劉文蛟

[摘 要] 本文采用口語報告法與訪談法相結(jié)合的方式對部分高中生進(jìn)行了調(diào)查，在對調(diào)查結(jié)果的分析與推理的基礎(chǔ)上，明確了影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的主要方面是知道新知識“是什么”和“如何生成”的. 根據(jù)上述結(jié)果分析整理出數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的內(nèi)部心理過程是新知識納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，與相關(guān)知識建立本質(zhì)聯(lián)系，形成編碼系統(tǒng)；接下來認(rèn)知主體自覺調(diào)用各種相關(guān)的舊知識將新知識推演出來，理順新舊知識之間的聯(lián)系，從而形成新舊知識之間廣泛和本質(zhì)的聯(lián)系.

[關(guān)鍵詞] 高中生；數(shù)學(xué)認(rèn)知理解；過程研究

問題提出

數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的研究一直受到專家學(xué)者的青睞，這些研究多集中在數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的內(nèi)涵層次、數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的特點(diǎn)等方面. 對于數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的過程研究鮮有涉及，特別是對于數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的內(nèi)部心理過程的研究一直是空白.弄清楚認(rèn)知理解的內(nèi)部心理過程無疑是有意義的. 為此，筆者在江西省贛州市第一中學(xué)抽取了部分高中生進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一些有意義的結(jié)果.

研究設(shè)計

1. 被試

隨機(jī)抽取江西省贛州市第一中學(xué)40名高三學(xué)生作為被試. 之所以選取高三學(xué)生作為被試，原因是我們認(rèn)為高三的學(xué)生不僅具有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且具有較好的表達(dá)能力.

2. 研究方法

口語報告法、訪談法.

3. 研究素材

采用在初步調(diào)查基礎(chǔ)上自編形成的數(shù)學(xué)認(rèn)知材料，旨在了解對于一項(xiàng)數(shù)學(xué)知識而言哪些相關(guān)材料可以幫助學(xué)生對其實(shí)現(xiàn)理解. 通過調(diào)查，我們得到的結(jié)果是：數(shù)學(xué)知識的定義、例子、圖形解釋和操作方法與步驟是最有價值的，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)理解. 另外，根據(jù)初步調(diào)查，這些材料又大體可以分為兩類，第一類是關(guān)于這項(xiàng)數(shù)學(xué)知識是什么的材料，第二類是關(guān)于這項(xiàng)數(shù)學(xué)知識是如何生成和操作的材料. 我們本次調(diào)查設(shè)計的認(rèn)知材料主要是由上述一些材料構(gòu)成的. 本調(diào)查采用的認(rèn)知材料共分為三類數(shù)學(xué)知識，即數(shù)學(xué)概念、圖形和定理，每類知識中包含三套認(rèn)知材料，即在本次調(diào)查中共使用九套認(rèn)知材料.

4. 過程設(shè)計

①由筆者擔(dān)任主試，采取單獨(dú)調(diào)查的方式，對每名被試均使用三套不同數(shù)學(xué)知識類型的認(rèn)知材料進(jìn)行調(diào)查. 為調(diào)查方便，將認(rèn)知材料中的解釋內(nèi)容按條目制成卡片的形式.

②認(rèn)知材料的使用方法采用循環(huán)交叉方法，以三名被試為一次循環(huán).

③具體調(diào)查過程是：首先從材料中拿出標(biāo)有數(shù)學(xué)概念（或定理、圖形）的一張卡片，問被試是否見過或理解，如果被試的回答是否定的則繼續(xù)進(jìn)行下面的步驟，否則更換材料或是停止對其調(diào)查. 接下來呈現(xiàn)給被試關(guān)于這個知識的完整的認(rèn)知材料，包括上述知識的定義、例子、圖形解釋、操作方法和步驟等，讓被試閱讀.之后問被試是否理解了這個新的數(shù)學(xué)概念（或定理、圖形）？是怎么理解的？哪些材料起到了關(guān)鍵的作用？之后讓被試根據(jù)自己的理解過程將材料進(jìn)行排序，并解釋為什么要這樣排序.在這個過程中，凡是被試思考的過程都要求出聲思維. 接下來呈現(xiàn)給被試第二套、第三套材料，具體調(diào)查過程如上，只是不再要求被試將相應(yīng)認(rèn)知材料進(jìn)行排序.

④整個過程中，請助手（共三名）詳細(xì)記錄被試使用的認(rèn)知材料、在思維過程中的語言、表情、動作以及被試最后對認(rèn)知材料的解釋和排序情況.

研究過程與結(jié)果

2015年4月筆者在江西省贛州市第一中學(xué)分兩次隨機(jī)抽取了40名高三學(xué)生參加此次調(diào)查，參與的學(xué)生中女生28名，男生12名. 每名學(xué)生調(diào)查時間約30分鐘. 調(diào)查之后，筆者對三名助手的記錄材料進(jìn)行了綜合分析，并按照口語報告法的要求進(jìn)一步整理與分析，最終得到如下結(jié)果：

1. 數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的開端是猜想

在此次研究中，每當(dāng)主試只將某個新的數(shù)學(xué)概念的名稱或定理或圖形呈現(xiàn)給被試時，他們首先都會根據(jù)它的外部表現(xiàn)的某些特點(diǎn)展開猜想，猜想這個數(shù)學(xué)概念可能是什么，這個數(shù)學(xué)圖形可能是什么圖形等. 為了確定自己的猜想有些被試還嘗試與主試交流，詢問該知識是否是這個、是否是那個等等. 如，當(dāng)主試出示給被試羅馬數(shù)字LLLMMMMMDCCXXXIV的時候，不少被試首先猜想它可能是一個英文單詞，還有的被試猜測它是一個廣告牌符號.

2. 完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知材料是被試?yán)斫庑轮R

在研究中筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)被試在閱讀過完整的解釋材料后，都能完全理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，都表現(xiàn)出豁然開朗的神情，都能夠輕松地回答主試的詢問，并能夠自如地、毫無障礙地敘述他所理解的數(shù)學(xué)知識. 有的被試還能夠按照材料中的說法給出其他的例子或者是進(jìn)行簡單的應(yīng)用. 例如在理解了半正多面體這個知識后很多學(xué)生都可以獨(dú)立地自己構(gòu)造出一個新的半正多面體；在理解了楔形文字后可以隨意地寫出一個楔形文字或者是輕松地認(rèn)讀某個楔形文字.

3. 對于數(shù)學(xué)認(rèn)知理解最重要的材料是概念定義和定理敘述與解釋

當(dāng)被試?yán)斫饬酥髟嚦尸F(xiàn)給他的新知識之后問及哪些材料對其理解幫助最大時，多數(shù)被試均表示是概念的定義和定理的解釋與敘述作用最大. 其次是概念形成材料和數(shù)學(xué)證明材料.

4. 概念定義和定理解釋的作用

當(dāng)問及被試概念的定義和定理的解釋在他們理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識過程中所起的作用時，被試一致反映：概念的定義幫助他們知道了概念的特點(diǎn)，知道了此概念和以前哪些數(shù)學(xué)概念有關(guān)系，有什么關(guān)系，由此幫助他們知道了此概念屬于哪一類數(shù)學(xué)概念，應(yīng)該與哪些數(shù)學(xué)概念相結(jié)合進(jìn)行掌握；定理的解釋幫助他們知道了該定理的含義，知道了此定理與相關(guān)其他定理的差別，也由此知道了此定理屬于一個什么結(jié)論.

5. 形成材料和定理證明的作用

當(dāng)問及形成材料和定理證明的作用時，被試的回答是：形成材料使他們知道了數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成、表達(dá)和符號的寫法等，也就是知道了如何操作；定理證明使他們知道了數(shù)學(xué)定理是怎么得來的，利用了哪些以前學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識，是怎么由已知條件推理出來的，由此理順了新舊知識之間的關(guān)系，解除了心頭疑惑.

6. 被試在只獲得“是什么”的材料情況下不能完全理解新知識

在研究過程中，當(dāng)主試呈現(xiàn)給被試只說明該數(shù)學(xué)知識“是什么”的材料后，被試均表示對其不能完全理解，總會存有疑問. 他們表示雖然知道了一些關(guān)于這項(xiàng)數(shù)學(xué)知識的一些信息，了解了他們是什么了，但是不知道它們是如何得來的，更不知道在什么情況下如何來應(yīng)用這個數(shù)學(xué)知識，因此仍感到一些疑惑，甚至有個別被試當(dāng)時還表現(xiàn)出了一定程度的焦躁.

7. 被試在只獲得“如何生成”的材料情況下也不能完全理解新知識

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)主試呈現(xiàn)給被試只是說明某個數(shù)學(xué)知識是“如何生成”的材料后，其也都表示不能完全理解該知識，并且有很大的疑問. 他們表示雖然知道了怎么來構(gòu)造這個知識，卻不知道構(gòu)造的是什么，為什么要構(gòu)造這個知識，它有什么用處，疑問一個接著一個. 甚至有的學(xué)生表示對這個說明“如何生成”的材料根本無法理解，無法想象，不知道它要說的是什么.

結(jié)論與思考

通過對以上結(jié)果的分析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對新的數(shù)學(xué)知識的理解一般是由對新知識的猜測開始的；在理解過程中，概念的定義和定理的解釋等能讓學(xué)生知道該數(shù)學(xué)知識“是什么”的材料與能使學(xué)生知道該數(shù)學(xué)知識是“如何生成”的材料起了關(guān)鍵作用，二者缺一不可；關(guān)于新知識“是什么”的材料幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新知識的特點(diǎn)，找到了新舊知識之間的聯(lián)系；關(guān)于“如何生成”的材料幫助學(xué)生了解了新知識的生成方法和過程，知道了如何操作才能寫出相關(guān)的符號、公式和畫出圖形等. 學(xué)生對新數(shù)學(xué)知識的理解可以分兩步：先是理解其是什么，然后再是理解其是怎么生成的，也就是如何操作和如何由相關(guān)的知識推演出來的.

由此，我們認(rèn)為：

1. 學(xué)生對新數(shù)學(xué)知識的理解是一個積極的主動的過程. 學(xué)生從接觸到新知識的那一刻起就積極地調(diào)動原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識不斷嘗試來認(rèn)知該項(xiàng)知識. 在整個過程中也始終保持這種態(tài)度，否則其在了解了新知識的部分材料時就不會再有疑惑. 但是當(dāng)學(xué)生仍有疑惑，說明其在獲得了部分信息之后還想獲得更多的更全面的信息.

2. 學(xué)生對新數(shù)學(xué)知識的理解是將新知識與舊知識進(jìn)行聯(lián)系的過程. 這個聯(lián)系不僅包括新知識與相關(guān)的舊知識之間的聯(lián)系，也包括新知識與整個數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的聯(lián)系，還包括與學(xué)生整個認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)知識的聯(lián)系. 這可以從學(xué)生在理解新數(shù)學(xué)知識的過程中對上述兩類材料都需要的情況下可以看出來. 從學(xué)生對第一類材料的需要可以看出其在理解的過程中建立了新知識與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)知識的聯(lián)系，從對第二類材料的需要可以看出學(xué)生在理解過程中建立了新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中多方面知識的聯(lián)系.

3. 學(xué)生對新數(shù)學(xué)知識的理解也是一個用舊知識推演新知識的過程. 這里的推演不僅包括演繹推理、類比推理，還包括各種變化和操作等. 這可以從學(xué)生在完全理解新知識的過程中需要第二類材料的幫助可以看出來. 第二類材料主要是展示一個概念是如何表示的、數(shù)學(xué)符號是如何寫成的、一個圖形是如何畫出來的和一個數(shù)學(xué)定理是如何證明出來的一些材料. 這些材料理順了學(xué)生心中雜亂的頭緒，剔除了存留的疑惑，這充分說明學(xué)生在積極理解新數(shù)學(xué)知識時頭腦中有一個由舊知導(dǎo)新知的過程.

由此，學(xué)生對新數(shù)學(xué)知識的理解過程最終是一個建立新舊知識之間實(shí)質(zhì)聯(lián)系的過程，也就是一個非人為的新舊知識之間有恰當(dāng)邏輯順序關(guān)系的過程. 這個關(guān)系一旦建立，則新知識與原有知識之間就有了多方面的聯(lián)結(jié)，這種聯(lián)結(jié)不僅有新數(shù)學(xué)知識與舊數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，而且還有新數(shù)學(xué)知識與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中其他方面知識的聯(lián)結(jié)；這種聯(lián)結(jié)不僅牢固而且順暢，學(xué)生完全可以利用原來的舊知識將新知識寫出來、說出來、畫出來、類比出來或是演繹出來等等.

結(jié)合以上結(jié)論我們認(rèn)為學(xué)生理解一項(xiàng)新的數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部心理過程應(yīng)當(dāng)是如下一個過程：當(dāng)學(xué)生接觸到一項(xiàng)不理解的數(shù)學(xué)知識時，首先是分析這項(xiàng)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)，然后根據(jù)這個特點(diǎn)，迅速在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的眾多圖式中進(jìn)行搜索，當(dāng)搜索到相似的知識時進(jìn)行比較時，看二者是不是相同，看新知識是不是能納入這項(xiàng)知識的圖式中，與其建立上位或下位關(guān)系，也就是建立編碼系統(tǒng). 這里的搜索空間不僅有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)而且也包括其他的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 但如果學(xué)生提前知道這項(xiàng)新的知識是數(shù)學(xué)知識，則學(xué)生就會主要在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中搜索. 這種搜索一直在迅速而不停地進(jìn)行著，直到找到一項(xiàng)恰當(dāng)?shù)幕虮容^恰當(dāng)?shù)闹R來與新知識建立聯(lián)系. 如果不能做到，學(xué)生就不能產(chǎn)生理解. 然后，大腦再進(jìn)行下一步工作，即是充分調(diào)用大腦中認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的眾多知識，嘗試用舊知識將新知識推演出來. 推演的方法有很多，學(xué)生在這里嘗試的主要是推理、變化、構(gòu)造等. 這里需要調(diào)用許多舊知識，不僅有數(shù)學(xué)的舊知識而且還有其他方面的知識，比如文字方面的、符號方面的、操作方法方面的等等. 如果學(xué)生能利用原有的知識將新知識推演出來，學(xué)生就達(dá)到了徹底理解；如果不能，就仍存有疑惑，不能完全理解.

綜上所述，我們認(rèn)為高中生數(shù)學(xué)認(rèn)知理解的過程實(shí)際上是一個基于新知識的特點(diǎn)在頭腦中進(jìn)行雙向操作的過程，第一個方向的操作是將新知識納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，與相關(guān)知識建立本質(zhì)聯(lián)系，形成編碼系統(tǒng)；第二個方向的操作是主體自覺調(diào)用各種相關(guān)的舊知識將新知識推演出來，理順新舊知識之間的聯(lián)系，從而形成新舊知識之間廣泛的和本質(zhì)的聯(lián)系.