朱桂鳳　孫朝仁

摘要數(shù)學(xué)慢教育范疇的科學(xué)認(rèn)知形態(tài)是在研究現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)事實(shí)和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行層次性劃分，包括整體主義形態(tài)、監(jiān)控主義形態(tài)、直觀主義形態(tài)和客觀主義形態(tài).這些科學(xué)認(rèn)知形態(tài)具有思維清楚、概念透明的理性價(jià)值特征，投射了慢教育數(shù)學(xué)“大過程”的過程性思想和科學(xué)認(rèn)知精神.

關(guān)鍵詞慢教育；數(shù)學(xué)；科學(xué)認(rèn)知

數(shù)學(xué)慢教育[1]作為認(rèn)識論范疇一種科學(xué)認(rèn)知學(xué)，起于意義建構(gòu)，終于數(shù)學(xué)理解，終歸于科學(xué)認(rèn)知形態(tài)的定向發(fā)展.已有文獻(xiàn)將科學(xué)認(rèn)知理解分為四個(gè)層面：工具性理解模式、關(guān)系性理解模式、直覺性理解模式和形式性理解模式[2].這些結(jié)構(gòu)化心理模式在一定維度決定個(gè)體學(xué)習(xí)能力的層次.數(shù)學(xué)認(rèn)知理解在眾多數(shù)學(xué)能力因素中占據(jù)核心地位，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)為素養(yǎng)層面的個(gè)性心理品質(zhì).數(shù)學(xué)慢教育范疇的科學(xué)認(rèn)知形態(tài)是在現(xiàn)有文獻(xiàn)研究基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行層次性劃分，包括整體主義形態(tài)、監(jiān)控主義形態(tài)、直觀主義形態(tài)和客觀主義形態(tài).這些科學(xué)認(rèn)知形態(tài)的“大過程”特征是思維清楚、概念透明.

工具性理解[3]是一種程序性理解即一個(gè)規(guī)則R所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作.程序性本身具有“通體相關(guān)”的特性，揭示慢教育整體主義認(rèn)知形態(tài)的過程要義.關(guān)系性理解[4]則需要添加符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識.關(guān)系理解是元認(rèn)知作用的過程，反映慢教育監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)的思想意義.直覺性理解是在觀察、想像、審美活動(dòng)中，產(chǎn)生突如其來的頓悟和理解，具有邏輯程序高度約簡的特點(diǎn)[5].直覺性是直觀選擇作用的概括化，體現(xiàn)慢教育直觀主義認(rèn)知形態(tài)的科學(xué)性質(zhì).形式性理解是對數(shù)學(xué)對象的外在表征，是數(shù)學(xué)觀念、思想、方法客觀化的結(jié)果，是事實(shí)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)事實(shí)聯(lián)結(jié)的介質(zhì)[6].形式性是數(shù)學(xué)概念得以還原的外在法定的標(biāo)準(zhǔn)，投射慢教育客觀主義認(rèn)知形態(tài)的科學(xué)精神.

1整體主義認(rèn)知形態(tài)

迪爾凱姆在認(rèn)識論上堅(jiān)持整體主義取向，認(rèn)為社會事實(shí)必須在社會結(jié)構(gòu)中得到解釋；在價(jià)值觀上，體現(xiàn)集體主義取向[7].把這種整體主義社會關(guān)系論借用到數(shù)學(xué)慢教育認(rèn)識形態(tài)領(lǐng)域，則反映慢教育整體認(rèn)知的科學(xué)性.社會事實(shí)與社會結(jié)構(gòu)關(guān)系的關(guān)系，正是慢教育整體認(rèn)知的思想淵源.換句話說，整體認(rèn)知不是孤立行為，而是系統(tǒng)行為.在數(shù)學(xué)解題學(xué)領(lǐng)域我們掛在嘴邊的口號就是“做一題、通一類、連一片”.事實(shí)上，數(shù)學(xué)慢教育背景下，整體主義認(rèn)知形態(tài)的本質(zhì)就是把問題放在系統(tǒng)層面去解決，帶有科學(xué)性“知一點(diǎn)、識一線、明一片”的整體意義.不是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的局部觀.尤其是核心概念的建設(shè)問題，不僅要讓學(xué)生掌握課時(shí)背景下的“小概念”（靜態(tài)概念），還要放在單元系統(tǒng)層面，通過橫向關(guān)聯(lián)、縱向鏈接等拉長概念思維長度的方式，實(shí)現(xiàn)對“大概念”（范式概念）的定性把握.

數(shù)學(xué)慢教育課堂整體主義認(rèn)知形態(tài)具體表現(xiàn)在以下三個(gè)層面：一是站在系統(tǒng)思維層面設(shè)計(jì)整體性問題；二是以問題組塊的形式進(jìn)行整體架構(gòu)；三是以還原概念作為數(shù)學(xué)思考的主流.比如我們在“探索三角形相似的條件”時(shí).蘇科版九年級《數(shù)學(xué)》下冊編者是按照“平行線等分線段定理→兩角對應(yīng)相等→兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等→三邊對應(yīng)成比例”的邏輯順序展開的，遵循“前概念+證實(shí)+應(yīng)用”的思維線索，即“一課一條件”的板塊學(xué)習(xí)式.這種“割裂帶”認(rèn)知形態(tài)有利于學(xué)生暫時(shí)掌握課時(shí)“小概念”，但因缺乏概念的系統(tǒng)性，造成出了課堂就被忘掉的認(rèn)知事實(shí).課題組基于整體認(rèn)知形態(tài)，對該教材進(jìn)行整合、重組和改造，將4個(gè)課時(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性立體劃分.第1課時(shí)專門研究三角形相似四個(gè)條件的前概念；第2課時(shí)主流任務(wù)是證實(shí)三角形相似的條件；第3課時(shí)是學(xué)以致用；第4課時(shí)是綜合變式并鏈接中考及后續(xù)待學(xué)內(nèi)容.如果整合是系統(tǒng)思維的內(nèi)在需求，那么重組是整體認(rèn)知的邏輯起點(diǎn)，改造則是科學(xué)認(rèn)知的最高目標(biāo).事實(shí)上，課時(shí)重新劃分本身就反映整體主義認(rèn)知思想，綜合變式與鏈接行為則是問題組塊的組織路徑，而尋找前概念、證實(shí)以及致用等整體認(rèn)知形態(tài)則是還原概念的外在表現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了概念在概念系統(tǒng)中生成的整體主義認(rèn)知取向.2監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)

監(jiān)控主義屬于元認(rèn)知范疇，元認(rèn)知包括策略性知識、認(rèn)知任務(wù)知識、背景和條件知識以及自我知識[8].現(xiàn)代信息加工心理學(xué)，提出高效學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)主要包括選擇性注意、元認(rèn)知、學(xué)習(xí)策略、非智力因素、內(nèi)隱認(rèn)知等要素[9].數(shù)學(xué)元認(rèn)知包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)與元認(rèn)知監(jiān)控.其中元認(rèn)知體驗(yàn)與自覺監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)行為過程，是一種高級形態(tài)的學(xué)習(xí)要求，不易支配實(shí)行與適切評價(jià).數(shù)學(xué)慢教育研究組，基于策略性方法層面提出可操作的“反問式監(jiān)控”和“追問式調(diào)節(jié)”.反問式監(jiān)控主要是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中即時(shí)解釋在做什么，為什么做，隨后還需要做什么等哲學(xué)層面的動(dòng)作行為；追問式調(diào)節(jié)則傾向于怎么做，做得怎樣，還可以怎樣做的數(shù)學(xué)哲學(xué)思考.其實(shí)監(jiān)控認(rèn)知形態(tài)是數(shù)學(xué)認(rèn)知關(guān)系中最活躍的因素，能有效促進(jìn)問題產(chǎn)生式定向形成，是“定法多用”的典型方法.

數(shù)學(xué)慢教育課堂監(jiān)控主義認(rèn)知形態(tài)具體表現(xiàn)在以下層面：一是讓學(xué)生在活動(dòng)中養(yǎng)成反思的習(xí)慣；二是讓學(xué)生在問題解決中提出質(zhì)疑的習(xí)慣，三是讓學(xué)生在小結(jié)“節(jié)點(diǎn)處”提出批判性思考.比如，我們在研究“組合矩形”新概念時(shí)，設(shè)計(jì)了如下監(jiān)控認(rèn)知活動(dòng)：（1）圖1是一塊直角三角形紙片.將該三角形紙片按下圖方法折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，DE為折痕.試說明△CBE是等腰三角形；（2）再將圖1中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖2）.通過折疊，原三角形恰好折成兩個(gè)重合的矩形，其中一個(gè)是內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個(gè)矩形為“組合矩形”.你能將圖3中的△ABC折疊成一個(gè)組合矩形嗎？如果能折成，請?jiān)趫D3中畫出折痕；（3）請你在圖4的方格紙中畫出一個(gè)斜三角形，同時(shí)滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（各小正方形的頂點(diǎn)）上；（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形（其中的內(nèi)接矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在原四邊形的四條邊上）.請你進(jìn)一步探究，一個(gè)非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時(shí)，一定能折成組合矩形？問題（1）證實(shí)等腰三角形的過程就是對“折”的活動(dòng)的具體反思；問題（2）（3）折和畫滿足特定條件的組合矩形行為就是質(zhì)疑思維的養(yǎng)成事件，尤其是對“斜三角形”本質(zhì)定位，則是質(zhì)疑的內(nèi)部表現(xiàn)；問題（4）探討非特殊四邊形折成組合矩形條件的過程就是批判思維發(fā)揮作用的過程.事實(shí)上，就統(tǒng)覺加工論而言，“折”與“畫”的動(dòng)作本身就帶有強(qiáng)烈的反思（我在做什么）和質(zhì)疑（這樣做的結(jié)論是什么）性質(zhì).由菱形性質(zhì)的示范性研究（對角線互相垂直），到一般非特殊四邊形條件的探討（對角線必須滿足怎樣的條件，才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)），學(xué)生的批判性思維在監(jiān)控與調(diào)節(jié)中呈現(xiàn)“不平衡→平衡→不平衡”的狀態(tài)，終于新概念的定向遷移（非特殊四邊形必須滿足對角線垂直的條件）.

圖1圖2圖3圖43直觀主義認(rèn)知形態(tài)

直觀（intuition）主義帶有強(qiáng)烈的哲學(xué)色彩，其核心內(nèi)容是“存在必須是被構(gòu)造”.為此，數(shù)學(xué)中的直觀主義與哲學(xué)中的康德主義具有內(nèi)在一致性，主張數(shù)學(xué)概念由人類的理性構(gòu)造形成.數(shù)學(xué)對象的構(gòu)造就是人們先驗(yàn)的在直觀中畫出與概念相應(yīng)的圖形，因此構(gòu)造數(shù)學(xué)需要非經(jīng)驗(yàn)的直觀.數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握[10].可見，直觀具有縮短發(fā)現(xiàn)真理歷程的作用，對數(shù)學(xué)概念的理解與生長具有不可替代性特征.這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“后課程標(biāo)準(zhǔn)”）為什么把“幾何直觀”作為十大核心概念之一提出的重要原因.數(shù)學(xué)慢教育課堂的直觀主義認(rèn)知形態(tài)就是通過選擇直觀性材料，讓學(xué)生在直觀活動(dòng)中尋找“前概念”，在直觀“做數(shù)學(xué)”中還原主概念，在直觀“用數(shù)學(xué)”中延伸后概念，終于對數(shù)學(xué)概念的直接理解和知性把握.

“后課程標(biāo)準(zhǔn)”指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果；可以幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué).這些直觀化的作用正是數(shù)學(xué)慢教育選擇直觀認(rèn)知出發(fā)的理由.眾所周知，“因式分解”對于形象思維尚占主導(dǎo)地位的初中學(xué)生來說，“說教式”認(rèn)知理解是困難的.為此，慢教育課題組選擇直觀實(shí)驗(yàn)的方式，幫助學(xué)生理解“多項(xiàng)式的因式分解”.具體操作如下：首先讓學(xué)生準(zhǔn)備邊長為a的正方形紙片若干張，邊長為b的正方形紙片若干張，長為a、寬為b的長方形紙片若干張.其次讓學(xué)生任意拼正方形，并寫出邊長與面積的關(guān)系式.再次讓學(xué)生用邊長不同的兩個(gè)正方形沿鄰邊覆蓋的方式，規(guī)定陰影部分為減去覆蓋部分的面積，用不同方法表示陰影部分的面積，并寫出關(guān)系式.最后讓學(xué)生寫出簡單的多項(xiàng)式并進(jìn)行因式分解，再通過拼圖的方式驗(yàn)證其正確性.“拼圖”是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級下冊第九章章末設(shè)置的數(shù)學(xué)活動(dòng)，目的是初步引動(dòng)“數(shù)形結(jié)合”經(jīng)驗(yàn).任意拼正方形的認(rèn)知行為就是尋找因式分解的前概念行為；覆蓋活動(dòng)的探討就是解決拼圖不完備（“純和”形式的多項(xiàng)式）的弊端，為“完形”理解因式分解提供直觀的加工材料；任意“寫→拼→寫”以及內(nèi)部關(guān)系的尋求是直觀還原概念的關(guān)鍵性事件，也是直觀“用數(shù)學(xué)”的典型案例.這些直觀的做、說、用的活動(dòng)過程與結(jié)果，終于因式分解概念本質(zhì)的直接把握和定向生長.4客觀主義認(rèn)知形態(tài)

客觀主義堅(jiān)持物質(zhì)世界是實(shí)在的、有結(jié)構(gòu)的，人類的思維任務(wù)就是反映這些客觀實(shí)體及其結(jié)構(gòu).這是數(shù)學(xué)慢教育堅(jiān)守客觀主義認(rèn)知行為的科學(xué)根據(jù).已有文獻(xiàn)[11]指出，數(shù)學(xué)作為一門精確科學(xué)，其研究活動(dòng)必須以量和質(zhì)、內(nèi)容與形式的分離為前提，把前者從自然界的普遍聯(lián)系中抽取出來，加以抽象，在不斷形式化的過程中實(shí)現(xiàn)它的精確性，這個(gè)過程就是客觀數(shù)學(xué)化.這就說明數(shù)學(xué)的抽象與現(xiàn)實(shí)世界是緊密聯(lián)系的，客觀化（形式化）既可以刻畫具體問題的數(shù)學(xué)模型，也可以反映各種層次的數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的更高層次的抽象.數(shù)學(xué)通過形式化能實(shí)現(xiàn)它的精確性，但數(shù)學(xué)思想是獨(dú)立于言語的形式之外的客觀精神實(shí)體，同時(shí)數(shù)學(xué)又必須通過一定的形式來表達(dá)，才能實(shí)現(xiàn)其嚴(yán)格化和完美化.數(shù)學(xué)慢教育作為客觀辯證法范疇，認(rèn)知理解形態(tài)的客觀性具體表現(xiàn)在三個(gè)維度：一是通過活動(dòng)讓學(xué)生切身經(jīng)歷“事實(shí)經(jīng)驗(yàn)→個(gè)體經(jīng)驗(yàn)→客觀經(jīng)驗(yàn)”的轉(zhuǎn)化過程；二是讓學(xué)生在形成和同化概念的過程中把握概念的客觀屬性；三是讓學(xué)生在問題解決中認(rèn)識“原型內(nèi)化”對知識加工的客觀意義.

我們在研究蘇科版九年級《數(shù)學(xué)》上冊“等可能性”時(shí)，就是基于客觀主義認(rèn)知形態(tài)把握概念的.思維反應(yīng)塊組織如下：（1）你能用數(shù)學(xué)眼光揭示成語故事“甕中捉鱉”“一箭雙雕”“守株待兔”“水中撈月”的數(shù)學(xué)屬性嗎？（2）一個(gè)不透明的袋中裝有除標(biāo)號外質(zhì)地一樣的10個(gè)小球，你認(rèn)為每次只摸一個(gè)球，有幾種結(jié)果，這些結(jié)果是等可能的嗎？（3）在（2）的背景下，袋中只有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，每次只摸一個(gè)球，摸到紅球和白球的可能性一樣嗎？為什么？學(xué)生對問題（1）的個(gè)性理解、集體研討、認(rèn)證判斷的過程就是“個(gè)體經(jīng)驗(yàn)”到“公共經(jīng)驗(yàn)”客觀化的認(rèn)識過程，反映加工概念的客體意義，并使得隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件的數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系趨于結(jié)構(gòu)化，為新知學(xué)習(xí)提供客觀經(jīng)驗(yàn)根據(jù).對問題（2）的探討過程就是學(xué)生形成并同化概念的客觀形態(tài)，抽象概念本質(zhì)屬性的行為就是形式化數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn).對問題（3）的解決則是“用數(shù)學(xué)”的客觀表現(xiàn)，揭示了概念的本質(zhì)特征（是隨機(jī)事件、每次只有一個(gè)結(jié)果、結(jié)果具有等可能性）對問題解決的客觀指導(dǎo)意義.由此可見，數(shù)學(xué)慢教育客觀主義認(rèn)知數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是在生活中提煉數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)思考中聯(lián)系生活，終于原型定向到原型內(nèi)化的科學(xué)認(rèn)識觀.作為數(shù)學(xué)思維成果或?qū)ο蟮某橄笪铮Ｊ剑?，一?jīng)構(gòu)造出來就具有“形式客觀性”和獨(dú)立存在性，因而立即獲得了自己的生命，從而又可以成為后繼的進(jìn)一步抽象的具體原型（或?qū)嶋H背景）.[12]這既反映慢教育客觀主義認(rèn)知形態(tài)的本質(zhì)要義（模式建立與形式客觀性共存），又在形式化層面揭示客觀概念（等可能性）反應(yīng)塊建設(shè)的科學(xué)意義.

數(shù)學(xué)慢教育科學(xué)認(rèn)知不止于以上四種主流認(rèn)知形態(tài)，還包括表象主義認(rèn)知形態(tài)、經(jīng)驗(yàn)主義認(rèn)知形態(tài)、結(jié)構(gòu)主義認(rèn)知形態(tài)以及審美主義認(rèn)知形態(tài)等帶有流變性特征的思維科學(xué)，限于文本研究方向，在這里不予研究.

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