牛華偉,蘭奇遜

(1. 平頂山教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系,河南 平頂山　467000; 2. 河南城建學(xué)院 數(shù)理系,河南 平頂山　467000)

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“壓縮映像”原理及其應(yīng)用

牛華偉1,蘭奇遜2

(1. 平頂山教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系,河南 平頂山467000; 2. 河南城建學(xué)院 數(shù)理系,河南 平頂山467000)

摘要：壓縮映像是刻畫度量空間與度量空間之間的一種特殊的函數(shù)關(guān)系。在函數(shù)滿足一定的條件下,根據(jù)壓縮映像原理可以求出函數(shù)唯一的不動點?；谠撔再|(zhì)對一類具有遞推形式的數(shù)列的極限問題進行研究，用具體實例說明壓縮映像原理在求解數(shù)列極限問題中非常有效。

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;壓縮映像;極限

1“壓縮映像”原理

定理1對任意數(shù)列{xn},若存在常數(shù)r,使得?n∈N,恒有

0

證明

由Cauchy準(zhǔn)則[2]知{xn}收斂。

定理2若數(shù)列{xn}利用遞推公式給出

xn+1=f(xn),

n=1,2,…,f(x)為某一可微函數(shù),且?r∈R,使

(?x∈R),則{xn}收斂。

n=2,3,…,因此{xn}收斂[4]。

2“壓縮映像”的應(yīng)用

證明易知1≤x1<2,假設(shè)1≤xn<2,則

所以?n∈N,

1≤xn<2。

由定理2知{xn}收斂。

因為{xn}單調(diào)遞增,所以a=0舍去。故

問題2設(shè)x1>0,

解由題意知xn>0,且當(dāng)x>0時,令

因為a>1,知

(?x>0),所以由定理2知{xn}收斂。

兩邊取極限,可得

問題3若f(x)在區(qū)間I=[a-r,a+r]上可微,

且

令x1=f(x0),x2=f(x1),xn=f(xn-1),

證明

x*為方程x=f(x)的根。

證明已知x0∈I,則

(ξ∈(xn,a)),又

且

所以

因此xn+1∈I。即一切xn∈I。

應(yīng)用微分中值定理,?ξ在xn,xn+1之間

(0<α<1),由定理1知{xn}收斂。又因為f(x)連續(xù),在xn=f(xn-1)里取極限知{xn}的極限x*為x=f(x)的根。

3應(yīng)用中的典型錯誤

例設(shè)f(x)映[a,b]為自身,且

任取x1∈[a,b],令

求證數(shù)列有極限x*,x*滿足方程

f(x*)=x*。

證明因為

所以f(x)連續(xù)。

又因為f(x)映[a,b]為自身,所以當(dāng)xn∈[a,b]時,由

知xn+1∈[a,b]。又x1∈[a,b],故恒有xn∈[a,b]。

下面證{xn}具有單調(diào)性。

若x1≤f(x1),則

而任一n,當(dāng)xn-1≤xn時,

即

f(xn-1)-f(xn)≤xn-xn-1,

xn-1+f(xn-1)≤xn+f(xn),

兩邊同除以2,

又

故有

所以{xn}單調(diào)遞增。

同理,當(dāng)x1≥f(x1)時,可證明{xn}單調(diào)遞減。

由單調(diào)有界原理知{xn}有極限,在

中取極限,知{xn}的極限x*滿足

f(x*)=x*。

誤解由

可得

由壓縮映像原理知,{xn}收斂,極限存在。但實際上此時r=1,而不是0

4結(jié)束語

利用壓縮映像原理解決相關(guān)問題簡單方便。運用壓縮映像原理解決高等數(shù)學(xué)中的一些問題時可以化繁為簡。

參考文獻：

[1] 李娟.利用壓縮映像原理處理有關(guān)數(shù)列收斂性[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報,2011,25(5):29-31.

[2] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2008.86-89.

[3] 李德本.微分中值定理的新證法[J].四平師范學(xué)院學(xué)報,1982,24(14):32-34.

[4] 陳紀(jì)修,於崇華,金路,等.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2004:54-55.

[5] 斐禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2008.72-73.

〔責(zé)任編輯： 盧蕊〕

Image compression principle and its application

NIU Huawei1, LAN Qixun2

(1.Department of Mathematics, Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China;2.Department of Mathematics and Physics, Henan University of Urban Construction, Pingdingshan 467000, China)

Abstract:Contractive mapping depicts a special kind of function relationship between two metric spaces. According to contraction mapping theory, the only fixed point can be derived when the function meets some special conditions. Based on this property of contradiction mapping theory, we will investigate the limitation problem of a class of series in a recursive manner. Some specific examples are carried out to demonstrate the effectiveness of contraction mapping theory in solving the limitations of series.

Key words:recursion series; contractive mapping; limit

收稿日期：2016-01-31

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(61503122);河南城建學(xué)院基礎(chǔ)基金研究項目(2013JYB016)

作者簡介：牛華偉(1979—),女,河南周口人,講師,主要從事復(fù)雜系統(tǒng)理論及數(shù)學(xué)教學(xué)教法研究;蘭奇遜(1980—),男,河南平頂山人,講師,主要從事復(fù)雜系統(tǒng)理論及數(shù)學(xué)教學(xué)教法研究。

中圖分類號：O177

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-8148(2016)02-0042-03