席　陽(yáng)　徐章韜

(華中師范大學(xué)　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北　武漢　430079)

論基于學(xué)習(xí)理論的高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)*1

席陽(yáng)徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430079)

摘要數(shù)學(xué)三個(gè)世界學(xué)習(xí)理論揭示了人類學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的認(rèn)知發(fā)展順序，為教師重新審視學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程、促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展提供了理論依據(jù)。文章以微分中值定理為例，從數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論的視角出發(fā)，基于學(xué)習(xí)理論首先進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的前端工作，之后設(shè)計(jì)了具體的教學(xué)過(guò)程并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果：教師上課自然流暢，學(xué)生學(xué)有所獲。對(duì)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)與教而言，這個(gè)學(xué)習(xí)理論的價(jià)值還值得進(jìn)一步挖掘。

關(guān)鍵詞學(xué)習(xí)理論；數(shù)學(xué)三個(gè)世界；教學(xué)設(shè)計(jì)；高等數(shù)學(xué)；微分中值定理

一、引言

高等數(shù)學(xué)雖然以其高度抽象性為顯著特點(diǎn)，然而對(duì)于抽象知識(shí)的理解仍然需要直觀事物的支持。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一般都會(huì)經(jīng)歷由直觀感知到抽象提煉的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程也對(duì)應(yīng)了學(xué)習(xí)的兩個(gè)層次：從初級(jí)學(xué)習(xí)到高級(jí)學(xué)習(xí)。因此對(duì)學(xué)生而言，他們的學(xué)習(xí)不能僅僅是達(dá)到初級(jí)學(xué)習(xí)的層次，只有達(dá)到高級(jí)學(xué)習(xí)的層次才能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。要達(dá)到高級(jí)學(xué)習(xí)的層次則要求學(xué)生能把握概念的復(fù)雜性，能根據(jù)具體情況，應(yīng)用自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)用于指導(dǎo)問(wèn)題解決的圖式[1]。如，微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，同時(shí)也是微分學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它揭示了函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，開(kāi)創(chuàng)了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的新道路并一直引導(dǎo)著函數(shù)性態(tài)的研究方向。已有的教學(xué)實(shí)踐表明，由于學(xué)生認(rèn)知能力發(fā)展不足，對(duì)于這三個(gè)微分中值定理的條件、結(jié)論、證明過(guò)程以及它們之間關(guān)系等的把握并不靈活，學(xué)習(xí)只達(dá)到了初級(jí)學(xué)習(xí)層次，導(dǎo)致在此后的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中存在一些困難。為了更好地促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展，提高學(xué)習(xí)層次，使教學(xué)獲得更大的效益，我們需要深入剖析人類在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程是怎樣的，也要清楚地知道人類是怎樣通過(guò)學(xué)習(xí)來(lái)促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的。有學(xué)科特點(diǎn)的學(xué)習(xí)理論闡述了學(xué)習(xí)的本質(zhì)和學(xué)習(xí)過(guò)程的規(guī)律，還就這些規(guī)律提出了一些切實(shí)有效的、可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)策略和教學(xué)策略等。教師需要在合適的學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)的學(xué)與教。

對(duì)于人類是怎樣學(xué)習(xí)的這一問(wèn)題的不同理解使得學(xué)習(xí)理論出現(xiàn)分歧并產(chǎn)生了四大主要流派：行為主義、認(rèn)知主義、人本主義和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。不同的流派基于對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程及其規(guī)律的不同認(rèn)識(shí)，提出了不同的學(xué)習(xí)策略和教學(xué)策略。(1)行為主義學(xué)習(xí)理論的核心觀點(diǎn)是，學(xué)習(xí)是有機(jī)體在一定條件下形成刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)從而獲得新經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)強(qiáng)化對(duì)學(xué)習(xí)的作用，提倡用外部條件來(lái)控制學(xué)習(xí)過(guò)程[2]。(2)認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論的探索視角由外部轉(zhuǎn)移到了學(xué)習(xí)者的內(nèi)部，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該是學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)的過(guò)程而不是被動(dòng)地接受外部環(huán)境的刺激。學(xué)習(xí)是主體在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過(guò)“同化”和“順應(yīng)”新知識(shí)使得原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行組織與重組的過(guò)程?；诖?，布魯納提倡“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，奧蘇伯爾主張“有意義的接受學(xué)習(xí)”并提出了先行組織者策略；加涅將人腦與計(jì)算機(jī)類比，在融合了行為主義與認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上提出了信息加工理論。(3)人本主義特別強(qiáng)調(diào)人的整體性，要求從整個(gè)人出發(fā)進(jìn)行學(xué)習(xí)理論的探索，并且認(rèn)為每個(gè)人都有自我實(shí)現(xiàn)的潛能，只是需要一個(gè)適當(dāng)?shù)沫h(huán)境[3]。(4)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境雙向互動(dòng)的過(guò)程。維果茨基對(duì)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的影響極大，提出了“最近發(fā)展區(qū)”理論并強(qiáng)調(diào)支架式教學(xué)模式。

這些學(xué)習(xí)/教學(xué)策略固然都有其合理性和有效性，但需要注意的是，它們的合理性和有效性體現(xiàn)在一般、普遍、廣義上的學(xué)習(xí)，具有普適性卻缺乏針對(duì)性，它們并沒(méi)有結(jié)合具體的學(xué)科特點(diǎn)。在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，必須結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，具體情況具體對(duì)待，才能使教學(xué)獲得更高的效益。而英國(guó)華威大學(xué)(Warwick University)David Tall教授于2004年提出的數(shù)學(xué)三個(gè)世界學(xué)習(xí)理論就深刻地闡述了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)。該理論是以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)，結(jié)合當(dāng)代認(rèn)知科學(xué)、信息科學(xué)、新皮亞杰主義等研究成果創(chuàng)立的[4]。不僅如此，該理論還對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程進(jìn)行了深入的探索，揭示了人類學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的認(rèn)知發(fā)展順序，為教師應(yīng)該怎樣促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展提供了理論依據(jù)。尤其值得關(guān)注的是該理論的研究對(duì)象包括了大學(xué)生以及數(shù)學(xué)家(這與建構(gòu)主義等以兒童為主要研究對(duì)象不同)，因此其研究成果用于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)更具合理性。

本文從數(shù)學(xué)三個(gè)世界這個(gè)認(rèn)知發(fā)展理論出發(fā)，以微分中值定理的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討如何基于適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其實(shí)踐。

二、依據(jù)學(xué)習(xí)理論做好教學(xué)設(shè)計(jì)的前端工作

“教師如何教將影響學(xué)生學(xué)到什么”是課堂學(xué)習(xí)的顯著特征之一。為了做好教學(xué)工作，就要先進(jìn)行課堂教學(xué)的預(yù)演——設(shè)計(jì)教學(xué)。教材是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。從字面上看，教材只是寫出了要傳授的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系等并沒(méi)有明確地體現(xiàn)。所以為了做好教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師對(duì)教材進(jìn)行深度剖析：不僅要知道本節(jié)課要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有哪些，學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)在哪里，是否闡明了知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，還要分析教材是在怎樣的學(xué)習(xí)理論的支撐下進(jìn)行行文的，這樣行文對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有哪些好處；是否教給了學(xué)生某些數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)又向?qū)W生展現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)文化等等。此外，對(duì)教材進(jìn)行解讀也是為了在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)選定的教學(xué)內(nèi)容做序列化安排，使之既合乎學(xué)科本身內(nèi)在的邏輯序列，又合乎學(xué)習(xí)者認(rèn)知發(fā)展的順序，從而把學(xué)習(xí)材料的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)[5]，為課堂教學(xué)的順利展開(kāi)打下良好的基礎(chǔ)。

(一)依據(jù)學(xué)習(xí)理論解讀教材，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)

教材的行文方式使我們看到了做數(shù)學(xué)的一般套路。在高等數(shù)學(xué)教材中，微分中值定理一般是這樣行文的：首先，引入學(xué)習(xí)微分中值定理的有力工具——費(fèi)馬引理，自然產(chǎn)生駐點(diǎn)的概念和性質(zhì)。然后，用微分學(xué)的語(yǔ)言把觀察到的特殊幾何現(xiàn)象描述出來(lái)，就得到了羅爾定理。接著，把羅爾定理一般化，得到拉格朗日中值定理。最后，改變拉格朗日中值定理中函數(shù)的表達(dá)形式，獲得柯西中值定理。教材行文方式的邏輯主線使我們學(xué)習(xí)到了做數(shù)學(xué)研究的一般程序：從平凡出發(fā)(觀察)—選用適當(dāng)?shù)墓ぞ?費(fèi)馬引理、分析的語(yǔ)言)—平凡的結(jié)論—結(jié)論一般化或特殊化—結(jié)論再形式化?！笆谥贼~(yú)不如授之以漁”，這條邏輯主線可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的道路上有章可循，有法可依，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

從學(xué)習(xí)理論出發(fā)可以更好地理解教材，教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法。教材的行文方式層層遞進(jìn)，后面定理的學(xué)習(xí)都以前面學(xué)習(xí)的定理為出發(fā)點(diǎn)，前面學(xué)習(xí)的定理為后面定理的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，新舊知識(shí)融合在一起，既指出新舊知識(shí)之間的相同點(diǎn)，又點(diǎn)明不同之處，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)充和完善。學(xué)習(xí)就是要求學(xué)生能夠前后關(guān)聯(lián)，以舊促新，化新為舊，這其實(shí)是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的主張。更進(jìn)一步，教學(xué)要提供有層次、有序列的素材使學(xué)生由必須依賴直觀事物理解數(shù)學(xué)知識(shí)的初級(jí)學(xué)習(xí)層次，順利地上升到可以脫離直觀事物的支持，在抽象世界中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的高級(jí)學(xué)習(xí)層次，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的分化，從而提高認(rèn)知能力。

Tall認(rèn)為，人類數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展要經(jīng)歷三個(gè)過(guò)程，分別對(duì)應(yīng)著三個(gè)不同的數(shù)學(xué)世界[6]。

1.第一個(gè)世界是“概念—具體化世界(Conceptual-embodied World)”

這個(gè)世界源自對(duì)物理世界和思維世界的感知。學(xué)習(xí)者基于個(gè)人頭腦中已經(jīng)建立起來(lái)的關(guān)于以往經(jīng)驗(yàn)的連接，通過(guò)操作、反思來(lái)想象并不存在于物理世界中的事物。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中結(jié)合實(shí)際生活，善用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的觀察和思考。在引導(dǎo)學(xué)生觀察時(shí)，應(yīng)該有目的有計(jì)劃，選擇被觀察的事物時(shí)，被觀察事物應(yīng)當(dāng)具備這樣一個(gè)重要特征：溝通性。一方面被觀察事物的某些特征是學(xué)生可以根據(jù)自己當(dāng)前已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理描述的，另一方面被觀察事物的這些特征可以為將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)做鋪墊，是溝通新舊知識(shí)之間的橋梁，這同時(shí)也體現(xiàn)了引導(dǎo)觀察的目的性和計(jì)劃性。比如我們?cè)谥v授微分中值定理的概念之前，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1：曲線弧AB是函數(shù)y=f(x)(x∈[a,b])的圖像，并讓學(xué)生描述觀察到的幾何現(xiàn)象：這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，在曲線的最高點(diǎn)處或最低點(diǎn)處曲線有水平的切線……這里的“連續(xù)的曲線弧”“水平切線”“最高(低)點(diǎn)”等被觀察物的特征是學(xué)生可以準(zhǔn)確描述的，也可以為后面學(xué)習(xí)羅爾定理做鋪墊。

圖1

2.數(shù)學(xué)第二個(gè)世界是“過(guò)程符號(hào)化世界”(Proceptual-symbolic world)

這個(gè)世界始于行為，并在反省抽象的過(guò)程中，利用符號(hào)將行為壓縮成概念，形成圖式，這些符號(hào)有助于學(xué)習(xí)者在過(guò)程和概念之間來(lái)回轉(zhuǎn)換，有助于進(jìn)行算術(shù)、代數(shù)、微積分等的計(jì)算和操作。在這個(gè)世界里，物理操作中蘊(yùn)含的道理被凝聚壓縮成心理操作，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由過(guò)程到對(duì)象的飛躍。這要求我們?cè)诮虒W(xué)中要充分運(yùn)用現(xiàn)有的工具和語(yǔ)言把觀察到的現(xiàn)象刻畫(huà)出來(lái)。在進(jìn)行微分中值定理概念教學(xué)的時(shí)候，以學(xué)生有意義建構(gòu)過(guò)的費(fèi)馬引理為工具，用分析的語(yǔ)言描述觀察到的幾何圖形，得到羅爾定理的條件和結(jié)論，實(shí)現(xiàn)由過(guò)程到對(duì)象的飛躍。在對(duì)羅爾定理中的特殊條件“f(a)=f(b)”一般化后，仿照羅爾定理的發(fā)現(xiàn)模式，讓學(xué)生用分析的語(yǔ)言描述圖2，獲得拉格朗日中值定理。

圖2

3.第三個(gè)世界是“形式公理化世界( Formal-axiomatic World)”

從微分中值定理的發(fā)現(xiàn)與學(xué)習(xí)過(guò)程中可以看到，與初等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)中的很多概念已經(jīng)不能從客觀世界中找到其現(xiàn)實(shí)依據(jù)，一般都是經(jīng)過(guò)對(duì)客觀事物進(jìn)行初步抽象后進(jìn)行再抽象獲得的，已經(jīng)完全脫離了現(xiàn)實(shí)意義，形成了自己獨(dú)特的符號(hào)化、形式化表達(dá)方式，不能為大多數(shù)人所直接理解。而且高等數(shù)學(xué)研究的是更加本質(zhì)的、過(guò)程性的、多變量的數(shù)學(xué)過(guò)程和數(shù)學(xué)規(guī)律，得到的定理、定義、運(yùn)算法則等一般都有嚴(yán)格的使用條件和適用范圍，更不易被大多數(shù)人直接感知和運(yùn)用。數(shù)學(xué)三個(gè)世界的理論研究了抽象知識(shí)的形成和轉(zhuǎn)化過(guò)程，并把形式化推理作為最終目標(biāo)[7]8-11，由高等數(shù)學(xué)的種種特點(diǎn)來(lái)看，它從本質(zhì)上把握了高等數(shù)學(xué)不同于一般學(xué)科的特點(diǎn)，非常恰當(dāng)?shù)亟忉屃巳祟愒趯W(xué)習(xí)高度抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程，為教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供了新的視角。

(二)依據(jù)學(xué)習(xí)理論解讀教材，讓學(xué)生學(xué)會(huì)化歸與證明

化歸思想在數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論中占有非常重要的地位，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題非常常用的一種方法和手段。匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得在《無(wú)窮的玩藝》一書(shū)中寫道：數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直到把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問(wèn)題[8]。比如連著名的費(fèi)馬大定理證明的獲得都要?dú)w功于各種轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”是一種間接解決問(wèn)題的方法。它在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用就在于轉(zhuǎn)化，把待解決或未解決的問(wèn)題進(jìn)行變形、分割、映射，或簡(jiǎn)單化、或熟悉化、或具體化、或正難則反化，直至歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或比較容易解決的問(wèn)題中去[9]。鑒于拉格朗日中值定理和柯西中值定理與羅爾定理的關(guān)系，我們采取化歸的方法來(lái)證明這兩個(gè)定理。

在定理的證明中，我們?cè)O(shè)計(jì)選取費(fèi)馬引理為證明工具，后面所有定理的證明均依托于費(fèi)馬引理展開(kāi)。費(fèi)馬引理體現(xiàn)了極值原理的重要性以及從不等到相等的辯證性：極值點(diǎn)處的值雖然可以最大或最小，但其導(dǎo)數(shù)值卻是零。羅爾定理的證明設(shè)計(jì)主要是依據(jù)極值點(diǎn)處切線的斜率為零得到的，充分體現(xiàn)了極值原理的重要性。由于拉格朗日中值定理是羅爾定理的特殊條件一般化后得到的，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，它們與羅爾定理之間都有密切聯(lián)系，所以對(duì)于這兩個(gè)定理的證明，在羅爾定理已經(jīng)得證的基礎(chǔ)上，我們考慮設(shè)計(jì)通過(guò)化歸，將后面兩個(gè)定理的證明都轉(zhuǎn)化到羅爾定理的證明上。

具體來(lái)說(shuō)，在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)不一定具備f(a)=f(b)這個(gè)條件，為此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)φ(x)，使φ(x)滿足條件φ(a)=φ(b)，然后對(duì)φ(x)應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)φ(x)所得結(jié)論轉(zhuǎn)化到f(x)上，從而證得所要的結(jié)果。在這里，就引出了一個(gè)新問(wèn)題：如何構(gòu)造輔助函數(shù)。

從上面的證明過(guò)程可以看出，拉格朗日中值定理的證明關(guān)鍵在于尋找不變量，利用不變量化歸到羅爾定理的證明。無(wú)論直線AB傾斜與否，有向線段NM的值總是曲線與直線之差，這就是不變量。

柯西中值定理的證明實(shí)質(zhì)與拉格朗日中值定理的證明是相同的，都是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)將問(wèn)題化歸到羅爾定理。因此，學(xué)習(xí)在某種程度上就是復(fù)習(xí)。鑒于此，在三個(gè)微分中值定理證明的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師可先講授羅爾定理的全部證明過(guò)程，然后讓學(xué)生比較羅爾定理與拉格朗日中值定理之間的異同，重點(diǎn)講授格朗日中值定理的證明過(guò)程中的新問(wèn)題——輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，剩下的證明過(guò)程則交給學(xué)生。最后柯西中值定理的證明全部讓學(xué)生自己來(lái)思考操作，教師不再贅述。這樣在教授定理證明的過(guò)程中，教師的包辦成分在逐步減少，學(xué)生的主動(dòng)成分逐漸增加，教師與學(xué)生的相對(duì)地位一直處于動(dòng)態(tài)平衡之中，教師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性均可以得到落實(shí)，使新知識(shí)得到充分內(nèi)化，學(xué)生能力和認(rèn)知水平得到充分發(fā)展[10]，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)由初級(jí)層次上升到高級(jí)層次。

三、依據(jù)學(xué)習(xí)理論進(jìn)行教學(xué)

根據(jù)上述前端分析，我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，將設(shè)計(jì)化成了實(shí)踐，并取得很好的效果。下面是我們進(jìn)行依據(jù)數(shù)學(xué)三個(gè)世界學(xué)習(xí)理論進(jìn)行課堂教學(xué)的教案。

1.教學(xué)目標(biāo)

深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理及其幾何意義，了解柯西中值定理；理解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理三者的聯(lián)系。讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，初步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、證明數(shù)學(xué)的一些基本方法。使學(xué)生初步領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美妙之處。

2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其應(yīng)用。難點(diǎn)：拉格朗日中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造。

3.教學(xué)過(guò)程

第一課時(shí)：(1)開(kāi)門見(jiàn)山，提出研究問(wèn)題。我們要研究函數(shù)的性態(tài)，那么該從哪方面著手？雖然借助導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)，但是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)只能反映函數(shù)的局部特征，而我們需要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，如何用一個(gè)反映局部特征的量去研究整體的量呢？那么我們需要一個(gè)與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)但又能反映函數(shù)整體性態(tài)的工具，這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的新工具——微分中值定理。(2)引導(dǎo)觀察，尋找研究工具：山有最高點(diǎn)，有山谷，但只有平緩變化的山頂和山谷，才是平坦之處。此處意在引出費(fèi)馬引理這個(gè)研究工具。(3)幾何現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，得到基本結(jié)論——羅爾定理。(4)基本結(jié)論一般化，得到拉格朗日中值定理。(5)定理的應(yīng)用及練習(xí)。(6)小結(jié)——留點(diǎn)懸念：如果改變函數(shù)的表達(dá)形式，拉格朗日中值定理將發(fā)生怎樣的變化？

第二課時(shí)：(7)形式化，推廣到柯西中值定理。(8)統(tǒng)一性，用行列式把這三個(gè)定理統(tǒng)一起來(lái)。(9)練習(xí)鞏固。(10)總結(jié)。用圖表的方式揭示三個(gè)定理之間的關(guān)聯(lián)，并指出這是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)、體現(xiàn)“以直代曲”法的思想和方法的非常好的例子，需要好好體會(huì)。

四、分析與討論

教學(xué)設(shè)計(jì)是溝通理論與實(shí)踐的橋梁，是課堂教學(xué)活動(dòng)是否有效的關(guān)鍵。這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)經(jīng)過(guò)了課堂教學(xué)的實(shí)踐檢驗(yàn)，教師感覺(jué)上課自然流暢，學(xué)生覺(jué)得學(xué)有所獲。依據(jù)有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的學(xué)習(xí)理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)實(shí)踐，使學(xué)生對(duì)于高等數(shù)學(xué)知識(shí)的把握不只是停留在初級(jí)學(xué)習(xí)的層面，而是通過(guò)同化和順應(yīng)將新知識(shí)內(nèi)化到數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織或重組，促進(jìn)認(rèn)知能力的發(fā)展，從而使教學(xué)獲得較大效益，提高了大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

第一，基于學(xué)習(xí)理論，對(duì)教材深入解讀，可以靈活把握教材，準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)。在知識(shí)與技能層面上，運(yùn)用“深刻理解”“理解”“了解”等表達(dá)程度不同的詞語(yǔ)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)三個(gè)微分中值定理采取不同的要求，使得教學(xué)過(guò)程中有側(cè)重，不會(huì)“眉毛胡子一把抓”。在過(guò)程與方法層面上，把數(shù)學(xué)的思想與方法的發(fā)生發(fā)展過(guò)程解構(gòu)出來(lái)，使其過(guò)程符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)生發(fā)展過(guò)程；在情感態(tài)度與價(jià)值觀層面上，讓學(xué)生充分感受到理趣、智趣而不膚淺的娛樂(lè)之處。教學(xué)需要有趣味，但這種趣味更多的是指理趣和智趣?！安蹇拼蛘煛惫倘皇箤W(xué)生當(dāng)時(shí)感到有趣，但多年之后學(xué)生回首往事之時(shí)，才會(huì)發(fā)現(xiàn)根本沒(méi)有學(xué)到什么。

第二，基于學(xué)習(xí)理論，對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)有了更深切的把握。重點(diǎn)是指一節(jié)課的知識(shí)核心，難點(diǎn)是學(xué)生不易掌握的地方。拉格朗日中值定理處于三個(gè)微分中值定理的中樞，可以特殊化，也可以一般化。其證明過(guò)程還運(yùn)用了在數(shù)學(xué)方法論中占有重要地位的化歸法：顯然是學(xué)生需要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。證明過(guò)程中輔助函數(shù)的構(gòu)造十分巧妙，不易想到。學(xué)生能否構(gòu)造輔助函數(shù)，學(xué)會(huì)化歸，是他們能否從此節(jié)課中獲得認(rèn)知發(fā)展的重要標(biāo)志。從學(xué)習(xí)的角度而言，這是過(guò)程—符號(hào)化學(xué)習(xí)階段的良好載體，如果不充分經(jīng)歷這個(gè)階段的學(xué)習(xí)，概念—具體化世界的學(xué)習(xí)將指向不明，就失去了其奠基性作用，形式化公理世界也將成為空中樓閣。有了學(xué)習(xí)理論的指引，再結(jié)合教師的專業(yè)素養(yǎng)，對(duì)何謂重點(diǎn)，何為難點(diǎn)將有自己獨(dú)特的見(jiàn)解。

第三，基于學(xué)習(xí)理論，對(duì)教學(xué)過(guò)程有整體把握?！耙詫W(xué)定教”是教育心理學(xué)的重要主張。從教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)來(lái)看，本節(jié)課的設(shè)計(jì)完全是由學(xué)習(xí)理論外化而成的。教學(xué)設(shè)計(jì)先由物理世界中的具體形象出發(fā)，再將其數(shù)學(xué)化，最后上升到形式化，引導(dǎo)著學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從數(shù)學(xué)第一個(gè)世界，經(jīng)歷第二個(gè)世界，逐步發(fā)展到數(shù)學(xué)第三個(gè)世界，符合人類數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，能使學(xué)生比較順利地建構(gòu)新知識(shí)的意義。在不改變教材內(nèi)容和行文順序的前提下，將整個(gè)微分中值定理的內(nèi)容劃分成由一條邏輯主線串起來(lái)的4個(gè)小知識(shí)點(diǎn)，而每一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)又都是由多個(gè)相互之間有密切聯(lián)系的小問(wèn)題組成，使得每一個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)都控制在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)階梯上升狀。此外，考慮到一堂課中學(xué)生吸收新知識(shí)的“飽和度”，以拉格朗日中值定理為分界點(diǎn)將教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)分為兩個(gè)課時(shí)，給學(xué)生充分的時(shí)間消化吸收新知識(shí)。每個(gè)課時(shí)結(jié)束后都有一個(gè)關(guān)于微分中值定理的部分小結(jié)，先讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知形成一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的認(rèn)知節(jié)點(diǎn)，整個(gè)教學(xué)結(jié)束后再將有關(guān)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來(lái)形成關(guān)于微分中值定理完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。即將分開(kāi)講述的三個(gè)中值定理再次融合成一個(gè)整體(用一個(gè)行列式將三個(gè)微分中值定理統(tǒng)一起來(lái))，幫助學(xué)生將各個(gè)認(rèn)知點(diǎn)相連接形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，立足于從整體把握微分中值定理，使得對(duì)于該定理的認(rèn)知由部分上升到整體，提高了認(rèn)知層次。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)三個(gè)世界理論深刻揭示了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由淺入深必須要經(jīng)歷的三個(gè)過(guò)程，是關(guān)于人類數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展研究的最新理論，給人們提供了研究認(rèn)知發(fā)展的新視角，也可以重新審視學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，以此創(chuàng)新教學(xué)理論、教學(xué)模式[7]8-11，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)提供新的思路。對(duì)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)與教而言，這個(gè)學(xué)習(xí)理論的價(jià)值還值得進(jìn)一步挖掘。

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(責(zé)任編輯李世萍)

*收稿日期2015-12-20

資助項(xiàng)目華中師范大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目“基于學(xué)習(xí)理論的信息技術(shù)與學(xué)科教科書(shū)的整合”(項(xiàng)目編號(hào)：CCNU15A06015)；華中師范大學(xué)重大科研課題及創(chuàng)新示范基地培育項(xiàng)目“TPACK視角下卓越數(shù)字化教師的培養(yǎng)研究”(項(xiàng)目編號(hào)：CCNUE2015-5).

作者簡(jiǎn)介席陽(yáng)(1991-)女，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

中圖分類號(hào)G642.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

A Study on Instructional Design of Higher Mathematics Based on the Learning Theory

XI Yang，XU Zhang-tao

(School of Mathematics and Statistics，Central China Normal University，Wuhan，430079，China)

Abstract：The learning theory of the three worlds of mathematics reveals the cognitive development order of human learning higher mathematics，which provides a theoretical base for teachers to reexamine cognitive development process of students and to promote the development of students' cognitive ability.Taking the differential mean value theorem as an example，we begin with the first work of instructional design based on the theory of learning from the perspective of the Three Worlds of Mathematics theory，and then designed a specific teaching process and put it into the teaching practice.Finally，it can comes into a good teaching effect that teachers feel natural and fluent while teaching and students can learn something by this way.For the teaching and learning of higher mathematics，the value of this theory is worth further digging.

Keywords：learning theory；the three worlds of mathematics；instructional design；higher mathematics；the differential mean value theorem