康浩

[摘 要] 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思路，結(jié)合具體的教學(xué)實例來激活學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，并在數(shù)學(xué)問題的分析與解決中歸納出數(shù)形結(jié)合的思路，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑. 從數(shù)學(xué)與生活關(guān)系來思考，數(shù)形結(jié)合則是數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的重要認識.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的對象就是數(shù)與形.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的編排中，數(shù)與形既有區(qū)別又有聯(lián)系，而數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點. 從教學(xué)實際來看，高中數(shù)學(xué)教學(xué)常常容易受高考的影響，一個重要的表現(xiàn)就是數(shù)學(xué)教師在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)問題，一般來講都是來自于最近兩三年的高考試卷，這樣的策略顯然具有實際意義. 而從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的角度來看，事實上也存在一些經(jīng)典試題，在這些試題身上所表現(xiàn)出來的價值，可以讓學(xué)生在解決過程中收獲數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)形結(jié)合就是其中之一！

數(shù)形結(jié)合有雙重理解：從數(shù)學(xué)知識的角度來看，數(shù)與形就是內(nèi)容不同的兩種數(shù)學(xué)研究對象；而從學(xué)生的思維加工來看則有著更大的啟發(fā)意義：數(shù)是什么？數(shù)是對生活世界的抽象，最初的數(shù)是計數(shù)的產(chǎn)物，后來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)還成為數(shù)學(xué)公式加工的對象. 抽象是數(shù)的最大特征，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中凡是涉及數(shù)的加工的，都是高度抽象的，自然也就是學(xué)生比較頭疼的；而形是什么，縱觀學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習過程，可以看出基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習過程中的形就是生活對象的簡單化處理，后來的形成為數(shù)學(xué)構(gòu)造的產(chǎn)物，比如說函數(shù)的圖象等. 但顯而易見的是，在形的學(xué)習中如果暫不考慮數(shù)量關(guān)系，那學(xué)生的思維對象要直觀、形象得多，因而相對而言，對形的學(xué)習與研究也是學(xué)生更容易接納的范疇. 做出這樣的對比，是想對當前高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出更有意義的思考，那就是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何實現(xiàn)有意義的數(shù)形結(jié)合，從而讓學(xué)生可以在形象與抽象的加工對象之間實現(xiàn)順利的轉(zhuǎn)換，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)的有效學(xué)習. 下面通過一則例子來說明.

一道“不起眼”的數(shù)學(xué)習題

在向量教學(xué)中，筆者給學(xué)生呈現(xiàn)了這樣的一道題目：若a=1，b=2，c=a+b且c⊥a，求a與b的夾角.

這道題目有其不起眼的地方，作為提供的兩個向量a和b，形式簡單、數(shù)字簡潔，而給出的第三個向量與原先兩個向量之間所存在的關(guān)系，則是一種大小與方向的關(guān)系，而這在向量問題當中這也再平常不過.因此要求原先給出的兩個向量的夾角，不過是已有數(shù)學(xué)知識的相對直接運用而已. 具體在解本題時，可以從純粹的向量計算角度給出這樣的求解思路：因為c⊥a，所以可知c和a兩向量相乘的結(jié)果必然是0，也就是說a和b兩向量之和與a向量的乘積也是0. 這樣就可以得出a和b兩個向量的乘積結(jié)果為-1，而這也就意味著a和b兩個向量的余弦值為-，從而可以得出夾角為120度.

但多年的教學(xué)經(jīng)驗也讓筆者認識到，即使最為簡單的數(shù)學(xué)題背后，都是存在可發(fā)掘的價值的.這道向量試題因為簡單，實際上也就具有了相當?shù)拇硇裕愃朴赾=a+b以及c=a-b等向量的計算，實際上都是建立在這種類型的題目的基礎(chǔ)之上的，因此，發(fā)掘這種代表性，應(yīng)當成為培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中發(fā)散性思維的重要教學(xué)思路. 更重要的是，在實際教學(xué)中，如果能夠讓學(xué)生有所生成，并且在學(xué)生生成的基礎(chǔ)上獲得新的認識，那源于本題的教學(xué)價值就彰顯得非常充分了.

一個很正常的解題直覺

在實際教學(xué)中，有三分之二左右的學(xué)生能夠如上面的解題思路一樣給出答案，這說明筆者起初的預(yù)設(shè)還是正確的. 在此基礎(chǔ)上，筆者思考如何將學(xué)生的思維進一步引向深入. 在這個時候，筆者注意到一個學(xué)生的解題可能存在著發(fā)掘價值.

這個學(xué)生是這樣想的：既然是向量題目，那就可以結(jié)合向量的定義來進行. 筆者追問他是什么意思的時候，他回答：對于向量的計算不應(yīng)當拘泥于純粹的代數(shù)的運算，也可以從圖形的角度來考慮，因為向量原本就應(yīng)當是圖形，向量就是有向線段.

這樣的回答在課堂上引起了熱烈的討論，相當一部分學(xué)生的思維都從數(shù)開始向形進行轉(zhuǎn)換. 而在筆者看來，這個學(xué)生（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中游的一個學(xué)生）的思維其實也很符合數(shù)學(xué)學(xué)習的直覺，因為這一類學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習中，形象思維往往總能夠在關(guān)鍵時刻發(fā)揮作用，尤其是抽象思維能力相對較弱的學(xué)生而言，認知的特點決定了他們往往會在問題解決中選擇形象思維. 而這意味著數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，可以成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲，而數(shù)形結(jié)合則可以成為數(shù)學(xué)教學(xué)的更高指向.

結(jié)合本題，如果將問題解決的思路由數(shù)轉(zhuǎn)向形，那具體可以如何求解呢？分析原題可知，如果已經(jīng)知道了向量a和b的大小以及c與a的關(guān)系，那么就可以借助于圖形來構(gòu)建這樣的關(guān)系，而這一點對于學(xué)生來說并不是一件難事，因為建立在向量概念基礎(chǔ)之上的關(guān)于向量大小與方向關(guān)系，對于學(xué)生來說通過作圖來表示，還是比較簡單的. 而有了這樣的思路，學(xué)生就可以通過圖形來表征原題所給出的信息，這樣就實現(xiàn)了由數(shù)向形的轉(zhuǎn)換.

事實上筆者在課堂上還做了一個工作，那就是對提出這一思路的學(xué)生大加贊揚，強調(diào)其思維在由數(shù)向形的轉(zhuǎn)換過程中，表現(xiàn)出很好的數(shù)形結(jié)合思想. 對于這位學(xué)生來說，這樣的表揚是激勵性的，而對于其他學(xué)生來說，這樣的表揚則是引導(dǎo)性的，可以從點與面兩個角度對數(shù)形結(jié)合的思想予以強調(diào).

一步有價值的解題延伸

在進行了上述挖掘之后，筆者在教學(xué)中做出了適當?shù)恼{(diào)整，對于原來準備的另一個關(guān)于向量計算的題目進行了適當?shù)母木? 原題是這樣的：已知非零向量a，b，則a=b=a-b=2，則a+b=________，a+b與b夾角為________.

在學(xué)生有了上述數(shù)形結(jié)合的思路之后，筆者提高了解題要求：不只是求出結(jié)果，而是分別用數(shù)與形兩種思路來進行求解.

這樣的要求引發(fā)了部分學(xué)生的異議，他們認為只要能夠求出結(jié)果就行了，不需要用兩種方法，更有部分基礎(chǔ)較好的學(xué)生認為自己能夠一下子選出最好的方法，就沒有必要再用繁雜的方法了. 針對這些想法，筆者力排眾議，明確要求不僅需要兩種方法，還要那些基礎(chǔ)較好的學(xué)生去比較兩種方法，并發(fā)現(xiàn)兩者之間的優(yōu)缺點.

由于要求的提高，因此不同層次的學(xué)生都有了自己不同的任務(wù). 這樣的任務(wù)驅(qū)動加上分層教學(xué)的思想，使得全體學(xué)生都能夠在較長時間內(nèi)沉浸在本題的解決過程當中. 事實上，無論是數(shù)的思路，還是形的方法，本題的解決都不算特別困難，絕大多數(shù)學(xué)生都能在預(yù)定時間內(nèi)給出兩種方法. 但筆者需要的是在此基礎(chǔ)上對兩種方法的對比，這樣的教學(xué)要求實際上是為了學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中多一份理性思考，即不僅知道有兩種方法的存在，還需要知道兩種方法的不同. 而當學(xué)生在比較的過程進行討論合作之后，他們也確實發(fā)現(xiàn)了：在向量問題的解決過程中，數(shù)的思路需要較強的邏輯思維能力，一旦有了這樣的能力支撐，那解題過程就比較簡潔，邏輯性也強；而用形的思路去解題，實際上既需要將原題由數(shù)轉(zhuǎn)換成形，也離不開數(shù)的運算，只不過運算起來沒那么復(fù)雜而已.

說這樣的教學(xué)設(shè)計存在價值，還是因為在此比較的過程中，學(xué)生可以收獲更為高級的數(shù)學(xué)學(xué)習認識. 學(xué)生為什么感覺基于圖形時計算就沒有那么復(fù)雜，那是因為學(xué)生此時的思維對象有形象的圖像支撐，而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的為什么有時又不需要這樣的過程，那是因為他們的邏輯思維強，思維時能夠以抽象的數(shù)以及數(shù)的運算法則為對象. 這就是思維能力不同的高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中的不同表現(xiàn)，也提醒我們，即使是最簡單的數(shù)學(xué)題目，即使是同樣都得到了正確的結(jié)果，但學(xué)生的思維仍然是不同的，而因材施教也就有了存在的必要.

一節(jié)需進一步總結(jié)的課

從本課的教學(xué)來看，本課的預(yù)設(shè)與生成其實都是圍繞一個主題來進行的，那就是向量問題解決中的數(shù)形結(jié)合. 而事實上高中數(shù)學(xué)的學(xué)習中，數(shù)形結(jié)合本來就是常態(tài)，但為什么很多時候?qū)W生的思維中往往只有數(shù)而沒有形，或者只有形而沒有數(shù)呢？這可能與學(xué)生的學(xué)習方式有關(guān)，也與教師的教學(xué)方式有關(guān).

數(shù)形結(jié)合原本是重要的數(shù)學(xué)思想，基于形而去理解數(shù)（包括數(shù)的運算規(guī)則），基于數(shù)而去構(gòu)建形，應(yīng)當成為數(shù)學(xué)學(xué)習的一種良好直覺. 如果需要進一步總結(jié)，筆者以為關(guān)鍵有三：一是數(shù)形結(jié)合的依托是什么；二是數(shù)形結(jié)合意識的培養(yǎng)；三是數(shù)形結(jié)合思想的建立. 對于第一、二兩個問題，筆者以為答案在于數(shù)學(xué)問題解決，因為這是一個綜合性最強、指向性最強的教學(xué)過程，可以有效激活學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識；而對于第三個問題，筆者以為則需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合類的數(shù)學(xué)問題進行歸類，并從中概括出基本的分析思路與數(shù)形結(jié)合辦法. 事實上，數(shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)的，更是生活的，在生活中很多時候都是在形的思維基礎(chǔ)上去進行數(shù)的思考. 基于數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的思考，數(shù)形結(jié)合也應(yīng)當在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中獲得更廣泛的存在.