)”（也是今后因式分解的“鐵律”）：

（1）結(jié)果中哪些是單項(xiàng)式因式？哪些是多項(xiàng)式因式？

（2）結(jié)果是否已經(jīng)是幾個(gè)單項(xiàng)式因式或多項(xiàng)式因式的積的形式？

（3）結(jié)果中每個(gè)多項(xiàng)式因式是否不能再分解因式了？

其中問(wèn)題（1）、問(wèn)題（2）著眼于對(duì)“因式”的真正理解；問(wèn)題（3）著眼于對(duì)因式有類似素因數(shù)的“素”的要求的理解．用“三問(wèn)”驅(qū)動(dòng)反思，期盼學(xué)生對(duì)因式分解的概念真正的理解．

4．例題解析，了解規(guī)范

將因式、公因式這些概念融化在解題的過(guò)程中，繼續(xù)在“三問(wèn)”中內(nèi)化核心概念因式分解，并且鞏固提取公因式的方法．

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)除了課堂上的口頭交流外，也體現(xiàn)在解題時(shí)的書面表達(dá)，通過(guò)對(duì)例題進(jìn)行解析與板演不僅是對(duì)本課兩部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行鞏固運(yùn)用，也是必要的書寫格式的示范．

這里運(yùn)用了教學(xué)策略3：注重規(guī)范，講究數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)．

5．鞏固練習(xí)，提高能力

練習(xí)：分解因式：（1）15a2b+3ab；（2）a2n+an-1-an（n≥2，且n為整數(shù)）．

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)的過(guò)程也是對(duì)本課內(nèi)容理解、內(nèi)化的過(guò)程．

第（1）小題是基礎(chǔ)練習(xí)，第（2）小題多項(xiàng)式次數(shù)為字母表示，在提取公因式時(shí)，需要對(duì)歸納方法中的“最低次冪”有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，方可正確找出公因式an-1，即使有些學(xué)生不能一步到位找對(duì)公因式，也可以通過(guò)對(duì)結(jié)果進(jìn)行“三問(wèn)”或進(jìn)行概念辨析來(lái)修偏、糾正．期盼通過(guò)這兩個(gè)練習(xí)，對(duì)本節(jié)課的目標(biāo)達(dá)成度進(jìn)行檢測(cè)與評(píng)價(jià)．

6．梳理總結(jié)，承前啟后

問(wèn)題串：為什么沒有專門研究單項(xiàng)式的因式分解呢？

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容既與六年級(jí)“數(shù)”的分解有著承前的功能，又對(duì)于接下來(lái)分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)有著啟后的價(jià)值.學(xué)生通過(guò)自主小結(jié)和教師引導(dǎo)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是知識(shí)結(jié)構(gòu)螺旋上升的過(guò)程．

全課以一個(gè)饒有回味的問(wèn)題作為結(jié)尾，目的是加深學(xué)生對(duì)因式分解本質(zhì)的理解．

參考文獻(xiàn)：

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收稿日期：2015—12—19

作者簡(jiǎn)介：沈艷秋（1984—），女，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．