陶蕊

[摘 要] “以學(xué)生發(fā)展為本，人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育、不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中必須體現(xiàn)的新課程理念，這就需要我們正確把握學(xué)生的起點(diǎn)，了解學(xué)生，研究學(xué)生，讀懂學(xué)生. 錯(cuò)例為我們研究學(xué)生提供了一個(gè)獨(dú)特的視角. 它是學(xué)生思維的真實(shí)暴露，是學(xué)習(xí)知識(shí)的第一反饋，蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)資源，具有巨大的研究?jī)r(jià)值. 本文就以一題為例淺談錯(cuò)例分析在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的實(shí)踐與探索.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)例分析；實(shí)踐；探索

概念的界定

錯(cuò)例分析：以學(xué)生錯(cuò)例為載體，從錯(cuò)因探究、解法探究、評(píng)價(jià)與反思、拓展與記錄等方面剖析錯(cuò)例，幫助學(xué)生完善知識(shí)漏洞、優(yōu)化解題方法、排除思維障礙，優(yōu)化思維品質(zhì)、提升解題能力，促進(jìn)教師專業(yè)成長(zhǎng).

現(xiàn)階段錯(cuò)例分析在教學(xué)中應(yīng)用的現(xiàn)狀

（一）對(duì)待錯(cuò)例沒(méi)有正確的態(tài)度，導(dǎo)致產(chǎn)生恐錯(cuò)心理

師生沒(méi)有正確的錯(cuò)誤觀，學(xué)生的錯(cuò)誤往往被視為恐怖的東西，一味地排斥抵制它的產(chǎn)生，造成學(xué)生心理的、精神的不安全感，控制思維與想象的自由，使錯(cuò)誤成為失敗的根源.

（二）學(xué)生對(duì)錯(cuò)例不重視，導(dǎo)致一錯(cuò)再錯(cuò)？搖

學(xué)生對(duì)待錯(cuò)例不夠重視，不知自己真正錯(cuò)誤的原因，導(dǎo)致知識(shí)的不完善，方法的不優(yōu)化，遇到同類(lèi)問(wèn)題，依然是一錯(cuò)再錯(cuò).

（三）教師蜻蜓點(diǎn)水式的錯(cuò)例研究，導(dǎo)致資源浪費(fèi)

部分教師對(duì)錯(cuò)例的研究?jī)H僅局限在表面、蜻蜓點(diǎn)水，沒(méi)有深入地挖掘錯(cuò)例背后的教學(xué)價(jià)值，使得錯(cuò)例沒(méi)有得到合理的開(kāi)發(fā)與利用，導(dǎo)致極好的教學(xué)資源白白浪費(fèi).

（四）錯(cuò)例的記錄與監(jiān)督的力度不夠，導(dǎo)致資源浪費(fèi)

部分教師有研究錯(cuò)例的意識(shí)，但是對(duì)錯(cuò)例的監(jiān)督力度不夠，沒(méi)有將錯(cuò)例記錄在案，沒(méi)有合理的檢測(cè)機(jī)制，導(dǎo)致資源浪費(fèi).

錯(cuò)例分析的目的與意義

（一）樹(shù)立正確的錯(cuò)誤觀

錯(cuò)例分析有利于端正師生對(duì)錯(cuò)誤的態(tài)度，形成正確的錯(cuò)誤觀. 正視錯(cuò)誤、挖掘在錯(cuò)誤解決過(guò)程中的積極因素，激發(fā)學(xué)生的積極學(xué)習(xí)情感，促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展.

（二）幫助學(xué)生修補(bǔ)知識(shí)漏洞，排除思維障礙，優(yōu)化思維品質(zhì)

以錯(cuò)例為載體引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)中求知、從錯(cuò)中探究，在錯(cuò)誤中完善知識(shí)體系，修補(bǔ)知識(shí)漏洞，讓學(xué)生在糾錯(cuò)、改錯(cuò)中排除思維障礙，感悟道理，領(lǐng)悟方法，優(yōu)化思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

（三）促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)，提升業(yè)務(wù)水平

通過(guò)錯(cuò)例分析，教師可以窺見(jiàn)自己教的不足，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)的缺漏，從而及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，有效開(kāi)展教學(xué)補(bǔ)漏.

（四）形成錯(cuò)例資源庫(kù)，實(shí)現(xiàn)資源共享

以錯(cuò)例分析為載體，指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)錯(cuò)題集，還可以借助網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)建立錯(cuò)題資源庫(kù)，將平時(shí)易錯(cuò)的問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)整理，舉一反三. 并將其上傳資源庫(kù)，同時(shí)在資源庫(kù)中還可以共享別人的易錯(cuò)問(wèn)題，防止自己犯錯(cuò)，起到借鑒、共勉的效果.

錯(cuò)例分析在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的實(shí)踐與探索

差錯(cuò)人皆有之，而作為教師，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤不加以利用，則是不能原諒的.錯(cuò)誤在學(xué)生的學(xué)習(xí)中隨處可見(jiàn)，是其成長(zhǎng)過(guò)程中無(wú)法回避的. 教師要正視學(xué)生的錯(cuò)誤，把教學(xué)的目光鎖定在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，透析錯(cuò)題背后所蘊(yùn)含的價(jià)值，加以研究、開(kāi)發(fā)與利用，將學(xué)生的錯(cuò)誤變成寶貴的教學(xué)資源，發(fā)揮其寶貴的教學(xué)價(jià)值. 下面就以一題為例淺談筆者在教學(xué)中對(duì)錯(cuò)例分析的實(shí)踐與探索.？搖

案例呈現(xiàn)：設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程. （試題來(lái)源于必修2，作業(yè)本63頁(yè)第9題）

（一）錯(cuò)因探究，創(chuàng)建探究課堂

布魯納說(shuō)：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的.” 學(xué)生出錯(cuò)的原因也是有價(jià)值的，挖掘錯(cuò)誤背后的教學(xué)價(jià)值，在學(xué)生的錯(cuò)誤中能夠暴露出學(xué)習(xí)中薄弱的地方，暴露出知識(shí)的漏洞. 教師要立足學(xué)生，與學(xué)生一起探究錯(cuò)誤的原因，即為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤？只有找出錯(cuò)誤的癥結(jié)所在，對(duì)癥下藥，才能幫助學(xué)生完善知識(shí)漏洞，才能使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中避免一錯(cuò)再錯(cuò).？搖

1. 錯(cuò)例展示，暴露思維歷程

記錄學(xué)生在解決問(wèn)題中的錯(cuò)誤解法，展示學(xué)生的思維過(guò)程.在錯(cuò)例中尋找共性與個(gè)性，利用學(xué)生的錯(cuò)例幫助一部分學(xué)生糾錯(cuò)，也幫助一部分學(xué)生防范錯(cuò)誤，能起到防微杜漸的作用. （見(jiàn)表1）

2. 探討糾錯(cuò)，消滅錯(cuò)誤根源

皮亞杰說(shuō)：“學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷犯錯(cuò)誤的過(guò)程，同時(shí)又是一個(gè)不斷通過(guò)反復(fù)思考找到錯(cuò)誤的緣由并逐漸消除錯(cuò)誤的過(guò)程.” 這使我們不難發(fā)現(xiàn)：（1）學(xué)習(xí)是一個(gè)比較長(zhǎng)的、不斷的糾錯(cuò)過(guò)程，糾錯(cuò)是學(xué)習(xí)中不可缺的一部分，是達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)的一種有效手段；（2）糾錯(cuò)行為的主體應(yīng)該是學(xué)習(xí)者本人. 所以在平時(shí)錯(cuò)題講解中要設(shè)立糾錯(cuò)環(huán)節(jié)，給學(xué)生提供糾錯(cuò)的機(jī)會(huì)，滿足學(xué)生的心理需求. 讓學(xué)生在互相爭(zhēng)辯、討論中逐漸認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的根源，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到解決問(wèn)題的方法，探求其產(chǎn)生錯(cuò)誤的內(nèi)在因素，將知識(shí)內(nèi)化.

學(xué)生：解法1中由a-2=得出a+1=1，還有可能是a-2=0，所以a=0或a=2.？搖

教師點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)學(xué)生的錯(cuò)誤主要是轉(zhuǎn)化不等價(jià)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，在做題時(shí)大部分題目致錯(cuò)根源在于進(jìn)行了不等價(jià)轉(zhuǎn)化，所以在平時(shí)做題時(shí)要有意識(shí)地關(guān)注自己是否是等價(jià)轉(zhuǎn)化.

學(xué)生：解法2中還有可能是截距為0，也就是直線可能是過(guò)原點(diǎn)的. 所以將原點(diǎn)帶入直線方程（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），可得2-a=0，所以a=2.

教師點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)學(xué)生是對(duì)截距的概念理解有誤，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)由于理解不正確或不全面，縮小或擴(kuò)大了概念的內(nèi)涵或外延. 這類(lèi)錯(cuò)誤的原因多是：對(duì)數(shù)學(xué)概念未能真正理解或相近概念互相混淆等，本題中截距可正、可負(fù)、也可為零.

（二）解法探究、優(yōu)化思維品質(zhì)

魯迅說(shuō)：“一千個(gè)讀者，就有一千個(gè)哈姆雷特.”不同的學(xué)生在處理同一問(wèn)題時(shí)也會(huì)有不同的處理方法. 因此教師在面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)要立足于學(xué)生、正視學(xué)生的差異，從學(xué)生不同的解法中發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的漏洞、誤區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)誤中尋求到正確的方向，促進(jìn)學(xué)生的思維水平有層次、有步驟地向更優(yōu)化的方向發(fā)展. 教師要善于將學(xué)生體現(xiàn)出的好思路、好方法進(jìn)行整理歸類(lèi)，及時(shí)點(diǎn)化，起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用. 引導(dǎo)學(xué)生在差異解法中取長(zhǎng)補(bǔ)短，在差異中豐富和拓展自己，用這種差異性資源促進(jìn)教學(xué)主體間的互動(dòng)、協(xié)作和教學(xué)相長(zhǎng). （見(jiàn)表2）

教師：本題上述兩種解法已經(jīng)得到修正，除此之外有無(wú)其他解法呢？

學(xué)生：本題中的直線（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）可化為a（x-1）=-x-y-2，令x-1=0，-x-y-2=0得x=1，y=-3，所以直線過(guò)定點(diǎn)（1，-3）.

又因?yàn)榻鼐嘞嗟?，所以直線過(guò)原點(diǎn)或斜率為-1，所以直線方程為y+3=-（x-1）或y+3=（x-1）=-3（x-1），？搖？搖即y= -x-2或y=-3x.

以錯(cuò)例分析為載體，開(kāi)展一題多解，即一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，對(duì)一道題學(xué)生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學(xué)們合作、爭(zhēng)辯、探究、交流的場(chǎng)所，它能極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；有助于拓寬解題思路，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 因此在錯(cuò)例分析中教師要有意識(shí)啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考，多方探求，擇優(yōu)選取，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維能力，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題方法，學(xué)會(huì)如何綜合運(yùn)用已有的知識(shí)不斷提高解題能力.

（三）錯(cuò)例評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

1. 學(xué)生評(píng)價(jià)，提高思維能力

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為：學(xué)生在課堂中不僅要主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，還應(yīng)參與對(duì)學(xué)習(xí)成果的評(píng)價(jià). 如果缺少評(píng)價(jià)，就是不完全的學(xué)習(xí). 但如果結(jié)論都需要他人點(diǎn)撥，教師講解才能得到，就限制了學(xué)生的思維空間. 有一些學(xué)生，過(guò)分依賴互評(píng)和他評(píng)，造成在老師講解時(shí)會(huì)做，在他人指點(diǎn)后會(huì)做，可到了要自己獨(dú)立完成時(shí)卻無(wú)從下手、屢屢出錯(cuò)的現(xiàn)象，而這樣的學(xué)生平時(shí)往往就缺少“自評(píng)”的體驗(yàn). 因此，教師要在錯(cuò)例互評(píng)、他評(píng)的基礎(chǔ)上多鼓勵(lì)和提倡學(xué)生自我評(píng)價(jià)錯(cuò)例，讓學(xué)生在思索、感悟、內(nèi)化的過(guò)程中，提高思維能力.

解法1的學(xué)生自評(píng)：我的方法主要錯(cuò)在忽略了截距可以等于零，運(yùn)算中轉(zhuǎn)化不等價(jià)，導(dǎo)致了漏解，相對(duì)于解法2與3，我的解法可能計(jì)算量大了一些.幾何法會(huì)更好一些.

2. 教師評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

這是指以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為基點(diǎn)，對(duì)學(xué)生在解題中呈現(xiàn)出的偏差或失誤及好的思路與方法、情感、態(tài)度等給予合理的評(píng)價(jià)，挖掘其教育教學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生修正偏差、完善自我、發(fā)展能力.

教師評(píng)價(jià)：三種解法體現(xiàn)三種不同的思路.解法1體現(xiàn)代數(shù)計(jì)算，由截距的概念計(jì)算出截距，令其相等即可求出直線方程；解法2與3體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，從圖形的角度得出截距相等的兩類(lèi)直線特征：過(guò)原點(diǎn)或斜率為-1，從而求出直線方程. 三種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的兩個(gè)方面：代數(shù)與幾何. 所以在做數(shù)學(xué)題時(shí)一定要數(shù)形結(jié)合，相對(duì)代數(shù)來(lái)說(shuō)幾何法更簡(jiǎn)單.

（四）錯(cuò)例反思，提升能力

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力. 在新課程實(shí)施中，教師需要成為反思型教師，學(xué)生需要成為反思型學(xué)生. 反思是一種習(xí)慣和意識(shí)，不斷反思，才會(huì)不斷進(jìn)步. “教學(xué)相長(zhǎng)”提醒我們要學(xué)會(huì)反思差錯(cuò)，師生在課堂中共同成長(zhǎng)，創(chuàng)建美麗的課堂.？搖

1. 學(xué)生反思，提升數(shù)學(xué)能力

美國(guó)教育家杜威指出：“真正思考的人從自己的錯(cuò)誤中汲取知識(shí)比從自己成就中汲取的知識(shí)更多，錯(cuò)誤與探索相聯(lián)姻，相交合，才能孕育出真理.” 教師要以錯(cuò)例為載體，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)反思，反思自己犯錯(cuò)的原因、反思問(wèn)題的解法等，并且通過(guò)分析原因找出自己在學(xué)習(xí)上的不足、彌補(bǔ)漏洞，優(yōu)化解法，提升數(shù)學(xué)能力.？搖

2. 教師反思，促進(jìn)專業(yè)成長(zhǎng)？搖

美國(guó)教育心理學(xué)家波斯納提出了一個(gè)教師成長(zhǎng)公式：教師成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思.在新課程形勢(shì)下，一個(gè)稱職的教師，決不能“教書(shū)匠”式地“照本宣科”，而要在教學(xué)中不斷反思，不斷學(xué)習(xí). 反思學(xué)生解題中所暴露出的問(wèn)題，調(diào)整教學(xué)方向，修正自身的不足之處，提升教學(xué)的有效性.

（五）錯(cuò)例變式拓展，提升能力？搖

將錯(cuò)例從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景進(jìn)行變式，從而暴露問(wèn)題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)變式錯(cuò)例，可達(dá)到一題多用、一題多解、一法多用、多題歸一的效果，提升學(xué)生解題能力.

設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程.

變式拓展1：設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若直線與兩坐標(biāo)軸圍成面積為4的三角形，求l的方程.

變式拓展2：設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），當(dāng)原點(diǎn)到直線l的距離最大時(shí)，求l的方程.

（六）錯(cuò)例記錄，資源共享

1. 教師記載錯(cuò)例，促進(jìn)有效教學(xué)

錯(cuò)例是教師教學(xué)的第一手資料，是寶貴的教學(xué)資源.要將典型的錯(cuò)例記錄在案，形成資源，實(shí)現(xiàn)共享. 利用錯(cuò)例，教師就能了解該知識(shí)點(diǎn)上學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，目標(biāo)設(shè)定與教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的針對(duì)性大大增強(qiáng)；利用錯(cuò)例，教師能反思自身的不足，調(diào)整教學(xué)策略；利用錯(cuò)例不定期地對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，大大提升教學(xué)的有效性.

2. 學(xué)生整理錯(cuò)例，降低出錯(cuò)率

以錯(cuò)例分析為載體，指導(dǎo)學(xué)生收集錯(cuò)題，并將錯(cuò)題歸類(lèi)整理；建立錯(cuò)題集，用好錯(cuò)題集. 一本好的錯(cuò)題集就是自己知識(shí)漏洞的寶典，就是重要的復(fù)習(xí)資料，經(jīng)常翻看錯(cuò)題集，反思自己錯(cuò)誤所在，可以大大降低學(xué)生的錯(cuò)誤率. 雖然每位學(xué)生的錯(cuò)題集不盡相同，但是學(xué)生的錯(cuò)題集的優(yōu)點(diǎn)是可以相互借鑒的，交換錯(cuò)題集就是實(shí)現(xiàn)了資源共享.

富蘭克林說(shuō)：“寶貝放錯(cuò)了地方便成了廢物.” 學(xué)生的錯(cuò)例就是教學(xué)中的“寶貝”，教師要將這個(gè)“寶貝”當(dāng)作一種教育的契機(jī)，將“寶貝”放在合適的位置，積極地分析與利用這個(gè)“寶貝”，努力讓這個(gè)“寶貝”成為課堂教學(xué)的一個(gè)亮點(diǎn)，發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值，變成寶貴的課堂教學(xué)資源. 優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)效益.