黃 偲,余順爭

(1. 中國能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院網(wǎng)絡(luò)信息部，廣東 廣州 510663;2.中山大學(xué)電子和通信工程系，廣東 廣州 510275)

非線性RLC電路的新解法及數(shù)值仿真*

黃 偲1,余順爭2

(1. 中國能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院網(wǎng)絡(luò)信息部，廣東 廣州 510663;2.中山大學(xué)電子和通信工程系，廣東 廣州 510275)

給出一類非線性RLC電路的新解法及數(shù)值仿真：電路的狀態(tài)變量表示為相位角簡諧函數(shù)；電路狀態(tài)方程的求解歸結(jié)為相位角對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的確定；時(shí)間自變量與中間變量相位角的關(guān)系由響應(yīng)頻率倒數(shù)的積分表示；從而算出電路的相軌線、時(shí)程曲線、相程曲線、時(shí)幅曲線、相幅曲線、幅頻曲線、相頻曲線和響應(yīng)周期，數(shù)值仿真顯示，結(jié)果與數(shù)值積分法吻合良好。

非線性RLC電路；狀態(tài)方程；新解法；數(shù)值仿真

由RC、RL、RLC構(gòu)成的串聯(lián)電路，在RLC串聯(lián)電路的不同過程中具有不同的特性，包括暫態(tài)特性、穩(wěn)態(tài)特性、諧振特性，這些狀態(tài)特性是RLC電路設(shè)計(jì)需要解決的關(guān)鍵問題。

非線性RLC電路狀態(tài)變量之間的變化關(guān)系可由以下的非線性微分方程

(1)

1 新解法概述

將式(1)改寫為

或

ydy=g(x)dx+εf(x,y)ydx

上式兩邊對x由零開始積分，得

(2)

直接假設(shè)非線性RLC電路(1)的狀態(tài)變量為相位角φ簡諧函數(shù)

(3)

這里，a和b待定常數(shù)，分別表示振幅和偏心距，

(4)

是中間變量相位角φ與時(shí)間自變量t微分關(guān)系，也表示電路狀態(tài)變量的響應(yīng)頻率。式(4)變形為

(5)

式(5)兩邊對φ積分，得

(6)

(7)

(8)

v(-a+b)-v(a+b)+

(9)

式(6)中取φ=2π且t0=0則電路的穩(wěn)態(tài)周期為：

(10)

(11)

迭代格式為：

(12)

電路的狀態(tài)變量的k階近似解為：

(13)

其中ak和bk由以下二式解出：

(14)

(15)

k階近似的時(shí)-相變換式及響應(yīng)周期分別為：

(16)

(17)

2 應(yīng) 用

考慮如圖1所示的電容庫伏特性為荷控型RLC串聯(lián)電路[1]，其非線性電容C的庫伏特性為

圖1 RLC串聯(lián)電路 Fig.1 RLC series circuit

v=f(q)=-q+q3。電阻R和電感L均為線性。以電荷q和電感電流iL為狀態(tài)變量，電路的狀態(tài)方程可表為

(18)

試討論該電路的周期振蕩解。

令x=q,y=iL,L=1，式(18)化為

(19)

自治電路的狀態(tài)方程(19)有三個(gè)平衡點(diǎn)(0,0),(-1,0), (1,0)，前者是鞍點(diǎn)，繞該點(diǎn)電路無穩(wěn)定周期振蕩；后二者是漸近穩(wěn)定焦點(diǎn)。下面討論環(huán)繞焦點(diǎn)的周期振蕩解。

首先考慮電路繞焦點(diǎn)(1,0)的振蕩。作x坐標(biāo)的平移變換

式(19)變?yōu)?/p>

(20)

比較式(1)得

用上述的迭代法近似求解之。無阻尼(δ=0)時(shí)，由式(11)及(19)得電路(20)的初始頻率

(21)

其中,

(22)

將式(21)展開為泰勒展開式，并取前二次項(xiàng)(為書寫方便，記a=a0,b=b0)，得

(23)

將式(23)代入式(14)、(15)，并注意到式(20)，分別得

(24)

(25)

將式(23)代入式(12)可得

(26)

其中,

聯(lián)立式(24)和(25),并注意到式(22)得

a2=-2b-b2

(27)

Aa4+Ba2+C=0

(28)

其中，

C=64+384b+768b2+576b3+144b4

由式(28)得

(29)

聯(lián)立式(27)及(29)，得

C=B(2b+b2)-A(2b+b2)2

化簡上式可得

1 971b2+1 584b+256=0

此方程有三個(gè)近似實(shí)根

b=-37.883 833; -2.347 637; -0.208 053

由a>0及式(28)知，只有最后者符合題意，此時(shí)，

(30)

從而得到電路(20)的一次迭代的近似解

(31)

電路過點(diǎn)鞍點(diǎn)(-1,0)有同宿軌線，其表達(dá)式仍具有式(31)的形式，但幅值與偏心距由以下二式確定

圖2 電路(18)的極限環(huán)與同宿軌線Fig.2 Limit cycle and a homoclinic orbit of the circuit (18)

2r3r5cos3φsinφ+2r3r7cos3φsin3φ+

2r4r5sin2φcosφ+2r4r6sin4φ+

2r5r7sin4φcos2φ+2r6r7sin6φcosφ+

2(r2r7+r3r6)cos2φsin3φ+

(6r2r4-4r1r5)sinφcosφ+

(6r2r6-4r1r7)sin3φcosφ}

由式(16)得一次迭代的時(shí)間t與相位角φ的關(guān)系式

(32)

其中，

c2=-4r1r2+6r2r3,c3=4r1(r4+r6)

c5=3r2r4-2r1r5,

c7=-2r2r3+4r4r5

本法計(jì)算的幅頻曲線和相頻曲線如圖4。

圖3 電路(18)的電量及電流與時(shí)間和相位的關(guān)系曲線Fig.3 Curves of the relationship between power and current with time and phase of the circuit (18)

圖4 電路(18)的幅頻曲線和相頻曲線Fig.4 Amplitude frequency curve and phase frequency curve of the circuit (18)

數(shù)值搜索及本文的方法顯示，RLC串聯(lián)電路(18)僅當(dāng)電阻R與電感L數(shù)值上的比值δ較小，比如δ=0.000 1附近才能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)振蕩，這在工程上具有實(shí)用意義。

3 結(jié) 語

本文提出的新解法僅涉及初等微積分，理論依據(jù)可靠；計(jì)算結(jié)果僅一次近似便與數(shù)值解法(一般認(rèn)為是精確解)的誤差已小于3.4%，如此高精度解析方法，對非線性RLC電路設(shè)計(jì)將具有很好的實(shí)用價(jià)值。

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The new solution and numerical emulation for a nonlinear RLC circuits

HUANGCai1,YUSunzheng2

(1．Network & Telecommunication Division, China Energy Construction Group Guangdong Electric Power Design & Research Institute, Guangzhou 510663, China;2．Department of Electronics and Communication Engineering, Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275, China)

A new solution and its numerical emulation for the nonlinear RLC circuit are given. The state variable of the circuit is expressed as the simple harmonic function of the phase angle. The determination for the first derivative of the phase angle about the time are used to solve the state equations. The relation of the time independent variable with the middle variable of the phase angle is shown as the integral for the reciprocal of the response frequency. The numerical values, including the phase portraits, the time-distance curve, the phase-distance curve, and the time-range curve, and the phase-range curve, and the range- frequency curve, and the phase- frequency curve and the response period, are computed. The results are in good agreement with the numerical integral method.

nonlinear RLC circuits；state equation；new solution；numerical emulation

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.014

2015-12-26

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172334)

黃偲(1983年生)，男;研究方向：電子通信;E-mail:lendies@163.con

TN

A

0529-6579(2016)03-0083-06