趙緒昌

摘要數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，就是不斷地建立各種數(shù)學(xué)概念的過(guò)程.當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)在一定程度上出現(xiàn)了偏差.我們主要通過(guò)概念的形成和概念的同化的方式獲得概念.常常采用建模建構(gòu)、實(shí)驗(yàn)建構(gòu)、演繹建構(gòu)、類(lèi)比建構(gòu)、反思建構(gòu)等策略進(jìn)行概念教學(xué).

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)概念；教學(xué)意義；教學(xué)問(wèn)題；教學(xué)方法；建構(gòu)策略；案例分析

1數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

哲學(xué)上把概念理解為，人腦對(duì)事物本質(zhì)特征的反映.概念是思維的基本單位，是形成判斷和推理的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系（定理、法則等）的基石、數(shù)學(xué)思想方法的載體，也是數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)，判斷、推理、計(jì)算、證明和解決問(wèn)題的依據(jù).

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，絕不能以讓學(xué)生學(xué)會(huì)概念為終極目標(biāo)，同時(shí)要讓學(xué)生在參與概念的形成、發(fā)展、鞏固、應(yīng)用和拓展的過(guò)程中，把握概念的本質(zhì)特征，體會(huì)隱含在概念中的思想方法，從而完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在知識(shí)、能力、素養(yǎng)方面獲得全面的發(fā)展.

2數(shù)學(xué)概念教學(xué)的問(wèn)題

數(shù)學(xué)教材中大多采用“定義——性質(zhì)——定理——應(yīng)用”的演繹體系呈現(xiàn)概念，希望學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念后再解決問(wèn)題，并通過(guò)解決問(wèn)題進(jìn)一步理解和掌握概念.這樣的演繹體系雖然有利于學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的形成，但是把有意義的、鮮活的生成數(shù)學(xué)概念的活動(dòng)給掩蓋了，使學(xué)生不知道一些定義從何而來(lái)、為何如此規(guī)定——荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾稱(chēng)其為“教學(xué)法的顛倒”.

由于多種因素，當(dāng)前很多教師主要采用如下方式進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)：（1）“一個(gè)定義、幾項(xiàng)注意、一步到位、舉例訓(xùn)練、反復(fù)練習(xí)、迎接考試”的急功近利式；（2）“掐頭、去尾、燒中段”的直接授予式；（3）“照本宣科+解題教學(xué)”的大容量訓(xùn)練式.這些方式的共同特征是，重解題技巧、輕概念生成，追求習(xí)題講解的最大化和概念教學(xué)的最小化.這樣的教學(xué)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為概念學(xué)習(xí)單調(diào)乏味而不重視它，只會(huì)死記硬背概念本身，不能理解概念的形成過(guò)程.認(rèn)識(shí)不到概念引出的必要性和概念應(yīng)用的價(jià)值，難以把握概念的本質(zhì)；導(dǎo)致學(xué)生在知識(shí)掌握一知半解的情況下匆忙解題，只會(huì)機(jī)械地模仿某些特定的題型，掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情況就束手無(wú)策.以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生耗費(fèi)大量的時(shí)間、精力在知識(shí)的外圍重復(fù)訓(xùn)練，結(jié)果還是對(duì)教學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，知其然而不知其所以然，使得教學(xué)效果事倍功半，知識(shí)、能力、素養(yǎng)發(fā)展終將落空.

3數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法

由心理學(xué)研究和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知，我們主要通過(guò)兩種方式獲得概念：概念形成和概念同化.前者主要指依靠對(duì)個(gè)別、具體事物、例子的概括、抽象來(lái)獲得概念；后者主要指利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的舊概念來(lái)理解新概念.前者的主要的操作步驟為：（1）辨別一類(lèi)事物的不同例子；（2）概括、抽象出各個(gè)例子的本質(zhì)（共同）屬性；（3）把本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新概念與已有的有關(guān)概念區(qū)別開(kāi)來(lái)；（4）把本質(zhì)屬性推廣到一切同類(lèi)事物中去，以表明新概念的外延；（5）擴(kuò)大或改組原有認(rèn)知結(jié)構(gòu).后者的主要的操作步驟為：（1）揭示出概念的關(guān)鍵屬性，給出其定義、名稱(chēng)和符號(hào)；（2）討論概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征；（3）把本質(zhì)屬性與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新概念納入到已有的概念體系中；（4）辨認(rèn)肯定例證與否定例證，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念產(chǎn)生分化；（5）使有關(guān)的概念融會(huì)貫通，組成一個(gè)新的整體.

通過(guò)概念形成方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，便容易接受概念，理解概念的關(guān)鍵屬性，把握抽象概念背后的豐富意藴，但有時(shí)不容易建立概念體系，不符合學(xué)習(xí)的經(jīng)濟(jì)原則——主要體現(xiàn)從特殊到一般、由表及里的認(rèn)知規(guī)律.通過(guò)概念同化方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，則正好相反——主要體現(xiàn)從一般到特殊、由此及彼的認(rèn)知規(guī)律.

因此，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，兩種方式不能孤立使用，而要結(jié)合起來(lái).教師可以在揭示出概念的定義后引導(dǎo)學(xué)生去觀察實(shí)例，定義的導(dǎo)向可以使學(xué)生比較容易地揭示實(shí)例中包含的概念的關(guān)鍵屬性，而正例與反例的應(yīng)用可以使學(xué)生在分析、比較、分類(lèi)、概括中將概念的關(guān)鍵屬性清晰化；然后引導(dǎo)學(xué)生以實(shí)例為概念的認(rèn)識(shí)載體，將新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立聯(lián)系，形成概念體系.

4數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

4.1建模建構(gòu)策略

數(shù)學(xué)建模是指為了某種目的，將現(xiàn)實(shí)原型簡(jiǎn)化、抽象為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).它是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)反映客觀事物的途徑，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別.理解數(shù)學(xué)建模，對(duì)于領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、掌握數(shù)學(xué)方法具有重要意義，因而也對(duì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率具有重要的意義.

很多數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程都有力地體現(xiàn)了建模思想的價(jià)值.利用建模思想，讓學(xué)生歷經(jīng)、體驗(yàn)“從現(xiàn)實(shí)事物，到事物的本質(zhì)（數(shù)和量）特征，再到數(shù)學(xué)概念的定義和名稱(chēng)”的創(chuàng)造過(guò)程，從而在理解簡(jiǎn)化、抽象方法的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延和意義，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)最基本策略之一.這一策略最大的特點(diǎn)是，將對(duì)概念的理解建立在對(duì)概念建構(gòu)過(guò)程的體驗(yàn)，而非對(duì)概念定義的反復(fù)辨析上，即將注意力集中在對(duì)概念作用和意義的理解，而非對(duì)概念字面的反復(fù)糾纏上.這樣，不僅能使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念是怎樣的，而且能使學(xué)生認(rèn)識(shí)概念為什么是這樣的，因此是學(xué)生通過(guò)對(duì)形成過(guò)程的體驗(yàn)到對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)的必由之路.

比如，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以從物體具有大?。ㄕ加幸欢臻g）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建模思想建立長(zhǎng)度、面積、體積、測(cè)度等概念；從物質(zhì)世界具有正、反兩個(gè)方面出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建模思想建立正負(fù)兩個(gè)概念；從自然界具有等量關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)建模思想建立方程的概念；等等.

4.2實(shí)驗(yàn)建構(gòu)策略

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芨淖儗W(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中是不可或缺的.利用實(shí)物（如教具、學(xué)具）或模擬（如幾何畫(huà)板）的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在觀察、操作、探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等活動(dòng)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，也是概念教學(xué)最基本策略之一.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種活動(dòng)情境，讓學(xué)生動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”，完成“接觸概念、體驗(yàn)概念、使用概念、建構(gòu)和完善概念、掌握概念的內(nèi)涵和外延”的過(guò)程.

案例1“無(wú)理數(shù)概念”的教學(xué).

首先，讓學(xué)生利用一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長(zhǎng)視為1）剪拼出面積為2的正方形.通過(guò)動(dòng)手操作，學(xué)生不難完成多種拼圖；通過(guò)班級(jí)交流，學(xué)生不難選出比較簡(jiǎn)便和美觀的拼圖，如圖1所示.由此，教師提問(wèn)：觀察拼圖，拼得的正方形的邊長(zhǎng)是多少？根據(jù)算術(shù)平方根的概念，學(xué)生能得出正方形的邊長(zhǎng)是2.教師追問(wèn)：估計(jì)2的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間？利用取平方的方法，學(xué)生也不難得出2的值在1和2之間.

然后，教師提問(wèn)：2能用分?jǐn)?shù)表示嗎？激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器探求2的小數(shù)部分：（1）試輸入一個(gè)大于1、小于2的數(shù)，如果平方的結(jié)果比2大，如何調(diào)整？比2小呢？（2）通過(guò)實(shí)驗(yàn)，猜想能否找到一個(gè)有限小數(shù)，使它的平方等于2？由此，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)2=14142…，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).從而，引出無(wú)理數(shù)的概念.

實(shí)踐表明，通過(guò)變換角度的操作和觀察，學(xué)生能切身感受有理數(shù)外還有一類(lèi)數(shù)，抓住無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征，加深對(duì)無(wú)理數(shù)概念的理解；經(jīng)過(guò)對(duì)概念的形成過(guò)程以及問(wèn)題發(fā)現(xiàn)、解決過(guò)程的猜想、驗(yàn)證等實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生拓寬了思維視角，增強(qiáng)了合作意識(shí)，同時(shí)獲得了成功的體驗(yàn).對(duì)很多數(shù)學(xué)概念都可以這樣教學(xué)，如空間直線、平面的位置關(guān)系，橢圓，向量坐標(biāo)運(yùn)算，概率等.

4.3演繹建構(gòu)策略

數(shù)學(xué)知識(shí)是以概念為基礎(chǔ)的強(qiáng)大演繹體系，很多數(shù)學(xué)概念之間都有著密切的邏輯相關(guān)關(guān)系（聯(lián)系）.這些相關(guān)關(guān)系是界定概念同化最有效的聯(lián)系，為學(xué)生深入理解概念、牢固建立知識(shí)結(jié)構(gòu)指明了方向.所以，對(duì)于那些與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念有邏輯關(guān)聯(lián)的概念，我們可以通過(guò)邏輯演繹過(guò)程，幫助學(xué)生同化概念.

比如，教學(xué)“三角函數(shù)概念”時(shí)，很多學(xué)生甚至教師只注意到三角函數(shù)概念出現(xiàn)在三角比概念后面，從而認(rèn)為三角函數(shù)概念是單純的三角知識(shí)，對(duì)于三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)也往往就事論事，其教學(xué)效果可想而知.其實(shí)，我們應(yīng)該意識(shí)到三角函數(shù)是一類(lèi)特殊的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的概念和思路加深對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解，認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)概念不是孤立的三角知識(shí)，而是函數(shù)知識(shí)體系中一個(gè)特殊的節(jié)點(diǎn)，只不過(guò)多了幾個(gè)特殊性質(zhì)而已，從而使教學(xué)自然、高效.

4.4類(lèi)比建構(gòu)策略

數(shù)學(xué)知識(shí)也是以概念為基礎(chǔ)的廣泛類(lèi)比系統(tǒng)，很多數(shù)學(xué)概念之間都有著豐富的直覺(jué)相似關(guān)系（聯(lián)系）.這些相似關(guān)系也是界定概念同化有效的聯(lián)系，使學(xué)生理解概念、建立知識(shí)結(jié)構(gòu)有了認(rèn)知基礎(chǔ).所以，對(duì)于那些與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念有直覺(jué)關(guān)聯(lián)的概念，我們可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧已有概念的屬性，再創(chuàng)設(shè)聯(lián)系已有相似概念的情境，引導(dǎo)學(xué)生利用直覺(jué)類(lèi)比方法獲得發(fā)現(xiàn)，并嘗試給出新概念的定義.

案例2“三角形概念”的教學(xué).

師：剛才請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光欣賞了美麗的圖片.那么，請(qǐng)問(wèn)這些美麗的圖片中都含有哪種平面幾何圖形？

生（眾）：三角形.

師：對(duì)！（課件出示圖2）小學(xué)時(shí)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)三角

形的一些知識(shí)，從今天開(kāi)始將進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)三角形

的知識(shí).誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)什么樣的圖形叫做三角形呢？

生：由三條線段組成的圖形叫做三角形.

師：有不同的觀點(diǎn)嗎？

生：我不同意他的觀點(diǎn).（投影出示圖3、圖4）請(qǐng)大家看我畫(huà)的由三條線段組成的圖形，它們不是三角形.故應(yīng)改為，由三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形.圖3圖4

師：這下，大家沒(méi)異議了吧！

生：不行！必須添上條件“不在同一條

直線上”，否則，組成的圖形可能是線段.

（投影出示圖5）請(qǐng)看.故應(yīng)改為，由不在

同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成

的圖形叫三角形.

師：真聰明！這樣就準(zhǔn)確了.我們知道圖形的角用符號(hào)“∠”表示，垂直用符號(hào)“⊥”表示，那么，三角形應(yīng)該用什么符號(hào)表示呢？

生眾：用小的三角形圖形.

師：你們是怎么想到的？

生眾：受角、垂直的符號(hào)表示法的啟發(fā)呀！

師：這種考慮問(wèn)題的方法就叫作類(lèi)比.類(lèi)比是關(guān)注兩個(gè)對(duì)象在某些方面的相同或相似，從而推測(cè)它們?cè)谄渌矫婵赡艽嬖诘南嗤蛳嗨?它是非常有創(chuàng)造力的一種思維方法.的確，數(shù)學(xué)家們用小的三角形圖形“△”表示三角形.這一符號(hào)形象、直觀，便于記憶.（指著圖2）我們還知道這個(gè)三角形中的三條線段可分別記作線段AB、BC、CA，三個(gè)角可分別記作

∠ABC、∠BAC、∠ACB，那么，那么，這個(gè)三角形又該如何用符號(hào)表示呢？

生：記作△ABC.

師：能否記作△BCA或△CAB呢？

生：不能.因?yàn)椤螦BC、∠BAC表示不同的角，類(lèi)比角的表示法，所以△ABC、△BCA應(yīng)表示不同的三角形，所以△ABC不能記作△BCA.

生：我認(rèn)為可以.因?yàn)樵谌切沃悬c(diǎn)A、B、C呈“三國(guó)鼎立，勢(shì)均力敵”之勢(shì)，所以“排名不分先后”（有學(xué)生笑）.而在角中點(diǎn)A、B、C的地位是不同的，故不能盲目類(lèi)比.

師：說(shuō)得太棒了！從中我們得到啟發(fā)，有時(shí)由類(lèi)比得到的結(jié)論不一定可靠，需要仔細(xì)斟酌.我們知道符號(hào)“∠ABC”讀作“角ABC”，那么符號(hào)“△ABC”又如何讀呢？

生眾：讀作“三角形ABC”.

這里，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生研究已有三角形概念的本質(zhì)特點(diǎn)，產(chǎn)生新概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類(lèi)比方法獲得三角形的概念，使學(xué)生覺(jué)得這一概念是小學(xué)三角形概念的一種自然發(fā)展.對(duì)很多數(shù)學(xué)概念都可以這樣教學(xué)，如分式（與分?jǐn)?shù)類(lèi)比）、不等式（與方程類(lèi)比）、空間（與平面類(lèi)比）、無(wú)限（與有限類(lèi)比）等.

4.5反思建構(gòu)策略

指導(dǎo)學(xué)生反思概念形成的過(guò)程，是幫助學(xué)生深刻理解概念本質(zhì)特征的重要環(huán)節(jié)，也有利于提升學(xué)生從自身經(jīng)歷中學(xué)習(xí)、提煉的意識(shí)和能力.進(jìn)行課堂總結(jié)時(shí)，很多教師通常會(huì)提出“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么”“有哪些認(rèn)識(shí)和體會(huì)”“還有什么疑問(wèn)”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)板書(shū)，作出簡(jiǎn)明扼要的語(yǔ)言回答.但是，這樣的問(wèn)題過(guò)于籠統(tǒng)，這樣的回答過(guò)于表面.實(shí)際上，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.反思概念形成的過(guò)程同樣需要學(xué)生具體、深入的實(shí)踐、練習(xí)，才能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想的形成.

案例3“反比例函數(shù)概念”的教學(xué).

（在課堂總結(jié)階段，教師提出問(wèn)題：你是如何認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)的？引導(dǎo)學(xué)生交流學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn).）

師：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)有何異同？

生：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)一樣，它們都是用一般式來(lái)定義的.

生：反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的一般式中，都只有一個(gè)自變量，都只有一個(gè)不為零的常數(shù).

生：兩種函數(shù)的解析式的形式不同，正比例函數(shù)的解析式是整式，而反比例函數(shù)的解析式是分式.

生：兩種函數(shù)的自變量的取值范圍不同，正比例函數(shù)的自變量可取一切實(shí)數(shù)，而反比例函數(shù)的自變量不能等于0.

師：由此你能猜想一下兩種函數(shù)圖像的不同點(diǎn)嗎？（出示圖6）下列哪幅圖可能是反比例函數(shù)y=12x的圖像？為什么？

生：反比例函數(shù)的自變量不能等于0，當(dāng)然函數(shù)值也就不能等于0，所以它的圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都不能等于0，也就是它的圖像不能與坐標(biāo)軸相交，所以排除A和D，選擇B或C.

師：很好！你的分析體現(xiàn)了數(shù)向形的轉(zhuǎn)化.那么，到底選項(xiàng)B，還是選項(xiàng)C呢？為什么？

生：選C.因?yàn)闈M(mǎn)足y=12x的x、y的值是同正或同負(fù)，B中圖像在第二象限時(shí)x的值為負(fù)，y的值為正，所以排除B.

生：（投影展示圖像）我通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線，畫(huà)出了y=12x的圖像.雖然沒(méi)有C中的圖像那么美觀，但是變化范圍和趨勢(shì)是一樣的.

師：通過(guò)本節(jié)課，你積累了哪些學(xué)習(xí)函數(shù)概念的方法？如果讓你去自學(xué)二次函數(shù)，你有什么想法？

生：也是從實(shí)例、概念、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用這幾個(gè)方面去研究……

在反思學(xué)習(xí)過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)比猜想反比例函數(shù)的圖像，類(lèi)比猜想二次函數(shù)的研究方法，能夠促使學(xué)生由已知內(nèi)容很自然地遷移到未知內(nèi)容，有利于產(chǎn)生進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)或疑問(wèn)，以作為新的教學(xué)起點(diǎn)，從而自然延伸概念學(xué)習(xí)，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

最后，不難發(fā)現(xiàn)上述策略不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，有時(shí)需要綜合運(yùn)用；而且對(duì)概念以外的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)往往也是適用的.