姜文琳 李亮亮

摘 要：學(xué)生對(duì)極限的理解深度對(duì)高等數(shù)學(xué)中微積分的學(xué)習(xí)有著極其重要的影響，本文主要利用逆向思維的方法闡述如何讓學(xué)生更深層次理解極限的定義。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限；逆向思維

極限是微積分最主要的思維方式，是微積分發(fā)展的基礎(chǔ)，因此對(duì)極限的掌握是不可忽視的，但對(duì)于微積分初學(xué)者來說，這一基礎(chǔ)的思維理論太過抽象，但是學(xué)生對(duì)該定義的理解直接影響到后面函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等定義的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步可以說，它是微積分學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。而且極限的定義在學(xué)生學(xué)習(xí)上和教師教學(xué)上都是一個(gè)難點(diǎn)。所以，這個(gè)問題應(yīng)該是所有高等數(shù)學(xué)教師比較關(guān)注的問題。逆向思維是與順向思維相對(duì)立的概念，它在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與應(yīng)用中都占據(jù)著很重要的作用，若能合理運(yùn)用逆向思維，不僅能開發(fā)學(xué)生的思維能力同時(shí)也能開拓學(xué)生的思維空間。本文主要在建立極限定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步幫助學(xué)生利用逆向思維更深層次來理解極限定義的內(nèi)涵。

一、逆向思維理解數(shù)列極限的定義

1.數(shù)列極限的數(shù)學(xué)表達(dá)。定義1：設(shè)數(shù)列，若存在一個(gè)常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)（不論它多?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為。

注：定義1是我們熟知的語(yǔ)言，簡(jiǎn)化形式：，正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.它是由四個(gè)部分組成的一個(gè)定義，現(xiàn)在也有一些教研論文討論過極限定義的理解和教學(xué)方法，但大多數(shù)是在定義上順向解釋它的含義，下面將按照逆向思維的模式來更深一步解釋極限的定義，讓學(xué)生更深層次的理解極限的思維，并掌握這一概念。

2.逆向理解數(shù)列極限。下面主要從定義想要揭示的含義的角度，反向來解釋定義中四個(gè)部分的嚴(yán)謹(jǐn)性，解釋為什么需要這四個(gè)部分。

第一步（不等式存在的意義）：根據(jù)定義，是數(shù)列的極限，也就是說，數(shù)列里面的項(xiàng)應(yīng)該隨著n的增大越來越接近于這個(gè)極限值，那么接近的程度該怎么用算術(shù)的語(yǔ)言來說明，這就想到了中學(xué)所學(xué)的差的絕對(duì)值，也就是數(shù)列的項(xiàng)與極限值的距離：（兩個(gè)數(shù)的差）。那怎么去刻畫這個(gè)越來越接近的思想，距離越來越小，這個(gè)小的程度就用到了不等式來表達(dá)，我們就有了的存在，這里說任意的正數(shù)，其實(shí)是說任意小的，也就說明了項(xiàng)與極限值的距離可以任意小，代表了小的程度，很接近的意思，代表了極限的思維。

第二步（，存在的意義）：但是，每次取定一個(gè)，不可能對(duì)于數(shù)列的每一項(xiàng)都能與極限值接近到這樣的程度，比如一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)總是無法建立與極限值的關(guān)系。所以有了，這就像是一個(gè)門檻，過了這個(gè)門檻，我們就能夠保證這之后的每一項(xiàng)都可以達(dá)到這么接近的程度。至于之前的項(xiàng)，那就無所謂了，只有有限項(xiàng)而已（是有限的正整數(shù)）。所以有了的存在，考慮的是大于之后的項(xiàng)。也就是，每次取定一個(gè)更小的，也就是說誤差變得越小，前面就會(huì)有越來越多的項(xiàng)不能達(dá)到這個(gè)接近程度而被踢出去，也就是說會(huì)越來越大，但不論怎么說，不符合要求的項(xiàng)總是有限的，而后面有無限項(xiàng)達(dá)到了接近的要求，也就是滿足那個(gè)不等式。體現(xiàn)了后面極限趨勢(shì)的一種思想。

二、逆向思維理解函數(shù)極限的定義

在這里主要描述自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限（簡(jiǎn)化形式）：

，，當(dāng)時(shí)，有.下面也利用逆向思維的方法進(jìn)一步理解函數(shù)極限的定義。

第一步（不等式存在的意義）：根據(jù)定義是函數(shù)的極限，也就是說，函數(shù)值應(yīng)該隨著的變化（如何變化在第二步中表達(dá)）接近于這個(gè)極限值，那么接近的程度該怎么用算術(shù)的語(yǔ)言來說也就是函數(shù)與極限值的距離：.那么距離接近的程度就用到了不等式來表達(dá)，我們就有了正數(shù)的存在，任意小的，代表了極限的思維。

第二步（存在的意義）：每次取定一個(gè)，不可能對(duì)于函數(shù)的每個(gè)值都能與極限值接近到這樣的程度，可能只有非常接近的點(diǎn)才能滿足要求，至于遠(yuǎn)離的點(diǎn)我們就不考慮了。所以有了的存在，考慮的是靠近的點(diǎn)，極限的定義沒有要求在有定義，所以只需要，每次取定一個(gè)更小的，也就是說誤差變得越小，里面就會(huì)有越來越多的項(xiàng)不能達(dá)到接近程度而被踢出去，也就是說會(huì)越來越小，的取值受的影響。

對(duì)于初學(xué)者來說，雖然極限的定義是新的，但是用來刻畫它的絕對(duì)值不等式卻是我們所熟知的，理解起來相對(duì)來說也比較簡(jiǎn)單，極限定義的語(yǔ)言中關(guān)鍵就是對(duì)兩個(gè)不等式的應(yīng)用，尤其是其中的絕對(duì)值不等式的表示與變形。同時(shí)，利用同樣的思維模式可以去理解其它類型的函數(shù)的極限的定義，比如函數(shù)單側(cè)極限的定義，自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)極限的定義，這里不再詳細(xì)的闡述，讀者可以按照上面兩種類型的定義去理解。

三、思考

極限的定義邏輯結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，其中蘊(yùn)含了有限到無限的狀態(tài)，從近似到精確，由量變到質(zhì)變的深刻的辯證思想，它的思想很難理解。正因?yàn)闃O限定義不僅重要而且困難，所以至今仍有許多的數(shù)學(xué)教育工作者在關(guān)注和研究這個(gè)問題.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)實(shí)踐，運(yùn)用逆向思維幫助初學(xué)者能夠更深一步理解極限的定義，以達(dá)到降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。

參考文獻(xiàn)：

[1]尹彥紅.淺談逆向思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)科探索，2013，4：49-50.

[2]高興佑，向長(zhǎng)福.如何破解極限定義教學(xué)難題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（5）：96-99.

[3]王書臣，王立冬，張友，周文書.數(shù)列極限定義教學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：85-87.

[4]楊傳翔.如何理解極限的定[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012（2）：102-103.

[5]田苗青，郜欣春.如何讓學(xué)生理解極限的定義[J].高校理科研究，2010，6：100.

（作者單位：重慶三峽學(xué)院）