張孝彩，張 毅

(1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

基于El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量*

張孝彩1，張 毅2

(1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

研究基于El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。基于按Riemann-Liouville積分拓展的類分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題導(dǎo)出El-Nabulsi模型的D’Alembert-Lagrange原理，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；給出分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性的定義和判據(jù)，建立了Lie對(duì)稱性確定方程，并提出廣義Hojman定理，給出廣義Hojman守恒量存在的條件及其形式；最后，建立了廣義Noether定理，給出分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性導(dǎo)致Noether守恒量的條件及其形式，并給出兩個(gè)算例以說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)；El-Nabulsi模型；Lie對(duì)稱性；守恒量

Noether對(duì)稱性總可以導(dǎo)致守恒量，而Lie對(duì)稱性沒(méi)有這種性質(zhì)。Lie對(duì)稱性尋找守恒量通常找到的是Noether守恒量[1]。1979年，Lutzky[2]將Lie方法引入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，研究了二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在時(shí)間和坐標(biāo)的速度依賴的無(wú)限小變換下的不變性質(zhì)，建立了Lie對(duì)稱性與Noether守恒量之間的聯(lián)系；1994年，趙躍宇[3]將其推廣到非保守力學(xué)系統(tǒng)；1999年，梅鳳翔[4]系統(tǒng)地闡述了約束力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Noether守恒量。1992年，Hojman[5]導(dǎo)出了一個(gè)新的守恒定理，其守恒量的構(gòu)造僅取決于運(yùn)動(dòng)方程的對(duì)稱變換，而沒(méi)有用到系統(tǒng)的Lagrange或Hamilton結(jié)構(gòu)。Lutzky[6]將此方法推廣至Lagrange系統(tǒng)；梅鳳翔[7-8]將Hojman定理拓展到相空間離散力學(xué)系統(tǒng)和廣義Hamilton系統(tǒng)；張毅[9-10]研究了Birkhoff系統(tǒng)和廣義經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Hojman守恒量；羅紹凱[11]給出了非完整力學(xué)系統(tǒng)的Hojman守恒量；張宏彬[12]得到了Birkhoff系統(tǒng)的一般Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的Hojman守恒量。關(guān)于Lie對(duì)稱性與Hojman守恒量的研究已經(jīng)取得一系列重要成果[13-15]。

分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展可追溯至1695年，Riewe[16]于1996年首次把分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于非保守系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模。2005年，El-Nabulsi[17]基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義提出了一個(gè)非保守動(dòng)力學(xué)模型。該模型的新穎處體現(xiàn)在：分?jǐn)?shù)階時(shí)間積分僅引進(jìn)一個(gè)實(shí)參數(shù)α，得到的方程形式簡(jiǎn)單僅依賴分?jǐn)?shù)階積分的階，并不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。至今，此方法已得到諸多成果[18-20]。本文將進(jìn)一步研究基于El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量。

1 基于按Riemann-Liouville積分拓展的類分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題

左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為[17]：

(1)

求積分泛函

(2)

在固定邊界條件

qs(τ1)=qs,1,qs(τ2)=qs,2

(s=1,…,n)

(3)

據(jù)變分理論知，泛函(2)在qs=qs(τ)取極值的必要條件為δS=0，即

(4)

(5)

將式(5)代入式(4)得

(6)

由于積分區(qū)間[τ1,τ2]的任意性，故有

(7)

式(7)可稱為基于El-Nabulsi模型的D’Alembert-Lagrange原理。

對(duì)完整系統(tǒng)而言，δqs(s=1,…,n)是獨(dú)立的，故由(7)得

(8)

方程(8)稱為基于El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程[17]，當(dāng)α=1時(shí)，方程(8)退化為經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

(9)

2 分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與廣義Hojman守恒量

2.1 系統(tǒng)的Lie對(duì)稱變換與確定方程

引入無(wú)限小群變換

(10)

其展開式為

(11)

式中ε為無(wú)限小參數(shù)，ξ0、ξs為無(wú)限小生成元。

引入無(wú)限小生成元向量

(12)

其一次擴(kuò)展為

(13)

二次擴(kuò)展為

(14)

方程(9)在無(wú)限小群變換(11)下的不變性歸為如下的Lie對(duì)稱性確定方程

(15)

定義1 如果無(wú)限小群變換(11)的生成元滿足Lie對(duì)稱性確定方程(15)，則稱相應(yīng)的對(duì)稱性為基于按Riemann-Liouville積分拓展的El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)(8)的Lie對(duì)稱性。

2.2 廣義Hojman定理

Lie對(duì)稱性不一定導(dǎo)致守恒量。下面的定理給出基于按Riemann-Liouville積分拓展的El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致廣義Hojman守恒量的條件及其形式。

(16)

則系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性直接導(dǎo)致廣義Hojman守恒量，形如

(17)

證明：

(18)

由文獻(xiàn)[5]易得：

(19)

(20)

(21)

將式(19)-(21)代入式(18)，并利用式(15)得

(22)

利用式(16)易知：

(23)

(24)

(25)

將式(23)-(25)代入式(22)并利用式(16)，得

(26)

當(dāng)ξ0=0時(shí)，式(17)給出

(27)

式(27)稱為Hojman守恒量。

定理1可稱為基于按Riemann-Liouville積分拓展的El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的廣義Hojman定理。利用該定理，可由系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性直接得到守恒量(17)。

3 分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Noether守恒量

下面定理給出基于按Riemann-Liouville積分拓展的El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致Noether守恒量的條件及其形式。

(28)

則系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性導(dǎo)致Noether守恒量

(29)

證明：

定理2可稱為基于按Riemann-Liouville積分拓展的El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的廣義Noether定理。利用該定理，可由系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性間接得到守恒量(29)。

4 算 例

例1 平面Kepler問(wèn)題的Lagrange函數(shù)是

(30)

研究系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性及守恒量。

式(9)給出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(31)

由Lie對(duì)稱性確定方程(15)知

(32)

式(32)有解

(33)

由條件式(16)給出

(34)

式(34)有解

(35)

利用定理1，由式(33)、(35)得

(36)

當(dāng)α=1 時(shí)，式(34)有另一個(gè)解

(37)

利用定理1，由式(33)、(37)得

(38)

通過(guò)Lie對(duì)稱性尋找相應(yīng)的守恒量需特別注意的是，因平凡守恒量沒(méi)有實(shí)際意義，故應(yīng)選取適當(dāng)?shù)纳稍?,ξs,λ使守恒量是非平凡的。

由結(jié)構(gòu)方程(28)得

(39)

由式(33)和式(39)，得

G=0

(40)

利用定理2，由式(33)、(40)得

(41)

例2 設(shè)系統(tǒng)的位形由兩個(gè)廣義坐標(biāo)q1,q2來(lái)確定，其Lagrange函數(shù)為

(42)

研究該系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Lie對(duì)稱性及守恒量。

式(9)給出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(43)

由確定方程(15)，得

(44)

(45)

由條件式(16)，得

(46)

利用定理1，由式(44)、(46)得

(47)

由式(45)、(46)得

(48)

由結(jié)構(gòu)方程(28)和式(45)，得

(49)

利用定理2，由式(45)、(49)，得

(50)

當(dāng)α=1時(shí)，該守恒量退化為經(jīng)典守恒量。式(50)為

(51)

5 結(jié) 論

本文研究基于El-Nabulsi模型的分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量，得到了Lie對(duì)稱性導(dǎo)致的廣義Hojman守恒量和Noether守恒量。本文結(jié)果具有一般性，當(dāng)α=1時(shí)，結(jié)論退化為經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量，當(dāng)ξ0=0，廣義Hojman守恒量結(jié)論退化為Hojman守恒量。文中的方法和結(jié)論還可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于研究分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性與守恒量問(wèn)題等。

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Lie symmetry and conserved quantity of fractional Lagrange system based on El-Nabulsi models

ZHANGXiaocai1,ZHANGYi2

(1. College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009, China;2. College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215011, China)

The Lie symmetry and the conserved quantity of fractional Lagrange system based on El-Nabulsi models are studied. Firstly, the D’Alembert-Lagrange principle of the El-Nabulsi models is deduced based on the fractional action-like variational problem which is expanded by the Riemann-Liouville integral, and the differential equations of motion of the system are obtained. Secondly, the definition and the criterion of the Lie symmetry are given, the determination equations of the Lie symmetry of the system are established, and the generalized Hojman theorem is put forward. At the same time, the existence condition and the form of the generalized Hojman conserved quantity are obtained. Then, the generalized Noether theorem is established, the existence condition and the form of the Noether conserved quantity led by the Lie symmetry are given. Finally, two examples are given to illustrate the application of the results.

fractional Lagrange system; El-Nabulsi model; Lie symmetry; conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.016

2015-05-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272227,11572212)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYZZ_0350)；蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(SKCX14_058)

張孝彩(1988年生)，女；研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法；通訊作者：張毅;E-mail:weidiezh@gmail.com

O316

A

0529-6579(2016)03-0097-06